SKKN Phát triển tư duy hàm cho học sinh bậc trung học phổ thông, thông qua giải một số bài toán về tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

æ 1 ;+¥ö
è 2	2 ø
ç	2 ÷ ç 2	÷
è	ø è	ø
Phân tích
Hoạt động tư duy hàm được thể hiện
+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , 2x ,
+ Nghiên cứu sự tương ứng

f (x),

f (2x)
Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của 2x
Với sự biến thiên của 2x , dựa vào bảng biến thiên của hàm số

f (x) ta có sự
biến thiên tương ứng của hàm số
f (2x)
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
y = f (x2 )
Bảng biến thiên hàm số
y = f (x2 )
Hàm số
f (x 2 ) đồng biến trên các khoảng (-¥;-1),(0;1)
nghịch biến trên các khoảng (-1;0),(1;+¥)
Phân tích
Hoạt động tư duy hàm được thể hiện
+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x ,
+ Nghiên cứu sự tương ứng

x 2 ,

f (x),

f (x 2 )
Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của x 2
Với sự biến thiên của
x 2 , dựa vào bảng biến thiên của hàm số
f (x) ta có sự
biến thiên tương ứng của hàm số f (x 2 )
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
y = f (x2 - 3x + 2)
Bảng biến thiên hàm số
y = f (x2 - 3x + 2)
3 -	5
3 +	5
2	æ	ö æ 3	ö
Hàm số
f (x
3x + 2) đồng biến trên các khoảng ç -¥;	2
÷,ç 2 ;	2	÷
è	ø è	ø
3 -	5
3 +	5
æ	3 ö æ	ö
nghịch biến trên các khoảng ç	2	; 2 ÷,ç	2	;+¥ ÷
Phân tích
è	ø è	ø
Hoạt động tư duy hàm được thể hiện
+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x ,
f (x2 - 3x + 2)
+ Nghiên cứu sự tương ứng

x2 - 3x + 2 ,

f (x),
Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của x2 - 3x + 2
Với sự biến thiên của
x2 - 3x + 2 , dựa vào bảng biến thiên của hàm số
f (x) ta
có sự biến thiên tương ứng của hàm số
f (x2 - 3x + 2)
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
y = f (x3 - 3x2 + 2)
Bảng biến thiên hàm số
y = f (x3 - 3x2 + 2)
Hàm số đồng biến trên các khoảng (x ; x ),(0; x ),(x ;2),(x ; x )
1	4	5	2	3	6
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥; x ),(x ;0),(x ; x ),(2; x ),(x
;+¥)
1	4	5	2	3	6
Với x , x , x (x < x < x )
là các nghiệm của phương trình
x3 - 3x2 + 2 = -1
1	2	3	1	2	3
4	5	6	4	5	6
x , x , x (x < x < x )
Phân tích

là các nghiệm của phương trình
x3 - 3x2 + 2 = 1
Hoạt động tư duy hàm được thể hiện
+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x ,
f (x2 - 3x + 2)
+ Nghiên cứu sự tương ứng

x3 - 3x2 + 2 ,

f (x),
Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của x3 - 3x2 + 2
Với sự biến thiên của
x2 - 3x + 2 , dựa vào bảng biến thiên của hàm số
f (x) ta
có sự biến thiên tương ứng của hàm số
f (x3 - 3x2 + 2)
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
æ x - 2 ö
=	ç	÷
y	f
è x -1 ø
Bảng biến thiên hàm số
æ x - 2 ö
=	ç	÷
y	f
è x -1 ø
Hàm số đồng biến trên khoảng
æ 3 ;+¥ ö
ç 2	÷
è	ø
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥;1),æ1; 3 ö
ç	2 ÷
è	ø
Phân tích
Hoạt động tư duy hàm được thể hiện
x - 2

æ x - 2 ö
è	ø
+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x ,
+ Nghiên cứu sự tương ứng
,
x - 1
f (x),
f ç x - 1 ÷
Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của
x - 2
x - 2
x - 1
Với sự biến thiên của

x - 1
, dựa vào bảng biến thiên của hàm số
f (x) ta có
sự biến thiên tương ứng của hàm số
æ x - 2 ö
è	ø
f ç x - 1 ÷
Hàm số
y = f (x) cho bởi đo thị
µBài to n 4. Cho hàm số
y = f (x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài giãi 
y = f (x2 - 2x + 1)
Bảng biến thiên của hàm số
y = f (x)
Bảng biến thiên của hàm số
y = f (x2 - 2x + 1)
Hàm số đồng biến trên các khoảng (1 - Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥;1 - Phân tích
2;0),(1;2),(1 +
2 ),(0;1),(2;1 +
2;+¥)
2 )
- Hàm số không cho bởi công thức nên không sử dụng được phương pháp thế, cũng không sử dụng được phương pháp biến đổi đồ thị hàm số để suy ra đồ thị
hàm số
y = f (x2 - 2x)
từ đò thị hàm số
y = f (x)
- Hoạt động tư duy hàm được thể hiện
+ Từ đồ thị hàm số, lập bảng biến thiên của hàm số
+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x ,
x2 - 2x + 1,
f (x),
y = f (x2 - 2x + 1)
+ Nghiên cứu sự tương ứng
Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của

