Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán cực trị trong hình học không gian

ài lớn nhất của đoạn thẳng CM .
Hướng dẫn phân tích:
Dữ kiện bài toán AMB =900 cho ta biết về tập hợp điểm M là mặt cầu đường kính AB
Kết hợp với giả thiết M thuộc mặt phẳng (Oxy)
ta kết luận được M chạy
trên một đường tròn (C ) cố định.
Từ đó ta cố gắng đưa bài toán về bài toán xét trong mặt phẳng (Oxy)
z
C
O	y
x	M	H	C'
Gọi I là trung điểm của
ABÞ I (1;2;4). Vì
AMB =900
nên M thuộc mặt cầu (S )
tâm I , bán kính
R = AB =5.
2
Mặt khác
M Î(Oxy) ÞM
thuộc đường tròn (C )
tâm
H (1;2;0) , bán kính
r =3
(bạn đọc tự giải).
Gọi C¢ là hình chiếu của C trên mặt phẳng (Oxy) ÞC¢(5;-1;0) và CC¢ =6 .
Ta có: CM 2 = CC¢2 +C¢M 2 =36 +C¢M 2 , do đó: CM lớn nhất ÛC¢M lớn nhất.
Lại có: C¢Mmax =r +C¢H =8 . Vậy, CMmax =10 .
Bài toán 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1;1) , B(-1;2;0)
, C (3;-1;2) và điểm M thuộc mặt phẳng (a):2x - y + 2z + 7 = 0. Tính giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P = MA + 4MB - 6MC .
Bước 1: Phân tích bài toán
Về mặt ý tưởng giải quyết bài toán này cũng có ba yếu tố thay đổi do điểm M bất kì nên ta dùng kiến thức tâm tỉ cự để tìm điểm I thỏa mãn IA + 4IB - 6IC =0 Þ I (-21;15;-11) .
Biến đổi kết luận bài toán về một đại lượng thay đồi là P = MI = MI , khi đó
P nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất. Đến đây ta liên tưởng đến Tính chất 3 để giải quyết bài toán.
Bước 2: Vận dụng tính chất giải quyết bài toán
Ta có, với điểm I nêu trên, P = MI = MI .
Do I và mặt phẳng (a) cố định, ta gọi H là hình chiếu của I trên (a). Khi
đó IM ³ IH Þ Pmin = IH = d (I ,(a)) = 24 .
Bước 3: Phát triển bài toán.
Từ Bài toán 5, thay biểu thức vecto của kết luận thành biểu thức độ dài hay chuyển mặt phẳng cố định về đường thẳng cố định ta có được các bài toán sau:
Bài toán 5.1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P):x - 2 y + 2z +1 = 0 và ba
điểm A(1;2;0) , B(1;- 2;4), C (3;-10;12) . Điểm M (a;b;c) thuộc (P) sao cho
MA2 + MB2 + 2MC2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp số:
M (-1;1;1) .
Bài toán 5.2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
A(2;-2;4) ,
B(-3;3;-1)
và đường thẳng
d : x - 5 = y - 2 = z . Xét điểm M thay đổi trên d ,
2	-1	-1
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =2MA2 +3MB2 .
Đáp số:
Pmin =160 .
Bài	toán	5.3.	Trong	không	gian	với	hệ	tọa	độ	Oxyz ,	cho	mặt	phẳng
(P):x - 2y + 2z - 3 = 0
và mặt cầu (S ) :x2 + y2 + z2 + 2x - 4 y - 2z + 5 = 0 . Giả sử
M Î(P) và
N Î(S )
sao cho
cùng phương với véc tơ u (1;0;1)
và khoảng cách
MN
2
giữa M và N lớn nhất. Tính độ dài đoạn thảng MN .
Đáp số:
MNmax =3	.
Bài toán 5.4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng thay đổi lần lượt	có	phương	trình	là	(P): ax + 2by + z - 2a - b - 3 = 0 ,
(Q) : mx + ny - 4z + 3m - 4n + 4 = 0 không đi qua M (2;1;0). Đường thẳng d đi qua
M không cắt (P) và (Q). Trong trường hợp tổng khoảng cách từ d tới (P) và
(Q) đạt giá trị lớn nhất. Tìm một vectơ chỉ phương của d .
Đáp số: u = (3;5;0) .
Bài toán 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm

A(-2;-2;1) ,
B(1;2;-3)
và đường thẳng
D : x +1 = y - 5 = z . Viết phương trình đường thẳng d
2	2	-1
đi qua A vuông góc với đường thẳng D đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất.
Bước 1: Phân tích bài toán
Giả thiết bài toán cho đường thẳng d đi qua A vuông góc với đường thẳng
D dẫn đến ý tưởng sử dụng Tính chất 6 là cho đường thẳng d nằm trong mặt
phẳng (P) đi qua A và vuông góc với D .
D
B
A
d
K
H
P)
Từ đó ta có kết quả mô tả bằng hình ảnh sau:
Bước 2: Giải quyết bài toán
Viết phương trình mặt phẳng (P)
(P): 2x + 2 y - z + 9 = 0 .

