SKKN Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác bài toán đạo hàm của hàm hợp

 t = 3- 2x Þ x = 3- t . Khi đó
2
f ¢(t ) = a.3- t .æ 3- t +1ö.æ 3- t - 2ö = - a (t +1)(t - 3)(t - 5)
2	ç	2
÷ ç	2	÷	8
è	ø è	ø
8
Þ f ¢( x) = - a ( x +1)( x - 3)( x - 5) , với

a < 0 .
Bảng xét dấu của
f ¢( x) như sau
Vậy hàm số
y = f (x)
nghịch biến trên các khoảng (-¥;-1)
và (3;5) .
Cách 2: Đổi biến tìm dấu của
f ¢( x)
Đặt t = 3- 2x Þ x = 3- t . Khi đó
2
Ta có
f ¢(t ) < 0 Û
f '(3- 2x) < 0 Û é-1< x < 0
ê x > 2
ë
é-1< 3- t < 0

é3 < t < 5
ê3- t
ë
Û ê	2
ê	> 2
Û êt < -1	.
Suy ra
f ¢( x) < 0 Û é3 < x < 5 .
ê x < -1
ë
ëê 2
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥;-1)
Nhận xét:
và (3;5) .
Đề bài cho đồ thị hàm số
y = f '(3 - 2x)
nên sẽ gây lúng túng ban đầu đối với học
sinh khá trở xuống. Đối với bài toán này thì cách 1 là đơn giản và ngắn gọn nhất. Tuy nhiên, đối với bài toán khác nếu chỉ cho đồ thị mà không cho dạng của hàm số thì cách 1 lại không làm được. Khi đó phải sử dụng đến cách 2.
Bài toán 8: Cho hàm số
y = f ( x)
có đồ thị hàm số
y = f '(2x +1)
như hình vẽ. Hàm
số g ( x) =
f ( x) - 1 x2 - 1 x . Đồng biến trên khoảng nào sau đây?
4	2
A. (-¥; -3) .	B. (-3; 0) .	C. (1; 4) .	D. (4; +¥) .
Ta có

g ( x) =
Lời giải
f ( x) - 1 x2 - 1 x
4	2
g'( x) =
f '( x) - 1 x - 1
2	2
g'( x) = 0 Û
f '( x) = 1 x + 1
2	2
(1)
Đặt
x = 2t +1,
phương trình (1) Û
Û
f '(2t +1) = 1 (2t +1) + 1
2	2
f '(2t +1) = t +1.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f '(2x +1)

ét = -2

é x = -3
phương trình có các nghiệm
f '(2t +1) = t +1 Û êt = 0	Û ê x =1
ê	ê
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-3;1)
êët = 2	êë x = 5
và (5; +¥) .
Bài toán 9: Cho hàm số
f ( x)
có đạo hàm
f ¢( x) = ( x +1)( x -1)( x - 4);
"x Î. Có
bao nhiêu số nguyên
m < 2020

để hàm số
g ( x) =
f æ 2 - x - m ö

đồng biến trên
ç 1+ x	÷
è	ø
(2; +¥) .
A. 2018.	B. 2019 .	C. 2020 .	D. 2021
Lời giải
Ta có: g¢( x) = -	3	f ¢æ 2 - x - m ö .
( x +1)2
ç 1+ x	÷
Hàm số

