SKKN Góp phần phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chương trình giải tích THPT Lớp 12
Có thể nói rằng chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết là một chủ đề hay và khó trong chương trình môn Toán lớp 12 ở trường THPT. Khi giảng dạy chủ đề này ngoài các kiến thức cơ bản trong chương trình SGK ban cơ bản giáo viên thường lựa chọn các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích lớp 12, các bài toán cực trị trong các đề thi THPTQG, đề thi TNTHPT và đề thi HSG để giảng dạy cho học sinh. Tuy nhiên vẫn còn một số tồn tại sau:
- Các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích lớp 12 vẫn còn khá dễ và chưa sát với các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết trong các đề thi THPTQG nay là đề thi TNTHPT và tuyển sinh đại học.
- Khi giảng dạy các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết giáo viên thường ít chú trọng hoạt động “nhận biết, khai thác và phát triển” các bài toán dẫn tới năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo của học sinh bị hạn chế.
- Chưa thật sự chú trọng trong việc tìm tòi, xây dựng các bài toán mới để từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán về cực trị hàm hợp và hàm liên kết.
Tóm tắt nội dung tài liệu: SKKN Góp phần phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chương trình giải tích THPT Lớp 12

ao nhiêu điểm cực tiểu? ÷ ø B. 4 C. 7 D. 5 Đặt u = ln(x2 +1) - 2 Þ ¢ = u 2 x x2 +1 ;u¢ = 0 Û x = 0 . Dựa theo bảng biến thiên đề bài ta có ê é u = a Î(-¥; -1) f ¢( u ) = 0 Û ê u = b Î(-1; 0) é u = c Î(0;1) Þ (1) ê ê u = c Î(0;1) e2 -1 ë ê u = d > 1 ê êë u = d > 1 (2) Với x0 = thì u có 3 cực trị, trong đó 1 cực đại, 2 cực tiểu. Bảng biến thiên mới theo biến u là Hai phương trình lần lượt có 4 và 2 nghiệm như sau é x1 < -x0 ê x Î(-x ;0) x < x Giải u = c Î(0;1) Þ ê 2 0 và giải u = d > 1 Þ é 5 1 ê x3 Î(0; x0 ) êx > x ê êë x4 Î(0; +¥) ë 6 4 Chú ý c là điểm cực đại và d là điểm cực tiểu nên từ (1) thu được 2 cực tiểu, từ (2) thu được 1 cực tiểu. Kết luận tổng cộng 5 điểm cực tiểu. Ví dụ 15. (THPT Đào Duy Từ-L1-2020-2021) Cho hàm số và có bảng biến thiên như sau: y = f (x) liên tục trên Số nghiệm của phương trình f (23x4 -4 x2 +2 )+1 = 0 là A. 2 . B. 3 . C. 6 . D. 5 . Lời giải: é23x4 -4 x2 +2 = 2 (1) ê f (23x4 -4 x2 +2 )+1 = 0 Û f (23x4 -4 x2 +2 ) = -1 Û ê23x4 -4 x2 +2 = a (a < -1) (2) ê 4 2 Giải (1): êë23x -4 x +2 = b (b > 5) (3) éx2 = 1 ê 2 23x4 -4 x2 +2 = 2 Û 3x4 - 4x2 + 2 = 1 Û 3x4 - 4x2 +1 = 0 Û ê 1 ê x = ë 3 Suy ra phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. Phương trình (2) vô nghiệm. Phương trình (3) 2 2 23x4 -4x2 +2 = b Û 3x4 - 4x2 + 2 = log b Û 3x4 - 4x2 + 2 -log b = 0 (4) Phương trình (4) có hai nghiệm trái dấu nên phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác với 4 nghiệm của (1) . Vậy, phương trình đã cho có 6 nghiệm Ví dụ 16. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai trên Biết f ¢(2) = f ¢(-2018) = 0, f ¢(0) = 3 và bảng xét dấu của f ¢¢( x) như sau Hàm số y = f ( x -1 - 2018) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 . Khi đó x0 thuộc khoảng A. (-2015;1). Lời giải: Từ bảng xét dấu f ¢¢(x) B. (-¥;-2015). ta có bảng biến thiên của C. (-1009; 2). f ¢( x) D. (1;3). Xét hàm số y = f ( x -1 - 2018) Ta có y¢ = x -1 x -1 f ¢( x -1 - 2018), x ¹ 1; y¢ = 0 Û f ¢( x -1 - 2018) = 0 é x -1 - 2018 = 2 Û ê êë x -1 - 2018 = -2018 Û é x = 2021; x = -2019 ê x = 1 (l) ë Dựa vào BBT ta thấy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất tại x =1Î(-1009; 2). Ví dụ 17. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f ¢( x) như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số g ( x) = 2 f ( x) - ( x -1)2 điểm cực trị? có tối đa bao nhiêu A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 7 Lời giải Xét hàm số h ( x) = 2 f ( x) -( x -1)2 , ta có h¢(x) = 2 f ¢(x) - 2(x -1) . h¢(x) = 0 Û f ¢(x) = x -1 Û x = 0 Ú x =1Ú x = 2 Ú x = 3. Lập bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm y = h( x) có 2 điểm cực trị. Đồ thị hàm số g ( x) = h ( x) nhận có tối đa 5 điểm cực trị. Hàm số có dạng y = af (u(x)) + bv(x) Ví dụ 1. (THPT Phan Đình Phùng - Hà Nội - L1 - 2021) Cho hàm số f ( x) . Hàm số y = f ¢(x) Hàm số có đồ thị như hình bên x 3 g ( x) = f ( x +1) + - 3x 3 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (-2;0) . B. (-1; 2). C. (0; 4). D. (1;5) . Bƣớc 1. Phát hiện vẫn đề cần giải quyết. Đây là bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm số 3 x g ( x) = f ( x +1) + - 3x 3 khi biết đồ thị của y = f ¢( x) . Bƣớc 2. Đề xuất giải pháp giải quyết vẫn đề. +) Tính đạo hàm g¢( x) +) Giải phương trình g¢(x) = 0 +) Dựa vào dấu của Bƣớc 3. Giải quyết vẫn đề. g¢( x) để kết luận khoảng đơn điệu. Ta có g¢(x) = f ¢(x +1) + x2 - 3 = 0 Û f ¢( x +1) = -( x +1)2 + 2( x +1) + 2 Û f ¢(u) = -u2 + 2u + 2 . Vẽ đồ thị hàm số y = f ¢(u) và y = -u2 + 2u + 2 trên cùng một hệ trục Dựa vào đồ thị ta có f ¢(u) + u2 - 2u - 2 < 0,"u Î(0;3) Þ g¢(x) < 0,"x Î(-1;2). Vậy hàm số y = g (x) nghịch biến trên khoảng (-1; 2). Bƣớc 4. Phân tích giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự. Để giải quyết bài toán trên thì học sinh cần giải quyết 2 vẫn để quan trọng là: +) Tính được đạo hàm g¢(x) = f ¢(x +1) + x2 - 3 = 0 +) Cần biến đổi về Û f ¢( x +1) = -( x +1)2 + 2( x +1) + 2 Û f ¢(u) = -u2 + 2u + 2 và từ đó vẽ được hai đồ thị trên cùng một hệ trục để tìm nghiệm của phương trình. Ví dụ 2. (THPT Tiên Du - Bắc Ninh - L1 - 2021) Cho hàm số f ( x). Hàm số y = f ¢(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số g (x) = f (3- 4x) - 8x2 +12x + 2020 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. æ - 1 ; 3 ö . B. æ - 1 ; 1 ö . C. æ 