đi qua A và vuông góc với D :
Xác định hình chiếu H của B trên (P) :
H æ 0;1;- 5 ö , ta có:
ç	2 ÷
è	ø
d (B, d )³ d (B,(P))= BH .
Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng đi qua A, H . Phương trình
đường thẳng
AH : x + 2 =
y + 2 = z -1 .
4	6	-7
Bước 3: Phát triển bài toán
Ta có thể phát triển một số bài toán cực trị hình giải tích dạng này ở mức độ vận dụng.
Bài	toán	6.1.	Trong	không	gian	với	hệ	toạ	độ	Oxyz ,	cho	mặt	cầu
(S ): (x -1)2 + ( y - 2)2 + (z - 3)2 =16 và các điểm A(1;0;2), B(-1;2;2) . Gọi (P)
là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của (P)
với mặt cầu (S ) có
diện tích nhỏ nhất khi viết phương trình (P) .
Đáp số:
x + y + z - 3 = 0 .
Bài toán 6.2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
Aæ1;-2; 5 ö ,
ç	2 ÷
B æ 4;2; 5 ö . Tìm M thuộc mặt phẳng (Oxy)

sao cho

ABM = 450
è	ø
và tam giác MAB
ç	2 ÷
è	ø
có diện tích nhỏ nhất.
Đáp số:
M (0;1;0).
Bài toán 6.3. Trong không gian với hệ tọa độ	Oxyz , cho đường thẳng
d : x - 2 = y + 1 = z
và đường thẳng
D : x - 4 = y + 5 = z - 3 . Hai mặt phẳng	(P) ,
3	2	3
2	3	-4
(Q) vuông góc với nhau, luôn chứa d và cắt D tại hai điểm M , N . Tìm độ dài ngắn nhất của MN .
Đáp số:
MNmin =
182 .
638
Kết quả nêu trên là những tình huống cơ bản giúp học sinh dễ nhận ra được các tính chất hình học đã được giới thiệu ở trên.Từ ý tưởng xây dựng các bài toán bài toán cực trị cơ bản trong hình học tọa độ các em có thể giải quyết được các bài toán nâng cao hơn nữa.
Khá nhiều bài toán cực trị trong hình học không gian, thường chứa đựng trong nó bản chất là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay một biểu thức đại số nào đó. Từ đó, tác giả muốn khai thác các bài toán dạng này để góp phần tạo hứng thú học tập, bớt tâm lí e ngại cho học sinh đồng thời giúp các con hình thành tư duy thuật giải cho những lớp bài toán cực trị hình học. Qua việc chuyển giao giữa yếu tố hình học và yếu tố đại số của một bài toán phần nào phát triển năng lực tư duy toàn diện hơn cho người học.
Sử dụng công cụ khảo sát hàm số vào bài toán tìm cực trị hình học
Sử dụng kiến thức về tính đơn điệu cực trị của hàm số luôn là một vấn đề khá hấp dẫn, tôi muốn thông qua khai thác các ví dụ cụ thể, rèn luyện được cho học sinh biết chuyển từ bài toán cực trị trong hình học về bài toán cực trị của hàm số và đồng
thời rèn luyện cho học sinh kĩ năng sử dụng hàm số trong giải quyết các bài toán đó, từ đó có thêm ý tưởng, lựa chọn cách giải quyết các bài toán ở mức độ nâng cao.
Quy trình tư duy của việc khai thác bài toán cực trị hình học không gian bằng hàm số.
Bước 1: Tham số hóa và chuyển yêu cầu bài toán qua hàm số bằng cách xây dựng biểu thức của đại lượng cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ở bước này, ta cần xác định xem cần tham số hóa đại lượng nào. Điều kiện của ẩn là gì. Ẩn số đó biến thiên trong khoảng nào.
Bằng các tính toán cần thiết, ta thiết lập biểu thức của đại lượng cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất theo ẩn số vừa đưa vào.
Bước 2: Huy động các kiến thức về tính cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải quyết bài toán.
Trong mục này ta sử dụng công cụ là khảo sát hàm số nên thông thường ta đưa yêu cầu bài toán về các biểu thức 1 biến, hoặc dạng quy về được 1 biến.
Bước 3: Khai thác các bài toán và hướng dẫn cho học sinh tự học
Bài toán 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là
V . Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho
SN = 2NB ; mặt phẳng (a) di động qua các điểm M , N và cắt các cạnh
SC, SD
lần lượt tại hai điểm phân biệt P, Q . Tính thể tích lớn nhất
S.MNPQ .
Vmax
của khối chóp
Bước 1. Tham số hóa và chuyển yêu cầu bài toán về hàm số
Gọi
a = SP
SC
(0 £ a £ 1).
Vì mặt phẳng (a)
di động đi qua các điểm
M , N và cắt các cạnh
SC, SD lần lượt
tại hai điểm phân biệt
P, Q	nên ta có đẳng thức	SA
SC =
SB + SD
Û 2 + 1 = 3 + SD Þ SQ =