x2 - 2x + 1
Với sự biến thiên của
x2 - 2x + 1, dựa vào bảng biến thiên của hàm số
f (x) ta
có sự biến thiên tương ứng của hàm số
y = f (x2 - 2x + 1)
Áp dụng giải bài toán về cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
µBài to n 1. Cho hàm số
y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ
Tìm số điểm cực trị của hàm số
Tìm số điểm cực trị của hàm số
Bài giãi 
Tìm số điểm cực trị của hàm số
æ
x - 2
x - 1
y = f ç
è
æ
y = f ç
è
x - 2
x - 1
æ
y = f ç
è
ö
÷
ö
ø
x
- 2

x
- 1

÷ trên (-¥;2)
ø
ö
÷
ø
Bảng biến thiên của hàm số
æ	ö
x - 2
x - 1
y = f ç	÷
è	ø
Hàm số có 3 điểm cực trị
Tìm số điểm cực trị của hàm số

y = f ç	÷ trên (-¥;2)
æ	ö
x
- 2

x
- 1

è	ø
Bảng biến thiên của hàm số
æ	ö
x
- 2

x
- 1

y = f ç	÷
è	ø
Hàm số có 4 điểm cực trị trên (-¥;2)
µBài to n 2. Cho hàm số
f (x) = x3 - 3x .
Tìm điểm cực tiểu của hàm số f (2x)
Tìm m để hàm số
f (2x + m)
đạt cực đại tại
x = 2
Tìm GTLN, GTNN của hàm số

f (2x)
trên (-
3; 3 )
Tìm m để GTLN của hàm số
Tìm điểm cực tiểu của hàm số
f (2x) + m
Lời giãi
f (2x)
trên (-
3; 3 )
bằng 3
Bảng biến thiên của hàm số
f (x)
Bảng biến thiên của hàm số f (2x)
3
Ðiểm cực tiểu của hàm số
f (2x)
là x = -
3, x = 0, x =
Tìm m để hàm số
f (2x + m)
đạt cực đại tại
x = 2
Ðặt
g(x) =
f (2x)

æ æ	m öö	æ	m ö
Ðặt
h(x) =
f (2x + m) Þ h(x) =
f ç 2ç x +	÷÷ = g ç x +	÷
è è	2 øø	è	2 ø
Ðồ thị hàm số
h(x)
là ảnh của đồ thị hàm số
g(x) =
f (2x)
qua phép tịnh tiến
theo véctơ
æ -m	ö
u	;0
ç 2	÷
Þ h(x)
è	ø
đạt cực đại tại
x = -1 - m , giá trị cực đại bằng 2
2	2
h(x)

đạt cực tiểu tại
x = 1 - m , giá trị cực tiểu bằng -2
2	2
Dựa vào BBT hàm số
f (2x)
trên ta có
f (2x + m)
đạt cực đại tại các điểm
-1	m	1	m
x =	-	và
2	2
x =	-
2	2