g ( x)
è	ø
đồng biến trên (2; + ¥) Û

g¢( x) ³ 0; "x Î(2; + ¥)
Û -	3	f ¢æ 2 - x - m ö ³ 0; "x Î(2; + ¥)
( x +1)2
ç 1+ x	÷
è	ø
Û f ¢æ 2 - x - m ö £ 0; "x Î(2; + ¥)
ç 1+ x	÷
è	ø
ê1 £ x £ 4
Ta có: f ¢( x) £ 0 Û ( x +1)( x -1)( x - 4) £ 0 Û é x £ -1
ë
é 2 - x - m £ -1; "x Î(2; + ¥)	(1)
Do đó: f ¢æ 2 - x - m ö £ 0; "x Î(2; + ¥) Û ê 1+ x
ç 1+ x	÷
ê	2 - x
è	ø	ê1 £	- m £ 4; "x Î(2; + ¥)	(2)
ëê	1+ x
Hàm số
h( x) = 2 - x - m ;
+
1	x
x Î(2; + ¥)
có bảng biến thiên:
Căn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện (2)
không có nghiệm m thỏa mãn.
Điều kiện (1)
Û -m £ -1
Û m ³ 1,kết hợp điều kiện
m < 2020 suy ra có 2019 giá
trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B
Nhận xét: Có thể mở rộng bài toán đã nêu như sau:
Cho hàm số
f ( x)
có đạo hàm
f ¢( x) = ( x +1)( x -1)( x - 4);
"x Î.Có bao nhiêu
số nguyên
m < 2020 để hàm số
g ( x) =
f æ 2 - x + h(m)ö
đồng biến trên (2; + ¥)
ç 1+ x	÷
è	ø
Bài tập tương tự và nâng cao:
Câu 1. Cho hàm số
y = f ( x)
có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn
f ¢( x -1) = x3 + 2x2 - 3x . Hàm số
y = f (x2 + x)

đồng biến trên khoảng nào
A. (-¥; -1) .	B. (0; +¥) .	C. (-1; 0) .	D.
æ - 1 ; +¥ö .
ç	2	÷
Câu 2. Cho hàm số
y = f ( x)
è	ø
có đạo hàm cấp 3 liên tục trên và thỏa mãn
f ( x). f ¢¢¢( x) = x ( x -1)2 ( x + 4)3 với "x Î	và g ( x) = éë f ¢( x)ùû2 - 2 f ( x). f ¢( x) .
Hàm số h( x) = g (x2 - 2x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (-¥;1) .	B. (2; +¥) .	C. (0;1) .	D. (1; 2) .
Câu 3. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ¢( x) = x ( x +1)2 (x2 + 2mx +1) với
"x Î có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số khoảng (3;5) ?
g ( x) =
f (2x +1) đồng biến trên
A. 3	B. 2	C. 4	D. 6
Dạng 3. Tìm cực trị của hàm số f[u(x)] khi biết đồ thị, bảng biến thiên
của hàm số f’(x).
Phương pháp
Bước 1. Tính đạo hàm y ' = u '. f '(u )

ë
éu ' = 0
Bước 2. Giải phương trình
y ' = 0 Û ê f '(u ) = 0
Bước 3.Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà
Kết luận
y ' không xác định.
Bài toán 10. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn
y = f ( x)
có đồ thị
như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g ( x) = f (x3 + 3x2 ) là
A.5.	B. 3.	C. 7.	D. 11.
Học sinh thường gặp khó khăn khi giải bài toán này là:
- Còn lúng túng khi tính đạo hàm của hàm số
g ( x) =
f (x3 + 3x2 )
- Dễ nhầm lẫn với ví dụ trước là bài toán cho đồ thị hàm số y =
f ( x)
và cho đồ thị
hàm số y =
f ' ( x)
dẫn đến lập bảng biến thiên sai.
Phân tích bài toán
Đây là bài toán tìm cực trị của hàm hợp khi cho đồ thị hàm số y=f(x).
Từ đồ thị hàm số y=f(x) lập bảng biến thiên f’(x).
Tính đạo hàm của hàm hợp g ( x) = f (x3 + 3x2 )
Từ bảng biến thiên f’(x) suy ra nghiệm của phương trình g(x)’=0
Tìm các nghiệm bội lẻ của u’(x)=0, u(x)=a, u(x)=b,
Lời giải
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số
y = f (x) như sau
Ta có g ( x) = f (x3 + 3x2 ) Þ g¢( x) = (3x2 + 6x). f ¢(x3 + 3x2 )
Cho

