SKKN Nâng cao năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh THPT qua các bài toán ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trong thực tế

8x ; P ''(20) = 960 + 18.20 > 0
x3	1000	203	1000
Suy ra
P ( x) đạt GTNN tại
x = 20
Vậy vận tốc của tàu
x = 20(km / h)
. Chọn C.
Nhận xét: Với dạng toán liên quan vận tốc và quãng đường của chuyển động, đây cũng là dạng toán thường gặp trong môn vật lý đã có công thức liên hệ giữa các đại lượng liên quan, chúng tôi thấy rằng trong quá trình dạy học giáo viên cho học sinh làm các bài toán dạng này gây hứng thú cho học sinh và qua đó phần nào giúp học sinh biết mở rộng các tình huống của bài toán thực tế.
Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng xác định được các biến số, tham số liên quan và mối liên hệ giữa các biến số trong bài toán thực tế.
-Cơ sở của biện pháp
Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học bằng các ngôn ngữ toán học. Ngôn ngữ và các công cụ toán học là các biến số, tham số, kí hiệu,... Do vậy, việc rèn luyện kỹ năng xác định được các biến số, tham số liên quan và mối liên hệ giữa các biến số cho học sinh là cần thiết. Sau khi phát hiện được quy luật của tình huống và phát biểu lại tình huống bằng ngôn ngữ riêng của mình, học sinh cần làm công việc tiếp theo là đặt biến cho các đại lượng hay là biểu diễn các đại lượng theo biến đó. Hoạt động này thể hiện việc chuyển đổi ngôn ngữ thực tiễn sang ngôn ngữ toán học. Thông qua đó, học sinh được phát triển các thành tố năng lực mô hình hóa sau đây:
Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học: Học sinh được rèn luyện kỹ năng xác định biến số, tham số liên quan từ đó khả năng diễn đạt tình huống bằng ngôn ngữ toán học ngắn gọn, chính xác hơn, có thể diễn đạt một vấn đề dưới nhiều hình thức khác nhau.
Năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm: Để rèn luyện tốt kỹ năng này học sinh cần biết cách xác định được yếu tố trung tâm của tình huống, gọi ẩn, đặt biến và biểu diễn các yếu tố theo biến đã đặt trước đó. Học sinh chuyển đổi được bài toán thực tế sang ngôn ngữ toán học.
Năng lực xây dựng mô hình hóa toán học: Học sinh biểu diễn các đại lượng bằng các kí hiệu, các khái niệm toán học, công thức toán học. Xác định các biến số, tham số, các biểu thức chứa biến, mối liên hệ giữa các biến số. Từ đó, khái quát tình huống thực tiễn theo quan điểm Toán học.
Năng lực kiểm tra, đánh giá và điều chỉnh mô hình: Học sinh đối chiếu kết quả sau khi đưa tình huống thực tiễn về ngôn ngữ toán học, nhận xét, lập luận, so sánh để tìm ra các mô hình hợp lý hơn.
-Cách thức thực hiện
Việc sử dụng mô hình hóa hỗ trợ rèn luyện kĩ năng xác định biến số, tham số liên quan và mối liên hệ giữa các biến số được thực hiện thông qua các bài toán mô hình hóa. Học sinh dựa trên kiến thức toán học, sử dụng các tham số, biến số để chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài toán toán học để giải quyết
bằng ngôn ngữ toán học. Chúng tôi lồng ghép bài toán thực tiễn, hướng dẫn học sinh tìm hiểu, khám phá và đưa về bài toán toán học trong quá trình dạy học.
a/ Xác định mối liên hệ các biến, tham số trong bài toán thực tiễn chứa yếu tố hình học ( độ dài, diện tích, thể tích)
Xác định mô hình toán học.
Sử dụng các công thức toán học liên quan đến tình huống thực tế trong mô hình toán học đã lựa chọn.
Từ sự phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán kết hợp các công thức tính độ dài, tính diện tích, tính thể tích để lập hàm xác định biến cần xác định.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng r = 2m , chiều cao h = 6m . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng
hình khối trụ như hình vẽ. Gọi V
khi chế tác. Tính V ?
là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau
A. V = 32p (m3 ).	B. V = 32p (m3 ).	C. V = 32 (m3 ) .	D. V = 32p (m2 ).
9	3	9	9
Phân tích:
Mô hình toán học: khối trụ, khối nón.
Các công thức toán học liên quan: Thể tích khối trụ. Tỷ số các cạnh của 2 tam giác đồng dạng.