2a .
SM	SP	SN	SQ
a	2	SQ	SD
2 + a
Ta có
VS.MNPQ
= 1 æ SM . SN . SP + SM . SP . SQ ö = 1 æ 4a -
   
2	ö = 2a -	1	.
V	2 ç
SA	SB SC	SA SC SD ÷
2 ç 3
a + 2 ÷	3
a + 2
S.ABCD
è	ø	è	ø
Bước 2. Huy động kiến thức về tìm GTLN của hàm số để giải quyết bài toán.
Xét hàm
f (a) = 2a -
3
1
a + 2
trên đoạn [0;1], ta được
max f (a) =
éë0;1ùû
f (1) = 1 .
3
Do vậy V	= V
max	3
xảy ra khi P º C .
Bước 3. Khai thác các bài toán và hướng dẫn cho học sinh tự học
Bài toán có 2 điểm di động là
P,Q và 2 điểm cố định
M , N . Nên ta khai thác
các yếu tố này khi gặp những bài toán cực trị liên quan đến tỉ số độ dài hay thể tích khối đa diện.
Bài toán 7.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm
của SC . Mặt phẳng (a)qua AP cắt
hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ
số V1 ?
V

A




M
B
S
O

I

N
D

P


C
Bài toán 7.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi I là điểm thuộc
đoạn SO sao cho SI = 1 SO . Mặt
3
phẳng (a) thay đổi đi qua B và I .
(a)cắt các cạnh SA, SC, SD lần lượt tại M , N, P . Gọi m, n lần lượt là
GTLN, GTNN của V S .BMPN . Tính m
VS . ABCD	n


S

















M


P







I




N




B





C















O



A





D



Bài toán 7.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC . Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các
cạnh SB, SD lần lượt tại M và N . Đặt V1 = VS.AMKN ,V = VS.ABCD . Tìm
S = max V1 + min V1 .
V	V


S











K



N








M
C



D



B



A


Sản phẩm tự học của học sinh 7.1.
7.2.
7.3.
Bài toán 8. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C . Khoảng
3
cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng a	, SAB = SCB = 900 . Xác định độ dài
cạnh AB để khối chóp S.ABC có thể tích nhỏ nhất.
Bước 1. Tham số hóa chuyển bài toán về hàm số
S
H
C
A
Ta có

ìBC ^ AC Þ BC ^ ( ASC )
íBC ^ SC
î
B
mà SA ^ AB

nên

SA ^ ( ABC ).
x2
3
Kẻ AH ^ SC Þ AH = a
. Đặt
AC = x, SC = y Þ CH =	.
y
Ta có: V
= 1 AH .S	đạt GTNN khi và chỉ khi SD	= 1 xy

đạt GTNN.
S.ABC	3	DBCS	BCS	2
x2
x2 - 3a2
2	2	2	2	x4	2
Trong tam giác AHC có AC
CH
= AH
Û x -
y2
= 3a
Û y =
x3
Þ xy =	=
x2 - 3a2
f ( x)
Bước 2. Huy động các kiến thức hàm số để giải quyết bài toán.
x3
x2 - 3a2
Þ	2	9a2
3 2a
Xét hàm
f ( x) =
(x > a 3 )
f '( x) = 0 Û