2	2
é-1 - m = 2
Þ f (2x + m)
đạt cực đại
ê
x = 2 Û
Û ém = -5
ê 1	m	êm = -3
ê
ê	-	= 2	ë
ë 2	2
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
f (2x)
trên (-
3; 3 )
Dựa vào BBT hàm số
f (2x)
trên ta có
Max f (2x) = 2,	Min
f (2x) = 0
(- 3; 3)	(- 3; 3 )
Tìm m để GTLN của hàm số
f (2x) + m
trên (-
3; 3 )
bằng 3
Dựa vào BBT hàm số
f (2x)
trên ta có:
- Với
m > 0 , hàm số
f (2x) + m
đạt GTLN trên (-
3; 3 ) bằng 2 + m .
2 + m = 3 Û m = 1 > 0
- Với
m < 0 , hàm số
f (2x) + m
đạt GTLN trên (-
3; 3 ) bằng
-2 + m .
ë	ë
é-2 + m = 3	ém = 5
-2 + m
= 3 Û ê-2 + m = -3 Û êm = -1
kết hợp
m < 0 Þ m = -1
Vậy m cần tìm là m = ±1
PHÁT TRIỂN TƢ DUY HÀM THÔNG QUA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
µBài	to n 1 (Câu 49 đ 1 2 – thi P n 2 21). Cho hàm số
y = f (x) có đạo hàm	f ¢(x) = (x - 8)(x2 - 9),"x Î	. Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số m để hàmsố g(x) = f ( x3 + 6x + m) có ít nhất 3 điểm cực trị?
A. 5	B. 8 .	C. 6	D. 7 .
Lời giãi
Ðể giải quyết bài toán trên ta có thể tham khảo một số cách giải sau.
Cách 1
g(x) =
f ( x3 + 6x
+ m) Þ g¢(x) = ( x3 + 6x
+ m )¢ × f ¢( x3 + 6x
m )
=	×	¢( 3 +
(x3 + 6x )×(3x2 + 6)
x3 + 6x
f	x	6x
m)
Ta thấy
x = 0
là một điểm tới hạn của hàm số
g(x).
Mặt khác
f ¢( x3 + 6x
é x3 + 6x
m) 0
+	=	Û ê
ë
ê x3 + 6x
+ m = 8
+ m = 3
é x3 + 6x
Û ê
ë
ê x3 + 6x
= 8 - m
= 3 - m
Xét hàm số
h(x) = x3 + 6x , vì
h¢(x) = 3x2 + 6 > 0,"x Î	nên
h(x)
đồng biến
trên . Ta có bảng biến thiên của hàm số
k(x) =| h(x) |=
x3 + 6x
như sau:
Hàm số g(x) =
f ( x3 + 6x + m) có ít nhất 3 điểm cực trị khi phương trình
f ¢( x3 + 6x
m) = 0 có ít nhất hai nghiệm khác 0 . Ðiều này xảy ra khi và chỉ
khi 8 - m > 0	hay	m < 8 . Kết hợp điều kiện	m	nguyên dương ta đượC
m Î{1;2;3¼;7} . Vậy có 7 giá trị của m thoả mãn.
Cách 2
Nhận thấy hàm g(x) =
f ((x2 + 6) | x | +m) là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng
qua trục tung. Ðể hàm số
g(x) = f ( x3 + 6x + m)
có ít nhất 3 điểm cực trị thì hàm
h(x) = f (x3 + 6x + m)
có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ dương, tức
h¢(x) = (3x2 + 6) f ¢(x3 + 3x + m) = 0
có nghiệm dương hay
é x3 + 3x + m = 8	éx3 + 3x - 8 = -m
ê
ê
ê x3 + 3x + m = 3	Û êx3 + 3x - 3 = -m
có nghiệm dương.
ë
ê x3 + 3x + m = -3
êëx3 + 3x + 3 = -m
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra
Cách 3
ìm > 0
î
í-m > -8
Û 0 < m < 8.
Biện luận bằng phương pháp sử dụng tư duy hàm vào sự biến thiên của hàm số
.
Từ công thức f ¢(x) = (x - 8)(x2 - 9),"x Î	ta có bảng biến thiên của hàm số
y = f (x ) như sau:
Ðặt
u(x) =
x2 + 6x
m , ta có sự tương ứng hàm theo biến x như sau
Và với sự biến thiên tương ứng của
x2 + 6x + m
dựa vào bảng biến thiên của
hàm số
f (x) ta có sự biến thiên tương ứng của hàm số
f ( x2 + 6x
m) một cách
đầy đủ trong tất cả các trường hợp của tham số m như sau
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị m cần tìm là 0 < m < 8 .
h n ch Ðối với 2 cách giải trên chúng ta lập luận riêng rẽ từng trường hợp nên học sinh khó nắm bắt được trọn v n của bài toán, sẽ rất khó để giải quyết bài toán nếu ta thay đổi một số câu hỏi, sáng tạo thêm một số bài toán mới dựa trên bài toán gốc này. Với cách giải thứ 3, tính tư duy hàm được thể hiện qua
+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , x2 + 6x ,
x2 + 6x , x2 + 6x + m
và cuối cùng là
f ( x2 + 6x
m)
+ Nghiên cứu sự tương ứng
Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của

x2 + 6x
Với sự biến thiên của
x2 + 6x , Ta có sự biến thiên tương ứng của
x2 + 6x
Với sự biến thiên của
x2 + 6x , Ta có sự biến thiên tương ứng của
x2 + 6x + m
dựa vào bảng biến thiên của hàm số
f (x)
ta có sự biến thiên tương ứng của
hàm số
f ( x2 + 6x
m) một cách đầy đủ trong tất cả các trường hợp của tham số
m , giúp học sinh hiểu sâu sắc bài toán, đủ khả năng để sáng tạo các câu hỏi mới như:
µC u hỏi 1 Tìm
(0;+¥) ?
m > 0 để hàm số
g (x) = f ( x2 + 6x
m)đồn