g¢( x) = 0 Û

é3x2
ê
ê

+ 6x = 0
3	2
é x = 0
ê
ê x = -2
ê
Û ê x3 + 3x2 = a; a < 0	(1)
êë f ¢(x
3x
) = 0
ê x3 + 3x2 = b; 0 < b < 4 (2)
ê
ë
ê x3 + 3x2 = c; c > 4	(3)
Cách 1: Xét hàm số
h( x) = x3 + 3x2
Þ h¢( x) = 3x2 + 6x .
Cho
h¢( x) = 0 Û
é x = 0
ë
ê x = -2
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình (1) có một nghiệm. Phương trình (2) có ba nghiệm. Phương trình (3) có một nghiệm.
Và các nghiệm này không trùng nhau.
Như vậy phương trình
g¢( x) = 0
có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số Cách 2:
g ( x) =
f (x3 + 3x2 ) có 7 cực trị.
Ta có đồ thị của hàm
h( x) = x3 + 3x2 như sau
Từ đồ thị ta thấy:
Đường thẳng y=a cắt đồ thị hàm số y=h(x) tại 1 điểm. Đường thẳng y=b cắt đồ thị hàm số y=h(x) tại 3 điểm.
Đường thẳng y=c cắt đồ thị hàm số y=h(x) tại 1 điểm.
Vậy hàm số
g ( x) =
f (x3 + 3x2 ) có 7 cực trị.
Nếu thay giả thiết bài toán 10 như sau:
Bài toán 11. Cho hàm số bậc bốn y = f ' ( x)
có đồ thị như hình bên. Số điểm cực
trị của hàm số g ( x) = f (x3 + 3x2 ) là
A.4.	B. 6.	C. 7.	D. 11.
Học sinh thường gặp khó khăn khi giải bài toán này là:
- Dễ nhầm lẫn là bài toán cho đồ thị hàm số y =
f ( x)
và cho đồ thị hàm số
y = f ' ( x) .
- Không chú ý đến nghiệm bội chẵn của phương trình
Lời giải
g' ( x) = 0
Ta có
g ( x) = f (x3 + 3x2 ) Þ
g¢( x) = (3x2 + 6x). f ¢(x3 + 3x2 )
é3x2 + 6x = 0
ê	(
g¢( x) = 0 Û
ê
ê f ¢ x
ë
3 + 3x2
) = 0
Phương trình 3x2 + 6x = 0 Û
é x = 0
ë
ê x = -2
¢	3	2
é x3 + 3x2 = a; a < 0
ê
)
ê x3 + 3x2 = 0;
Phương trình
f (x
+ 3x
= 0 Û ê
ê x
ê
êë x
3 + 3x2
3 + 3x2

= 4;
= b; b > 4
Ta thấy:
x3 + 3x2 = 0 Û é x = 0
ê x = -3
ë
ê x = -2
Và x3 + 3x2 = 4 Û é x =1
ë
Xét hàm số
h( x) = x3 + 3x2
Þ h¢( x) = 3x2 + 6x .
Cho
h¢( x) = 0 Û
é x = 0
ë
ê x = -2
Cách 1: Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số h(x)ta thấy:
Phương trình
x3 + 3x2 = a; a < 0 có duy nhất một nghiệm x1 <-3.
Phương trình
x3 + 3x2 = b; b > 4
có duy nhất một nghiệm x2 >1.
Do đó phương trình
g¢( x) = 0 có bốn nghiệm đơn phân biệt và hai nghiệm bội nên
hàm số Cách 2:
g ( x) = f (x3 + 3x2 )

có 6 điểm cực trị.
Ta có đồ thị của hàm
h( x) = x3 + 3x2
như sau
Từ đồ thị ta thấy:
Đường thẳng y=a cắt đồ thị hàm số y=h(x) tại 1 điểm. Đường thẳng y=b cắt đồ thị hàm số y=h(x) tại 1 điểm.
Vậy hàm số
g ( x) = f (x3 + 3x2 )
có 6 điểm cực trị.
Với dạng bài tập này, khi trong đề có chứa tham số thì hướng làm cũng tương tự như các bài toán trên. Cụ thể ta xét bài toán 12.
 O 
Bài toán 12. Cho hàm số thị như hình vẽ.
y = f (x) có đạo hàm
y = f '(x)
với mọi x
. và có đồ
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số có 5 điểm cực trị?
g(x)
f (x2	8x	m)
A. 15.	B. 16.	C. 17.	D. 18.
2(x	4) f '(x2	8x	m)
Lời giải
Ta có
g'(x)