Gọi h’ là chiều cao và x là bán kính đáy của khối trụ. Từ giả thiết khúc gỗ khối trụ nội tiếp khối nón (hình vẽ) ta tìm mối liện hệ giữa chiều cao, bán kính đáy của khối trụ với khối nón đã biết. Lập hàm tính thể tích khối trụ theo một biến; quy về bài toán tìm GTLN của hàm số.
Lời giải
Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là x, h’ (m)
(0 < x < 2; 0 < h¢ < 6) .
Ta có:
h¢ = 2 - x Û h¢ = 6 - 3x 6	2
Thể tích khối trụ: V = p x2h¢ = p x2 (6 - 3x) = 6p x2 - 3p x3 .
4
é x = 0(l)
Ta có V ¢(x) = 12p x - 9p x2 ,
V ¢(x) = 0 Û ê
ê x =
ë	3
Þ x = 4 (m) Þ V = 32 p (m2 ) 3	9
Chọn D.
Ví dụ 2. Bác nông dân muốn làm hàng rào trồng rau hình chữ nhật có chiều dài song song với hàng tường gạch. Bác chỉ làm ba mặt hàng rào bởi vì mặt thứ tư bác tận dụng luôn bờ tường. Bác dự tính sẽ dùng 200m lưới để làm nên toàn bộ hàng rào đó. Diện tích đất trồng rau lớn nhất bác có thể rào nên là:
Hàng rào
Bờ tường
A. 1500m2.	B. 10 000m2.	C. 2500m2.	D. 5000m2.
Phân tích:
Mô hình toán học : hình chữ nhật, đại lượng biến đổi là chiều dài và rộng ( 2 biến bài toán).
Từ bài toán dùng 200m lưới để làm hàng rào nên suy ra mối liên hệ giữa 2 biến đó.
Bài toán quy về tìm chiều dài và rộng của hình chữ nhật thõa mãn điều kiện cho trước để diện tích lớn nhất. Từ đó, gọi 2 cạnh hình chữ nhật là x và y; tìm được mối quan hệ giữa x và y, tính diện tích hình chữ nhật theo một biến x hoặc y. đưa về bài toán tìm GTLN của hàm số.
Lời giải: Xét hình chữ nhật như hình vẽ. Gọi x và y là 2 cạnh hình chữ nhật thì 0 < x, y < 200
Ta có:
x + 2 y = 200 Û x = 200 - 2 y .
Diện tích đất rào được tính bởi:
f ( y) = y(200 - 2 y) = -2 y2 + 200 y
Xét hàm số
f ( y ) = -2 y2 + 200 y
trên khoảng (0; 200) .
Do:
f '( y ) = 0 Û y = 50 . Lập bảng biến thiên:
Vậy GTLN của diện tích đất rào được 5000m2 . Chọn D.
Ví dụ 3. ( Đề thi minh họa ĐGNL của ĐHQGHN năm 2021). Người ta cần chế tạo các món quà lưu niệm bằng đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, được mạ vàng 4 mặt bên và có thể tích bằng 16 cm3 . Diện tích mạ vàng nhỏ nhất của
khối chóp bằng bao nhiêu Đáp án
Phân tích:
cm2 ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Mô hình toán học: Hình chóp tứ giác đều.
Các công thức toán học liên quan: Thể tích khối chóp tứ giác đều.và diện tích hình các tam giác cân.
Bài toán đã cho thể tích, từ đó ta tìm mối liên hệ giữa đường cao khối chóp tứ giác đều (SO) với độ dài cạnh đáy, biễu diễn diện tích mặt bên qua các đại lượng đó.
Diện tích mạ vàng nhỏ nhất ứng với tổng các diện tích các mặt bên nhỏ nhất, ta quy về bài toán tìm GTNN của hàm số.
Hình ảnh minh họa:
Lời giải:
Giả sử chóp tứ giác đều là S.ABCD ; Gọi O = AC Ç BD Þ SO ^ ( ABCD).
Đặt
AB = x(x > 0) ta có S
= x2 Þ V	= 1 SO.x2 = 16 Þ SO = 48
ABCD	ABCD	3	x2
Gọi M là trưng điểm CD ta có
ìCD ^ OM Þ CD ^ (SOM ) Þ CD ^ SM
SO2 + OM 2
æ 48 ö2
ç	÷
è	ø
x
2
+
x2
4
í
îCD ^ SO
Ta có
SM =
=	Þ SDSCD
= 1 SM .CD =
1	482 + x4
2
x2
4
2
Để diện tích mạ vàng nhỏ nhất thì
SDSCD =
482
6 4608
x2
x4
4
nhỏ nhất.
