SKKN Rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến thiên, đồ thị để giải một số bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

	> 0"x Î éê-1;2ùú
x + 2	(x + 2)2	ë	û
Þ max f (x) = f (2) = 3 , min f (x) = f (-1) = -3 .
éê-1;2ùú
4 éê-1;2ùú
ë	û	ë	û
Phác họa đồ thị hai hàm số y =

3 + a , y = -3 + a
4

và đường thẳng y = 3 :
Dựa vào hình vẽ, ta thấy ngay có hai giá trị của tham số a thỏa mãn yêu cầu đề ra.
@ Hai giá trị của tham số a chính là hoành độ của hai giao điểm của đường thẳng
y = 3 và phần đồ thị màu xanh.
Tìm tham số a để GTLN, GTNN của hàm số y =| f (x) + a | trên đoạn
không vượt quá số K .
éêëa; b ùúû
Bài toán: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn
éêëa; b ùúû . Tìm tham số a
để GTLN, GTNN của hàm số y =| f (x) + a | trên đoạn
Các bước thực hiện:
éêëa; b ùúû không vượt quá số K .
Bước 1: Tính đạo hàm
Bước 2: Tìm các điểm định.
f '(x ) .
1 2
x , x , ... trên đoạn

éêëa, b ùú , tại đó

f '(x )

bằng 0 hoặc không xác
û
Bước 3: Tính giá trị
f (a), f (b), f (x ), f (x ),...
hoặc vẽ bảng biến thiên hàm số
y = f (x)
1	2
trên đoạn
éêëa, b ùúû .
Bước 4: Tìm M = max f (x), m = min f (x ) .
éêëa;bùúû	éêëa;bùúû
Bước 5: Vẽ phác họa đồ thị hai hàm số y = M + a
và y = m + a
lên cùng một hệ trục
tọa độ. Xác định max f (x) + a , min f (x) + a . Vẽ đường thẳng y = K từ đó tìm ra tham
số a .
éêëa;b ùúû
éêëa;b ùúû
@ Ở bước 5, học sinh làm tương tự như hướng dẫn vẽ phác họa ở bài toán tổng quát số 3. Sau đây là một số ví dụ minh họa:
Bài 1. Cho hàm số y = x 3 - 3x + a . Tìm các giá trị của tham số a sao cho giá trị lớn
nhất của hàm số trên đoạn éêë0; 2ùúû không vượt quá 3 .
Hướng dẫn giải:
Đặt	= 3 -	Þ ¢	=	2 -	¢	=	Û x = 1
é
f (x )	x	3x	f (x)	3x	3, f (x)	0	ê