é x2 -8x + m =1 (1)
g'(x) = 0 Û 2(x - 4) f '
(x2
ê
-8x + m) = 0 Û ê x2
ë
ê
- 8x + m = 0	(2)
Yêu cầu bài toán
ê x2 -8x + m = 2	(3)
Û g'(x) = 0 có 5 nghiệm bội lẻ Û mỗi phương trình 2 , 3
đều có hai nghiệm phân biệt khác 4 (vì phương trình (1) có nghiệm bội 2) (*)
é16 - m > 0
ê16 - m + 2 > 0
Cách 1: (*) Û ê
êm ¹ 16
ë
êm ¹ 18
Û m <16 .
Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn điều kiện.
x2
8x
Cách 2: Xét đồ thị (C) của hàm số y	và hai đường thẳng
m, d2 : y
m	2
d : y
1
(hình vẽ).
Khi đó *
d1, d2 cắt (C) tại bốn điểm phân biệt
Û -m > -16 Û m <16
Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn điều kiện.
Cho đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số
y = f ¢(u ) từ đó xác định cực trị của hàm
số y =
f (v(x)) .
Bài toán 13. Giả sử
f ( x)
là một đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm số
y = f '(1- x)
được cho như hình bên.
Hỏi hàm số
g ( x) =
f ç x - 3÷
æ 2	ö
è	ø
có mấy điểm cực đại?
A. 3.	B. 1.	C. 2.	D. 4.
Học sinh thường gặp khó khăn khi giải bài toán này là:
- Đề bài cho đồ thị hàm số
sinh khá trở xuống.
y = f '( x -1)
nên sẽ gây lúng túng ban đầu đối với học
Phân tích bài toán: Đây là dạng toán kết hợp giữa hàm hợp với suy hàm số từ đồ thị.
+) Từ đồ thị hàm số
y = f ¢(t )
suy ngược trở lại hàm số
y = f ¢(t ) . Lưu ý suy luận
ra tính chất của hệ số a , hệ số của biểu thức chứa số mũ cao nhất của hàm
f ¢(t ) .
+) Từ hàm
y = f ¢(t )
suy ra hàm
y = f ¢( x), sau đó chuyển sang hàm
y = f ¢(u ).
+) Xét dấu biểu thức
f ¢(u ) , ra được các khoảng đồng biến, nghịch biến cần tìm.
Lời giải
Cách 1: Xác định công thức của
Dựa vào đồ thị ta có
f ¢( x) .
f '(1- x) = a.x.( x - 2).( x - 3) = -a.éë(1- x) -1ûù.éë(1- x) +1ûù.éë(1- x) + 2ùû ,(với
a > 0 ).
Þ f '( x) = -a ( x -1)( x +1)( x + 2) .
Ta có g '( x) = 2x. f '(x2 -3)= -2a.x (x2 - 4)(x2 - 2)(x2 -1) ,

(a > 0)
g '( x) = 0 Û -2a.x(x2 - 4)(x2 - 2)(x2 -1)= 0 Û x = 0, x = ±2, x = ±
2, x = ±1
Bảng xét dấu của
g¢( x)
như sau
Vậy hàm số
g ( x) =
f (x2 -3) đạt cực đại tại các điểm
x = -2, x = -1, x =1, x = 2.
Cách 2: Đổi biến tìm dấu của
Đặt t =1- x Û x =1- t .
f ¢( x)
Ta có
f ¢(t ) > 0 Û
f '(1- x) > 0 Û é0 <