5 ; +¥ö . D. æ 1 ; 5 ö . ç 4 4 ÷ ç 4 4 ÷ ç 4 ÷ ç 4 4 ÷ è ø Lời giải : è ø è ø è ø Ta có: g¢(x) = -4 f ¢(3- 4x) -16x +12 = -4 éë f ¢(3 - 4x) + 4x - 3ùû g¢(x) 0 Û f ¢(3- 4x) > 3- 4x (*) Đặt t = 3- 4x , bpt(*) Û f ¢(t) > t . Vẽ đồ thị các hàm số y1 = f ¢(t) và y2 = t trên cùng hệ trục tọa độ Þ f ¢(t ) > t Û é-2 < t < 2 é 1 < x < 5 Û é-2 < 3 - 4x < 2 Û ê 4 4 êt > 4 ê3 - 4x > 4 ê 1 ë ë ê x <- ëê 4 Qua hai ví dụ trên ta thấy để giải quyết các bài toán dạng này thì chúng ta chủ yếu khai thác mỗi quan hệ giữa hai đồ thị của hai hàm số đã biết, để từ đó tìm ra kết quả bài toán. Để giúp học sinh phát triển tƣ duy và năng lực giải quyết vẫn đề thì giáo viên cần hƣỡng dẫn học sinh xây dựng và giải quyết bài toán thông qua mối quan hệ trên nhƣ: Hƣớng thứ nhất: Mỗi quan hệ giữa đồ thị và đƣờng thẳng. Ví dụ 3. (SGD GIA LAI - 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) , đồ thị của hàm số y = f ¢(x) là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số g (x) = f (2x) - 2x + 2021 trên đoạn é- 1 ;1ù bằng ëê 2 úû A. f (2) + 2019. B. f (-1) + 2022. C. f (0) + 2021. D. f (1) + 2020. Lời giải: 2 éx =- 1 Ta có g¢(x) = 2. f ¢(2x) - 2 ; g¢( x) = 0 Û é2x = -1 ê f ¢(2x) = 1 Û ê 2x = 1 ê 2x = 2 ê ê Û ê ê x = 1 2 ê ë ê x = 1 ëê Trong đó các nghiệm x =- 1 2 và x =1 là nghiệm đơn, x = 1 2 là nghiệm kép. g¢(0) = 2 f ¢(0) - 2 = -4 < 0 nên ta có BBT của hàm g ( x) như sau: Vậy Min g ( x) = g (1) = f (2) + 2019. é- 1;1ù êë 2 úû Ví dụ 4. (THPT Lƣơng Tài - Bắc Ninh - L1 - 2021) Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f ¢( x) như hình vẽ x2 Hàm số y = f (1- x) + - x 2 nghịch biến trên khoảng nào? A. (1;3) . B. (-3;1) . C. (-2; 0) . D. æ -1; 3 ö ç 2 ÷ è ø Lời giải: Ta có y¢ = - f ¢(1- x) + x -1 < 0. Đặt t =1- x ta được: - f ¢(t ) -t -t . Dựa vào tương giao đồ thị hai hàm số y = f ¢(t ) và y = -t Ta được: ét < -3 ê1 < t < 3 é1- x < -3 Û ê1 < 1- x < 3 éx > 4 Û ê-2 < x < 0 . ë ë ë Ví dụ 5. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên và hàm số y = f ¢(x) có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn [-2;1] hàm số g(x) = f (x2 + 2x -1) - 1 x4 - 2x3 - 2x2 có 2 bao nhiêu điểm cực trị ? A. 7 . B. 6 . C. 4 . D. 5 . Lời giải: Xét hàm số g(x) = f (x2 + 2x -1) - 1 x4 - 2x3 - 2x2 , ta có: 2 g¢(x) = (2x + 2) f ¢(x2 + 2x -1) - 2x3 - 6x2 - 4x = (2x + 2) f ¢(x2 + 2x -1) - (2x + 2)(x2 + 2x) = (2x + 2)( f ¢(x2 + 2x -1) - (x2 + 2x)). Ta có: é2x + 2 = 0 é x = -1 g¢( x) = 0 Û ê f ¢(x2 + 2x -1) - (x2 + 2x) = 0 Û ê f ¢(x2 + 2x -1) = x2 + 2x . ëê êë Xét phương trình: f ¢(x2 + 2x -1) = x2 + 2x Đặt t = x2 + 2x -1, ta có: (1) f ¢(t ) = t +1 (2) Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢(t ) và đường thẳng y = t + 1, ta có phương trình (2) có các nghiệm là ê ê ét = a Î(-2; -1) é x2 + 2x -1 = a Î(-2; -1) (3) t = b Î(-1;0) x2 + 2x -1 = b Î(-1;0) (4) ê ê Þ ê ê êt = c Î(0;1) êët = d Î(1; 2) ê x2 + 2x -1 = c Î(0;1) (5) ë ê x2 + 2x -1 = d Î(1; 2) (6) Xét hàm số u ( x) = x2 + 2x -1 trên đoạn [-2;1], ta có: u¢(x) = 2x + 2; u¢(x) = 0 Û x = -1. Bảng biến thiên của hàm số u ( x) = x2 + 2x -1 trên đoạn [-2;1]: Từ bảng biến thiên của hàm số u ( x) = x2 + 2x -1 trên đoạn [-2;1], ta có tổng số các nghiệm bội lẻ khác -1 trên khoảng (-2;1) của các phương trình 2 (3), (4), (5), (6) là 5 nghiệm. Do đó hàm số g(x) = f (x2 + 2x -1) - 1 x4 - 2x3 - 2x2 có 6 điểm cực trị trên đoạn [-2;1]. Ví dụ 6. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên và hàm y = f ¢(x) có đồ thị như hình vẽ, biết f ¢¢(-1) = - 9 . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị 2 nguyên của tham số m để hàm số g ( x) = f (2021- x) + æ m + 1 ö x2 - 2022(2m +1) x + 3 ç 2 ÷ è ø có đúng ba điểm cực trị ? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Lời giải: Xét hàm số g ( x) = f (2021- x) + æ m + 1 ö x2 - 2022(2m + 1) x + 3 , ta có: ç 2 ÷ è ø g¢(x) = - f ¢(2021- x) + (2m +1) x - 2022(2m +1) g¢(x) = 0 Û f ¢(2021- x) = (2m +1) x - 2022(2m +1) Đặt t = 2021- x Þ x = 2021- t thay vào ta có: f ¢(t ) = (2m +1)(2021- t ) - 2022(2m +1) Û f ¢(t ) = -(2m +1)t - 2m -1 (1) Yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình (1) có ba nghiệm bội lẻ phân biệt. Dễ thấy đường thẳng D có phương trình cố định (-1;0). y = -(2m +1)t - 2m -1 luôn đi qua điểm Xét vị trí của đường thẳng D khi tiếp xúc với đồ thị của hàm số f ¢( x) tại điểm B . Khi đó giá trị tương ứng của m phải thỏa mãn -(2m + 1) = 0 Û m = - 1 . 2 Xét vị trí của đường thẳng D khi tiếp xúc với đồ thị của hàm số f ¢( x) tại điểm A . Khi đó giá trị tương ứng của m phải thỏa mãn Phương trình (1) có ba nghiệm bội lẻ phân biệt khi và chỉ khi - 9 < -(2m + 1) < 0 Û - 1 < m < 7 . 2 2 4 { } mÎZ Þ mÎ 0;1 -(2m + 1) = f ¢¢(-1) = - 9 Û m = 7 . 2 4 Nhận xét: Để giải được bài toán trên học sinh cần chú ý điểm cố định của đường thẳng D : y = -(2m +1)t - 2m -1 . Hƣớng thứ 2: Mối quan hệ giữa đồ thị và các đƣờng cong nhƣ: Parabol; lƣợng giác, hàm bậc ba; hàm sỗ mũ... Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x) . Hàm số y = f ¢(x) Hàm số có đồ thị như hình bên x 3 g ( x) = f ( x +1) + - 3x 3 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (-2;0) . B. (-1; 2). C. (0; 4). D. (1;5) . Lời giải : Ta có g¢(x) = f ¢(x +1) + x2 - 3 = 0 Û f ¢( x +1) = -( x +1)2 + 2( x +1) + 2 Û f ¢(u) = -u2 + 2u + 2 . Vẽ đồ thị hàm số y = f ¢(u) và y = -u2 + 2u + 2 trên cùng một hệ trục Dựa vào đồ thị ta có f ¢(u) + u2 - 2u - 2 < 0,"u Î(0;3) Þ g¢(x) < 0,"x Î(-1;2). Vậy hàm số y = g (x) nghịch biến trên khoảng (-1; 2). Ví dụ 8. Cho hàm số đa thức y = f (x) có đồ thị y = f ¢(x) như hình vẽ. Số đi
File đính kèm:
skkn_gop_phan_phat_trien_tu_duy_cho_hoc_sinh_thong_qua_mot_s.docx
LÊ MINH HẠNH, LÊ VĂN LỘC- ĐÔ LƯƠNG 3- TOÁN HỌC.pdf