Î éëê0; 2ùú .
û
êx = -1 Ï é0; 2ù
f (0) = 0, f (1) = -2, f (2) = 2
êë	êë	úû
Þ max f (x) = 2, min f (x) = -2 .
éê0;2ùú	éê0;2ùú
ë û	ë û
Phác họa đồ thị y = a + 2 , y = a - 2 :
Từ phương trình: a + 2 = -a + 2 Þ a = 0 Þ A(0;2) . Vẽ thêm đường thẳng y = 3 .
Trên hình vẽ, đường thẳng y = 3 cắt hai nhánh đồ thị màu đỏ tại hai điểm. Hoành độ của hai điểm đó là nghiệm của các phương trình:
a + 2 = 3 Û a = 1, -a + 2 = 3 Û a = -1
Þ max f (x) + a
éêë0;2ùúû
£ 3 Û -1 £ a £ 1 .
@ Điều kiện max f (x) + a
éêë0;2ùúû
£ 3 ứng với phần đồ thị ở hai nhánh màu đỏ nằm phía
dưới đường thẳng y = 3 bao gồm cả hai giao điểm tại a = ±1 .
Bài 2. Cho hàm số y = x 4 - 8x 2 + a . Tìm các giá trị của tham số a thỏa mãn giá trị
lớn nhất của hàm số trên đoạn éêë1; 3ùúû không vượt quá 15.
Hướng dẫn giải:
ê	ë	û
éx = 0 Ï éê1; 3úù
Đặt f (x) = x 4 - 8x 2 Þ f ¢(x) = 4x 3 - 16x, f ¢(x) = 0 Û êx = 2 Î é1; 3ù	.
é	ù
ê	êë	úû
f (1) = -7, f (2) = -16, f (3) = 9
ê
êëx = -2 Ï êë1; 3úû
Þ max f (x) = 9, min f (x ) = -16 .
éê1;3ùú	éê1;3ùú
ë û	ë û
Phác họa đồ thị hai hàm số y = a + 9 , y = a - 16 :
7	æç7 25ö÷
Xác định tọa độ điểm A : -a + 16 = a + 9 Þ a =	Þ Aç ;	÷. Vẽ đường thẳng y = 15 .
2	çè2 2 ø÷
Trên hình vẽ, đường thẳng y = 15 cắt hai nhánh đồ thị màu đỏ tại hai điểm. Hoành độ của hai điểm đó là nghiệm của các phương trình:
a + 9 = 15 Û a = 6, -a + 16 = 15 Û a = 1
Þ max f (x) + a
éêë0;2ùúû
£ 15 Û 1 £ a £ 6 .
Bài 3. Cho hàm số y = x 2 - 4x + a . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số
a thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn tử của tập hợp S là:
éêë-1; 3ùúû không vượt quá 5. Số phần
A. 20.	B. 19.	C. 21.	D. 25.
Hướng dẫn giải:
Đặt
f (x) = x 2 - 4x Þ f ¢(x) = 2x - 4, f ¢(x) = 0 Û x = 2 Î éêë-1; 3ùúû .
f (-1) = 5, f (2) = -4, f (3) = -3
Þ max f (x) = 5, min f (x) = -4 .
éê-1;3ùú	éê-1;3úù
ë	û	ë	û
Phác họa đồ thị hai hàm số y = a + 5 , y = a - 4

và đường thẳng y = 5 :
Trên hình vẽ, đường thẳng y = 5 cắt hai nhánh đồ thị màu xanh tại hai điểm. Hoành độ của hai điểm đó là nghiệm của các phương trình:
a - 4 = 5 Û a = 9, - a - 5 = 5 Û a = -10
Þ min f (x) + a
éêë-1;3ùúû
£ 5 Û -10 £ a £ 9 Þ S = {-10; -9; -8;...; 8; 9} .
@ Điều kiện min f (x ) + a £5
éêë-1;3ùúû
ứng với ba nhánh màu xanh nằm phía dưới đường
thẳng y = 5 bao gồm cả hai giao điểm tại a = -10 và a = 9 .
Bài 4. Cho hàm số y = 2x 3 - 3x 2 + a . Tìm tất cả các giá trị của a để giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên đoạn éêë-1; 3ûúù không vượt quá 3?
Hướng dẫn giải:
éx = 0 Î é-1; 3ù
Đặt f (x) = 2x 3 - 3x 2 Þ f ¢(x) = 6x 2 - 6x, f ¢(x) = 0 Û ê
êë	úû .
êx = 1 Î é-1; 3ù
ëê	êë	úû
f (-1) = -5, f (0) = 0, f (1) = -1, f (3) = 27
Þ max f (x) = 27, min f (x) = -5 .
éê-1;3ùú	éê-1;3úù
ë	û	ë	û
Phác họa đồ thị hai hàm số y = a + 27 , y = a - 5 và đường thẳng y = 3 :
Trên hình vẽ, đường thẳng y = 3 cắt hai nhánh đồ thị màu xanh tại hai điểm. Hoành độ của hai điểm đó là nghiệm của các phương trình:
a - 5 = 3 Û a = 8 ; -a - 27 = 3 Û a = -30
Þ min f (x) + a
éêë-1;3ùúû
£ 3 Û -30 £ a £ 8 .
Tìm tham số a để GTLN của hàm số y =| f (x) +a | trên đoạn
GTNN.
éêëa; b ùúû đạt
Bài toán: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn
éêëa; b ùúû . Tìm tham số a
để GTLN của hàm số y =| f (x) + a | trên đoạn
Các bước thực hiện:
éêëa; b ùúû đạt giá trị nhỏ nhất.
Bước 1: Tính đạo hàm
Bước 2: Tìm các điểm định.
f '(x ) .
1 2
x , x , ... trên đoạn

éêëa, b ùú , tại đó

f '(x )

bằng 0 hoặc không xác
û
Bước 3: Tính giá trị
f (a), f (b), f (x ), f (x ),...
hoặc vẽ bảng biến thiên hàm số
y = f (x)
1	2
trên đoạn
éêëa, b ùúû .
Bước 4: Tìm M = max f (x), m = min f (x ) .
éêëa;bùúû	éêëa;bùúû
Bước 5: Vẽ phác họa đồ thị hai hàm số y = M + a
và y = m + a
lên cùng một hệ trục
tọa độ. Xác định max f (x) + a . Xác định tọa độ điểm A mà tại đó max f (x) + a đạt giá
éêëa;b ùúû
trị nhỏ nhất, từ đó tìm ra tham số a .
éêëa;bùúû
@ Ở bước 5, học sinh làm tương tự như hướng dẫn vẽ phác họa ở bài toán tổng quát số 2. Sau đây là một số ví dụ minh họa:
Bài 1. Cho hàm số y = x 3 - 2x 2 + x + a . Tìm tham số a để giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
éêë-1; 2ùúû đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
éx = 1 Î é-1; 2ù
Đặt
ê	êë	ûú
f (x) = x 3 - 2x 2 + x Þ f ¢(x) = 3x 2 - 4x + 1, f ¢(x) = 0 Û ê	1	.
êx =	Î éê-1; 2ùú
ëê	3	ë	û
æç1÷ö	4
f (-1) = -4, f ç ÷ =	, f (1) = 0, f (2) = 2 Þ max f (x) = 2, min f (x) = -4 .
çè3÷ø	27
éê-1;2ùú
éê-1;2ùú
ë	û	ë	û
Phác họa đồ thị hai hàm số y = a + 2 , y = a - 4 :
Tọa độ điểm A : -a + 4 = a + 2 Û a = 1 Þ A(1; 3).
Dựa vào hình vẽ, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn nhất khi a = 1 .
éêë-1; 2ùúû đạt giá trị nhỏ
@ Đây là một bài toán khó đối với học sinh. Thứ nhất, trong đề ra vừa có giá
trị lớn nhất vừa có giá trị nhỏ nhất. Thứ hai, khó ở quá trình lập luận tìm GTLN,
GTNN. Nhờ vào việc phác họa đồ thị, học sinh có thể thấy được ngay
max f (x) + a .
éêëa;b ùúû
Học sinh cũng dễ dàng nhận ra được điểm A trên hình vẽ là điểm thấp nhất trên hai
nhánh màu đỏ tương ứng với
max f (x) + a .
éêëa;b ùúû
Bài 2. Tìm các giá trị của tham số a để giá trị lớn nhất của hàm số
y = 1 x 4 + 1 x 3 - x 2 + a trên đoạn
é-3; 2ù
đạt giá trị nhỏ nhất?
4	3
Hướng dẫn giải:
ëê	úû

éx = 0 Î é-3; 2ù
ê	êë	úû
Đặt
1 4	1 3	2	¢	3	2	¢
ê	é	ù
f (x ) =
x +	x - x Þ f (x ) = x + x - 2x, f (x ) = 0 Û êx = 1 Î ê-3; 2ú	.
4	3	ê	ë	û
êx = -2 Î é-3; 2ù
êë
f (-3) = 9 , f (-2) = - 8 , f (0) = 0, f (1) = - 5 , f (2) = 8 .
4	3	12	3
Þ max f (x ) = 8 , min f (x ) = - 8 .
ëê	úû
é-3;2ù
3 é-3;2ù	3
ëê	úû	ëê	úû
Phác họa đồ thị hai hàm số y = a + 8 ,y = a - 8 :
3	3
é-3; 2ù
Dựa vào hình vẽ, giá trị lớn nhất của hàm số y =
đạt giá trị nhỏ nhất khi a = 0 .
1 x 4 + 1 x 3 - x 2 + a
4	3
trên đoạn
ëê	úû