Xét hàm số
f (x) =
482
x2
x4
4
(x > 0) .
f ¢(x) = -
482.2
3
x
x3
= 0 Û x =
6 4608
Lập bảng biến thiên ta có GTNN của hàm số (0; +¥)
đạt tại
x =	và
fNN
» 207, 68. Vậy diện tích mạ vàng nhỏ nhất của khối chóp
S » 28,82cm2
b/ Xác định mối liên hệ các biến, tham số trong bài toán kinh tế.
-Xác định mô hình toán học.
Sử dụng các công thức toán học liên quan đến tình huống thực tế trong mô hình toán học đã lựa chọn.
Phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán kết hợp các công thức liên quan trong kinh tế ( chi phí sản xuất, thu nhập) để lập hàm tính đại lượng bài toán yêu cầu.
Ví dụ minh họa: Một nhà xuất bản nhận in 4000 ấn phẩm. Nhà xuất bản có tất cả 14 máy in được cài đặt, hoạt động tự động và giám sát bởi 1 kĩ sư. Mỗi máy in có thể in được 30 ấn phẩm trong một giờ. Chi phí cài đặt máy in là 12 USD/máy, chi phí giám sát là 9USD/giờ. Số máy in nhà xuất bản nên sử dụng để chi phí in là nhỏ nhất là A. 10 . B. 12 . C. 9 . D. 14 .
Phân tích:
Ba đại lượng biến đổi trong bài toán là : 1. Số máy in; 2. chi phí cần để giám sát mày; 3. chi phí để cài đặt máy.
Chi phí để in được 4000 ấn phẩm phụ thuộc vào tổng chi phí cần để giám sát mày và chi phí để cài đặt máy.
Cần lập mối liên hệ giữa 3 đại lượng trên.
Lời giải
Gọi x là số máy in mà nhà xuất bản sử dụng (1 £ x £ 14) .
Chi phí lắp đặt là 12x . Số giờ để sản xuất đủ số ấn phẩm là 4000 .
30x
Chi phí giám sát là
9. 4000 = 1200 . Chi phí sản xuất của nhà sản xuất là:
30x	x
F ( x) = 12x + 1200 ;
x
F¢( x) = 12 - 1200 , F¢( x) = 0 Û x2 = 100 Û x = 10 > 0
x2
Ta có :
F (1) = 1212 ,
F (10) = 240 ,
F (14) = 1776
7
Î[	]
min F ( x) = min{F (1), (10), F (14)} = F (10) = 240 USD . Chọn đáp án A.
x 1;14
Biện pháp 5: Chọn cấp độ phù hợp năng lực học sinh.
Việc lựa chọn một vấn đề ngoài toán học để uỷ thác cho học sinh không phải là dễ. Bài toán liên hệ thực tế có độ trừu tượng, yêu cầu tình huống khó gần với
toán học sẽ làm cho học sinh không biết làm thế nào để đưa về bài toán cần giải quyết, số liệu cồng kềnh, các biến số trong bài toán nhiều, dẫn đến học sinh gặp khó khăn trong việc phân tích mối quan hệ của các yếu tố trong tình huống thực tế để đưa về bài toán toán học. Vì vậy, cần một tình huống thực tiễn “biến đổi” đến mức nào thì phù hợp, đủ cho việc giảng dạy để phát triển năng lực mô hình hóa cho phù hợp đối tượng học sinh? Điều này đòi hỏi chúng tôi phải tìm hiểu và đưa ra các bài toán phù hợp đối tượng học sinh và tăng dần cấp độ theo thời gian.
Để học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức, các tình huống và bài tập mô hình hóa cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Học sinh tự mình giải quyết được vấn đề của bài toán có ảnh hưởng rất lớn về mặt tâm lý. Nếu học sinh gặp thất bại ngay từ bài toán đầu tiên dễ làm cho học sinh nản chí, dễ gây mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho quá trình học tập. Chính vì vậy, khi thiết kế hoạt động mô hình hóa, bài tập mô hình hóa giáo viên cần chú ý đến các cấp độ mô hình hóa. Theo Ludwig và Xu (2010) về các đánh giá cấp độ mô hình hóa :
Cấp độ 0: Học sinh không hiểu tình huống, không thể phác thảo hay viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề.