SKKN Phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua bài toán cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối

m đa thức bậc bốn. Biết và đồ thị hàm số có hình vẽ bên dưới. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn ?
	A. .	B. .	
 C. .	D. .

Lời giải
Ta có qua nên 
Suy ra . Bảng biến thiên của 
Ta có bảng chuyển đổi giá trị 
Khi đó có bảng biến thiên của với 
Hàm sốcó 17 cực trị trên đoạn 
Phương trình có có 16 nghiệm phân biệt trên đoạn. 
Suy ra Phương trình có 16 nghiệm phân biệt trên đoạn .
Vậy hàm có điểm cực trị trên đoạn 
Ví dụ 9. Cho hàm số y=f(x) có đồ thị hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 
A. .	B. .	
C. .	D. .

Lời giải:
Cách 1: Dùng đồ thị.
- Nhận thấy: số giao điểm của với bằng số giao điểm của với .Vì nên có được bằng cách tịnh tiến lên trên đơn vị. 
- Đồ thị hàm số có được bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị nằm phía dưới trục và giữ nguyên phần phía trên trục . Ta xét các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: : đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị (loại).
+ Trường hợp 2: : đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị (thỏa mãn).
+ Trường hợp 3: : đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị (thỏa mãn).
+ Trường hợp 4: : đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (loại).
Vậy Do nên hay .
Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của bằng .
* Cách 2: đạo hàm hàm số hợp.
Ta có: 
- Xét 
Do phương trình có nghiệm phân biệt nên phương trình cũng có nghiệm phân biệt.
Suy ra phương trình phải có 2 nghiệm đơn khác nghiệm (1) hoặc 2 nghiệm đơn và một nghiệm kép trùng với nghiệm của (1).
Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của bằng . Chọn D.
Lời bình: Trong 2 cách giải trên ta nên định hướng cho các em giải theo cách thứ 2 vì đây là cách nhanh nhất và dễ tiếp thu nhất đối với các em!
Ví dụ 10. (Trích đề thi thử chuyên Lam sơn Thanh Hóa lần 2 năm học 2021-2022) Cho hàm số , với là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của thuộc đoạn để hàm số có số điểm cực trị nhiều nhất?
A. 2021.	B. 2022.	C. 4040.	D. 2023
Lời giải
Hàm số có số điểm cực trị nhiều nhất là khi và chỉ khi phương trình có nghiệm phân biệt hay phương trình có nghiệm phân biệt
 Ta có 
Suy ra có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi có nghiệm phân biệt khác và 1 tức là
 do nguyên thuộc nên có 2021 giá trị thỏa mãn.
Ví dụ 11. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên m trên để hàm số có 3 điểm cực trị? 
	B. 	
C. 	D. 
Lời giải: 
Gọi 
Suy ra y=g(x) có 2 cực trị. Để hàm số (1) có 5 cực trị thì phương trình g(x)=0
 có 1 nghiệm đơn (hoặc 1 đơn, 1 kép)
 có 1 nghiệm đơn (hoặc 1 đơn, 1 kép) suy ra có 2020 giá trị cần. Chọn A.
3.3.2.Dạng 2. Tìm số điểm cực trị của hàm ẩn dạng trong đó là hàm số đối và là hằng số khác 
Phương pháp chung:
Bước 1: Tìm số điểm cực trị của hàm số dưới dấu trị tuyệt đối . 
Ta thực hiện như sau:
+) Tính đạo hàm 
+) Giải phương trình  
+) Tìm số nghiệm đơn hoặc bội lẻ và các điểm mà  không xác định. Suy ra số điểm cực trị của hàm . 
Bước 2: Tìm số nghiệm phương trình ta thực hiện như sau:
Lập bảng biến thiên của hàm số , kết hợp tương giao đường thẳng để suy ra số nghiệm đơn, bội lẻ của phương trình 
Bước 3: Kết luận: số cực trị của bằng số điểm cực trị của hàm số cộng với số nghiệm đơn, cộng số nghiệm bội lẻ của phương trình . 
(Theo mệnh đề 1 ở mục 3.1.1).
Ví dụ 1. Cho hàm số với . Biết đồ thị f’(x) như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?. 
A. B. 
C. D. 

Lời giải:
Ta có 
Dựa vào đồ thị hàm ta suy ra có hai nghiệm và và 
Đặt 
Dựa vào tương giao đồ thị f’(x) và đường thẳng y=x suy ra có ba nghiệm , , 
Ta có bảng biến thiên của 
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra có 2 nghiệm đơn. 
Vậy hàm số có 5 có 3 + 2 = 5 điểm cực trị. Chọn B
Ví dụ 2. Cho hàm số đa thức có đạo hàm trên , và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm . Hỏi hàm số có bao nhiêu cực trị?
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6

Lời giải:
Đặt , , 
Theo đồ thị của hàm số thì phương trình có nghiệm 
Ta có bảng biết thiên
Theo bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm và (do có ). Khi đó ta có
Vậy hàm số có cực trị. Chọn C.
Ví dụ 3. Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực trị
A. .	B. .	
C. .	D. .

Lời giải
Xét hàm số có:
Đường cong cắt parabol tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 
Và đổi dấu khi đi qua các điểm nên có ba điểm cực trị.
Xét phương trình 
Ta có bảng biến thiên
Vậy phương trình có tối đa bốn nghiệm ( đơn hoặc bội lẻ )
Vậy hàm số có tối đa điểm cực trị
Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị đạo hàm như hình vẽ dưới đây. Hỏi hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
A. .	B. .
C. .	D. 

Lời giải
Xét hàm số 
Cho 
Ta có đồ thị:
Từ đồ thị ta thấy phương trình có ba nghiệm phân biệt là 
Suy ra hàm số có ba điểm cực trị có tối đa điểm cực trị. Chọn D.
Ví dụ 5. Cho là hàm số đa thức bậc 5 với . Biết hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
 A. 4.	 B. 3.	
 C. 1.	 D. 0.

Lời giải
Xét hàm số 
Ta có: 
Dựa vào đồ thị hàm bậc bốn và ta có 
Suy ra , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . 
Do đó không có điểm cực trị nào.
Xét phương trình 
Vì hàm số đa thức bậc 5 nên liên tục trên cũng là hàm số đa thức bậc 5 do đó liên tục trên liên tục trên , mà Lại có . 
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất . 
Vậy hàm số có điểm cực trị. Chọn C.
 Ví dụ 6. (Trích đề thi thử TN THPT Trường Lương Thế Vinh Hà Nội năm học 2021 -2022)
Cho hàm số liên tục trên . Đồ thị của hàm số như hình vẽ. hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực đại.
A. 4.	 B. 3.	 C. 1.	 D. 2.


Lời giải
Xét hàm số liên tục trên . 
Khi đó nên . Đặt, khi đó xét hàm . Vẽ đồ thị hàm số cùng hệ tọa độ với đồ thị hàm số ta được như hình dưới
Do đó . Ta có bảng biến thiên sau
Vậy hàm số có tối đa 3 cực trị. Chọn B.
Lời bình: Đây là một bài toán khó vì giả thiết cho đồ thị dạng chứ không phải như những bài quên thuộc ở trên là biết đồ thị . Chúng ta phải biết chuyển về xét tương giao giữa đồ thị và đồ thị hàm xác định được.
Ví dụ 7. Cho hàm số bậc bốn có . Hàm có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. .	B. .
C. .	D. .

Lời giải
Từ đồ thị ta có: .
Mặt khác: .
, ta có .
Đặt hay .
(Các nghiệm trên ta chỉ ra được như vậy là do phương trình và tính tương giao của 2 đồ thị ở hình sau).


Do đó . 
Ta có .
Ta có bảng biến thiên như sau: 
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có điểm cực tiểu. Chọn D.
Lời bình: Đây là một bài toán vận dụng cao về cực trị, có sử dụng đến tương giao của đồ thị hàm đa thức và hàm mũ.
3.3.3.Dạng 3. Các bài toán cực trị của hàm số dạng trong đó là các hàm đối x; là hằng số khác . 
Phương pháp chung:
Quy trình giải dạng này vẫn qua 3 bước:
Bước 1: Tìm cực trị hàm số 
+) Tính đạo hàm với là hàm dưới dấu trị tuyệt đối 
+) Giải phương trình  
+) Đặt từ đó dựa vào tương giao của đồ thị để suy ra nghiệm đơn, bội lẻ và các điểm mà  không xác định.
Bước 2: Tìm số nghiệm của phương trình 
Lập bảng biến thiên của hàm số kết hợp tương giao đường thẳng để suy ra số nghiệm đơn của phương trình 
Bước 3: Kết luận số cực trị của hàm bằng số cực trị của hàm cộng với số nghiệm đơn, cộng số nghiệm bội lẻ của phương trình .
Ví dụ 1. Cho là hàm số bậc bốn thỏa mãn Hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
	A. 3. 	B. 5. 	C. 4. 	D. 2.
Lời giải:
Xét hàm số ta có 
Cho 
Đặt ta có 
Xét hàm số ta có 
BBT:


0



 


 







0

0

Khi đó ta có đồ thị hàm số:
Dựa vào đồ thị ta thấy 
 Hàm số có 1 điểm cực trị.
Xét phương trình 
BBT:

0




 
 0

















Dựa vào BBT ta thấy Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số có tất cả 3 điểm cực trị.
Ví dụ 2. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số có Biết là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của hàm số là
A. 	B. 	
C. 	 D. 


Lời giải 
Xét , 
Đặt phương trình (1) trở thành: 
Vẽ đồ thị hàm trên cùng hệ trục tọa độ với hàm .
Dựa vào đồ thị ta có:
Xét phương trình 
Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn A.
Bài tập tương tự ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau
Biết . Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị
A. .	B. .	C. .	D. .
Ví dụ 3. Cho hàm số có Biết là một nguyên hàm của hàm số có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số là
 A. 4.	B. 5.
	C. 6.	D. 3.

Lời giải
Xét hàm số 
Ta có 
Xét hàm số có 
Dựa vào đồ thị ta thấy với mọi do đó với mọi 
Mặt khác Vậy (do)
Bảng biến thiên của 
Suy ra có 1 cực trị
Dựa vào bảng biến thiên có phương trình có 2 nghiệm đơn
Vậy có 1+ 2 = 3 điểm cực trị. Chọn D.
Ví dụ 4. Cho là hàm số bậc 4 thỏa mãn . Hàm số bảng biến thiên như sau:
Hàm số có bao nhiêu cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có bậc ba có điểm cực trị là nên Suy ra . Từ BBT ta có 
 Khi đó Do đó . 
Đặt thì nên
Trên thì nên còn do đó vô nghiệm trên và 
Xét , từ BBT ta thấy đồng biến còn suy ra nghịch biến nên có không quá nghiệm. Lại có: và nên có đúng 1 nghiệm Khi đó đổi dấu khi đi qua nghiệm này. Có nên 
Xét bảng biến thiên của .
Vì nên và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, khác 
Từ đó sẽ có điểm cực trị. Chọn A.
Ví dụ 5. Cho là hàm bậc bốn thỏa mãn . Hàm số đồ thị như sau: Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 	B. 
 C. 	D. 


Lời giải
Do là hàm bậc bốn và từ đồ thị của , ta có: bậc ba có 2 điểm cực trị là nên . Suy ra .
 Do và nên 
Xét hàm số , có .
Bảng biến thiên của
 Dựa vào bảng biến thiên ta có 
+ Với: , mà suy ra vô nghiệm trên . 
+ Trên : đồng biến suy ra đồng biến mà hàm số nghịch biến nên phương trình có không quá 1 nghiệm. Mặt khác, hàm số liên tục trên và ; 
Nên có đúng 1 nghiệm . Bảng biến thiên của: 
Suy ra có 1 cực trị
Dựa vào bảng biến thiên có phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 
Từ đó hàm số có 1 + 2 = 3 điểm cực trị. Chọn A
Ví dụ 6. Cho là hàm bậc ba có . Hàm số có bảng biến thiên sau
Hàm số có bao nhiêu cực trị biết là giá trị lớn nhất của .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Từ bảng biến thiên .
Mà . ; 
Theo bài ra .
Điều kiện có nghiệm là .Nên .
Khi đó .
Xét hàm số 
Đặt suy ra .
Do đó có nghiệm đơn.Vậy hàm số có cực trị.
Xét phương trình . Ta có . 
Đặt , khi đó PT trở thành . Hàm số 
Bảng biến thiên 
Do đó phương trình