Bài 3. Cho hàm số

f (x ) = 2x 3 - 3x 2 + 1. Tìm các giá trị thực của tham số a sao
cho giá trị lớn nhất của hàm số y =
Hướng dẫn giải:
f (2 cos x + 1) + a
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đặt u = 2 cos x + 1 Þ -1 £ u £ 3 .
3	2	2
éu = 0 Î éê-1; 3ùú
f (2 cos x + 1) = f (u) = 2u
— 3u + 1 Þ f ¢(u) = 6u
— 6u, f ¢(u) = 0 Û ê	ë	û
u = 1 Î -1; 3
ê	é	ù
f (-1) = -4, f (0) = 1, f (1) = 0, f (3) = 28
êë
Þ max f (u) = 28, min f (u) = -4 .
ëê	úû
éê-1;3ùú	éê-1;3úù
ë	û	ë	û
Phác họa đồ thị hai hàm số y = a + 28 , y = a - 4 :
Tọa độ điểm A : -a + 4 = a + 28 Û a = -12 Þ A(-12;16).
Kết luận: Có duy nhất một giá trị a = -12 thỏa mãn yêu cầu của đề ra.
x 2 -(a + 1)x + 2a + 2
x - 2
Bài 4. Cho hàm số y =
lớn nhất của hàm số trên đoạn
3 .
2
Hướng dẫn giải:

éêë-1;1ùúû
1 .
2

với a là tham số thực. Hỏi giá trị có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
C. 2 .	D. 3 .
Dễ thấy x = 2 Ï éêë-1;1ùúû
x 2
x 2 - (a + 1)x + 2a + 2
và
x - 2
x 2 - 4x

x 2
.
=	- a - 1
x - 2
éx = 0 Î é-1;1ù
Đặt
f (x ) =	- 1 Þ f ¢(x) =
, f ¢(x ) = 0 Û ê
ëê	úû .
x - 2
2	êx = 4 Ï é-1;1ù
(x - 2)
ëê	êë	úû
f (-1) = - 4 , f (0) = -1, f (1) = -2 Þ max f (x) = -1, min f (x) = -2
3	éê-1;1ùú	éê-1;1úù
ë	û	ë	û
Phác họa đồ thị hai hàm số y = -a - 1 = a + 1 , y = -a - 2 = a + 2 :
3	æç
3 1ö÷
Tọa độ điểm
A : -a - 1 = a + 2 Û a = -	Þ Aç- ; ÷ . Vậy giá trị lớn nhất của
2	çè 2 2ø÷
hàm số trên đoạn
éêë-1;1ùúû
có giá trị nhỏ nhất là 1
(x + 1)(3 - x )
2
đạt được khi a = - 3 .
2
Bài 5. Cho hàm số
y = 2x - x 2 -
+ a với a là tham số thực. Khi
giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a = 17 .	B. a = 9 .	C. a = 7 .	D. a = 15 .
8	8	8	8
Hướng dẫn giải:
(x + 1)(3 - x )
Tập xác định D = éêë-1; 3ùúû . Đặt t =
t2 = -x 2 + 2x + 3 = -(x - 1)2 + 4 £ 4 Þ 0 £ t £ 2.
Þ t ³ 0 .
(x + 1)(3 - x )
Þ 2x - x 2 -	= t2 - t - 3
Xét hàm số f (t) = t2 -t - 3 trên đoạn

éê0; 2ùú . f ¢(t) = 2t - 1, f ¢(t) = 0 Û t = 1 Î éê0; 2ùú
æç1ö÷	13
ë	û	2	ë	û
13
f (0) = -3, f ç ÷ = -
, f (2) = -1
Þ max f (t) = -1, min f (t) = -	.
çè2ø÷	4
éê0;2ùú
éê0;2ùú	4
ë û	ë û
13
4
Phác họa đồ thị hai hàm số y = a - 1 ,y = a -	:
13	17	æç17 9ö÷
Tọa độ điểm A : -a +	= a - 1 Û a =	Þ Aç	; ÷ .
4	8	çè 8 8ø÷
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đạt giá trị nhỏ nhất khi a = 17 .
8
Tìm tham số a để GTLN, GTNN của hàm số y =| f (x) + a | trên đoạn
thỏa mãn điều kiện P nào đó.

éêëa; b ùúû
Bài toán 2.3: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn
éêëa; b ùúû . Tìm tham
số a để GTLN, GTNN của hàm số y =| f (x) + a | trên đoạn P nào đó.
éêë