SKKN Nâng cao năng lực tự học và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Lớp 12 thông qua dạy học chủ đề “cực trị của hàm số”

đáp án B. Sai lầm thường gặp của học sinh là
+ Nhầm lẫn giữa giá trị cực trị với điểm cực trị nên chọn A
+ Nhầm sang trường hợp hàm số là hàm bậc 4 trùng phương chỉ có 1 giá trị cực tiểu nên chọn C.
Ví dụ 2. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x 3 - 3x 2 + 4 là
A. (2;4).	B. (2;0).	C. (0;-4).
Hướng dẫn giải:
D. (0;4).
Chúng ta đưa đưa vào ví dụ này với mục đích giúp học sinh làm quen với cách tìm điểm cực trị của đồ thị hàm số. Ta mong đợi HS có lời giải đúng như sau:
Tập xác định: D = ¡
y¢ = 3x 2 - 6x
y¢¢ = 6x - 6
éx = 0
ë
y¢ = 0 Û êx = 2
y¢¢(0)=-6 0 Þ xCT
Vậy điểm cực đại là (0;4).
Có thể lập bảng biến thiên để kết luận.
Chúng ta nâng dần mức độ khó bằng các ví dụ sau.
= 2; yCT = 0
Ví dụ 3. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số y = x 3 - 3x 2 - 9x +1 có
hai cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ?
A. M (0;-1). B.
N (1;-10).
C. P (1;0).
D. Q(-1;10).
Hướng dẫn giải.
Ở ví dụ này, chúng ta rèn luyện cho HS kĩ năng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số. Ta hy vọng HS nhanh chóng tìm được lời giải hợp
lý.
Cách 1. Ta có
éx =-1 Þ y (-1)= 6
êêx = 3 Þ y (3) =-26
y¢ = 3x 2 - 6x - 9; y¢ = 0 Û ê	.
ë
Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là
A (-1;6) và
B(3;-26).
Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có phương
trình d : y =-8x - 2. Suy ra N (1;-10)Î d. Chọn B.
Cách 2. Lấy y chia cho
y¢,
ta được phần dư là
y =-8x - 2.
Đây chính là
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Ví dụ 4. Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm
số y = x 4 - 2x 2 + 3.
S = 1 .
2
B. 1	C. S = 2 .	D. S = 4.
Hướng dẫn giải.
Với sự thay đổi trong yêu cầu của đề bài, ở ví dụ này, HS cần nắm được đặc điểm các điểm cực trị của hàm trùng phương: ba điểm cực trị của hàm trùng phương luôn tạo thành một tam giác cân tại đỉnh nằm trên trục tung. Từ đó, dễ dàng tính được diện tích tam giác.
Ta có
éx = 0 ® y (0)= 3
êêx = ±1 ® y (±1)= 2
y¢ = 4 x 3 - 4 x ¾¾® y¢ = 0 Û ê	.
ë
Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là
A (0;3),
B (1;2), C (-1;2).
Gọi H là trung điểm
Chọn B.
BC ¾¾®ìïíH (0;2)
ïîAH ^ BC

. Khi đó
S = 1 BC. AH = 1 2
Ví dụ 5. Biết đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có 2 điểm cực trị là (-1;18)
và (3;-16). Tính a + b + c + d.
A. 0.	B. 1.	C. 2.	D. 3.
Hướng dẫn giải:
Với yêu cầu ngược cho tọa độ hai điểm cực trị, tìm các hệ số của hàm số. Để giải quyết được ví dụ này, đòi hỏi HS phải nắm vững khái niệm tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số. Ta hy vọng HS có thể tư duy và tìm được lời giải đúng.
Ta có:
y = ax 3 + bx 2 + cx + d Þ y ' = 3ax 2 + 2bx + c = 0 có hai nghiệm
ïì	-2b
ïx1 + x2 =	=-1 + 3
ìïb =-3a
í
ï	3a
ï
ï	1 2
ï	x x = c =-1.3
î	3a
Þ ïí
ïî c =-9a
Mà 2 điểm cực trị là (-1;18) và (3;-16) thuộc đồ thị hàm số nên ta có
ïì a = 17
ï	16
ïì	-a + b - c + d = 18
ï	- 51
ï	ï
Û
ï27 a + 9b + 3c + d = - 16	ï b = 16
ïí	b = - 3a	ïí	- 153
ï	ïc =
ï	c = - 9 a
ï	16
î	ï
ï d =
ïî
Nên ta có a + b + c + d =1. Chọn B
Bài tập tự luyện
203
16
Câu 1. Đồ thị hàm số :
x 2 + 2x + 2
y =
1- x
có 2 điểm cực trị nằm trên đường thẳng
y = ax + b thì a + b bằng
A. 2	B. 4	C. -4	D. -2
Câu 2.	Cho hàm số	y = x 3 - 6 x 2 + 9x - 2 (C ). Đường thẳng đi qua điểm
A (-1; 1) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C)
là:
A. y =- 1 x + 3
2	2
y = 1 x + 3
2	2
C. y = x + 3 .	D. x - 2 y - 3 = 0
Câu 3.	Đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2+cx+ d có điểm cực tiểu là O(0;0)
và điểm
cực đại là M (1;1). Giá trị của a, b, c, d lần lượt là:
A. 3;0;-2;0 .	B. -2;3;0;0 .	C. 3;0;2;0 .	D. -2;0;0;3 .
Tìm điều kiện để hàm số có cực trị, hàm số đạt cực trị tại x0
Bài toán cực trị chứa tham số thường xuất hiện trong các câu vận dụng và vận dụng cao của đề thi, HS gặp rất nhiều khó khăn khi giải toán. Vì vậy để phát triển tư duy sang tạo cho HS chúng ta cần rèn luyện nhiều hơn cho các em kỹ năng để giải các dạng toán này. Tiếp theo là một số vấn đề chúng ta sẽ hướng dẫn các em tìm hiểu.
Tìm m để hàm số có cực trị
+ Điều kiện để hàm số bậc 3
y = ax 3 + bx 2 + cx + d
( a ¹ 0 ) có cực trị:
Ta có
y¢ = 3ax 2 + 2bx + c
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình
Û b2 - 4ac > 0 .
y¢ = 0
có hai nghiệm phân biệt
+ Điều kiện để hàm số bậc 4 trùng phương trị
f (x ) = ax4 + bx 2 + c(a ¹ 0)
có cực
Trường hợp 1: ab ³ 0 . Khi đó
f (x ) vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất
Þ f ¢(x ) có nghiệm duy nhất
x = 0 và f ¢(x ) đổi dấu đúng một lần khi x
đi qua 0
Þ f chỉ có một cực trị.
Trường hợp 2: ab < 0 . Khi đó

f (x ) có hai nghiệm phân biệt khác 0
Þ f ¢(x ) có ba nghiệm và f ¢(x ) đổi dấu liên tiếp khi x đi qua ba nghiệm
nàyÞ f ba cực trị.
Một số công thức áp dụng giải toán cực trị hàm số
f có một cực trị Û ab ³ 0 .
f có ba cực trị Û ab < 0 .

f (x ) = ax4 + bx 2 + c(a ¹ 0)
íï. b ³ 0
f có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu Û ïìa > 0
î
íï. b £ 0
f có đúng một cực trị và cực trị là cực đạiÛ ïìa < 0
î
f có hai cực tiểu và một cực đại Û ìïí. a > 0
ïîb < 0
f có một cực tiểu và hai cực đại Û ìïí. a < 0
f có ba cực trị Û ab < 0 .
éx = 0
ê	 	
ïîb > 0
-b
2a
Khi đó
y¢ = 0 Û ê
ê
êx = ±
ë
Với x = 0 Þ y = c và
-b
2a
ab2	b2	-b2 + 4ac	D
x = ±	Þ y = 4a2 - 2a + c =
=-
4a	4a
với D = b2 - 4ac .
Vậy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là
— b
2a
çæ	D ö÷	çæ
b	D ö÷
.A (0;c), Bç-	;-	÷,C ç -	;-	÷
èç	4aø÷	çè	2a	4aø÷
Tính được
b4	b
— b
2a
AB = AC =
16a2 - 2a ; BC = 2
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số có hai điểm cực trị là

y = x 3 -3mx 2 + 6mx + m
A. (0;2).	B. (-¥;0)È(2;+¥).	C. (0;8).	D. (-¥;0)È(8;+¥).
Hướng dẫn giải
Ví dụ mở đầu ở dạng toán này là một ví dụ đơn giản, sau khi đã có kiến thức nền, ta hy vọng HS nhanh chóng tìm được lời giải như sau:
Ta có
y¢ = 3(x 2 - 2mx + 2m).
Để hàm số có hai điểm cực trị
Û y¢ = 0
có hai
nghiệm phân biệt
ë
2

ém < 0

Chọn B.
Û D¢ = m
— 2m > 0 Û êm > 2.
Ví dụ 2. Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số có cực trị là
y = m x 3 + x 2 + x + 2022
3
A. (-¥;1].	B. (-¥;0)È(0;1).	C. (-¥;0)È(0;1].
D. (-¥;1).
Hướng dẫn giải
Thoạt nhìn có vẻ giống Ví dụ 1, nhưng ở Ví dụ 2, hệ số a chứa tham số. Vì vậy cách giải đã thay đổi. Chúng ta hướng dẫn HS xét hai trường hợp sau.
Nếu m = 0
thì
y = x 2 + x + 2022
là hàm bậc hai luôn có cực trị.
Khi m ¹ 0,
ta có
y¢ = mx 2 + 2x +1.
Để hàm số có cực trị Û y¢ = 0
có hai
nghiệm phân biệt Û ìïm ¹ 0

Û 0 ¹ m <1.
íïîD¢ =1- m > 0
Hợp hai trường hợp ta được m <1. Chọn D.
Nhận xét. Sai lầm thường gặp là không xét trường hợp án B.
m = 0
dẫn đến chọn đáp
Trái ngược với bài toán tìm điều kiện để hàm số có cực trị, ta cho HS tiếp cận bài toán tìm điều kiện để hàm số không có cực trị như sau:
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y =(m - 3)x 3 - 2mx 2 + 3
không có cực trị.
m = 3.
m = 0,
m = 3.
m = 0.
m ¹ 3.
Hướng dẫn giải
Cũng giống như ở Ví dụ 2, Ví dụ 3 hệ số a chứa tham số, vì vậy ta hướng dẫn HS chia hai trường hợp như sau:
Nếu
m = 3
thì
y =-6x 2 + 3.
Đây là một Parabol nên luôn có một cực trị. Do
đó m = 3 không thỏa mãn.
Nếu m ¹ 3, ta có y¢ = 3(m - 3)x 2 - 4mx. Để hàm số có không có cực trị
Û y¢ = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm Û D¢ = 4m 2 £ 0 Û m = 0. Chọn C.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y = x 4 + 2mx 2 + m2 + m có ba điểm cực trị.
m = 0.
m > 0.
m < 0.
Hướng dẫn giải
m ¹ 0.
Áp dụng điều kiện để hàm số trùng phương có 3 điểm cực trị, HS có thể tìm được lời giải nhanh gọn như sau.
Ta có a =1,
b = 2m.
Hàm số có ba điểm cực trị Û 1.2m < 0 Û m < 0.
Chọn C.
Ví dụ 5. (ĐHSP Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Tập hợp các giá trị thực của tham
số m để hàm số y = mx 4 - x 2 +1 có đúng một điểm cực trị là
A.(-¥;0].
B. [0;+¥).
C. (-¥;0).
Hướng dẫn giải
D. (0;+¥).
Vẫn phải lưu ý với HS là hệ số a có chứa tham số, vì vậy ta phải xét hai trương hợp
Ta có a = m, b =-1.
Nếu m = 0
thì
y =-x2 +1 là hàm bậc hai nên chỉ có duy nhất một cực trị.
Khi m ¹ 0, hàm số có đúng một điểm cực trị Û m (-1)³ 0 ¾m¾¹0¾®m < 0.
Kết hợp hai trường hợp ta được m £ 0. Chọn A.
Bài tập tự luyện
Câu 1. Hàm số khi
y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ¹ 0)
có cực đại, cực tiểu và
xCD < xCT
y¢ = 0 có nghiệm,
.
a > 0 .	B.
y¢ = 0 có hai nghiệm phân biệt,
a > 0
C. y¢ = 0 có nghiệm,
a < 0 .	D.
y¢ = 0 có hai nghiệm phân biệt, a < 0
Câu 2. Đồ thị hàm số
y = ax 4 + bx 2 + c
có 1 cực đại và 2 cực tiểu khi và chỉ khi
A. ìïía < 0
ïîb ¹ 0
B. ìïía ¹ 0
ïîb > 0
C. .ìïa > 0
í
ïîb < 0
D. .ìïa > 0
í
ïîb > 0
Câu 3. Cho hàm số y = 1 x 3 - 2mx 2 + (4m -1)x - 3 . Mệnh đề nào sau đây sai?
3
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi
m < 1 .
2
Với mọi m , hàm số luôn có cực trị.
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m ¹ 1 .
2
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m >1.
Câu 4. (KTTN lần 3, năm 2018-2019) Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số
y = mx 4 -(m - 3)x 2 + m 2
không có điểm cực đại là
A. 0.	B. 1.	C. 3.	D. 4.
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0
Bài toán này xuất hiện khá nhiều trong các đề thi dưới các mức độ khác nhau. Trước hết, HS cần nắm được một số kiến thức cơ bản sau.
Điều kiện để hàm số
y = f (x ) đạt cực trị tại x0
+, x

là điểm cực đại
Û ìïy '(x0 ) = 0
0
0	íïîy ''(x
) < 0
ìy '(x ) = 0
0
+, x là điểm cực tiểu Û ï	0
0
Các ví dụ minh họa
íïîy ''(x
) > 0
Trước hết, ta dẫn dắt HS làm quen với các ví dụ sau.
Ví dụ 1. Cho hàm số ( m là tham số) y = 1 x 3 -(m +1)x 2 +(m 2 + 2m )x +1
3
Tìm tất cả tham số thực m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .
A. m = 1.	B. m = 0 .	C. m = 2 .	D. m = 3 .
Hướng dẫn giải
Với ví dụ này, HS chỉ cần nắm được điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x0 là làm được. Ta hy vọng HS có lời giải đúng như sau.
Tập xác định: D = ¡
Tính
y¢ = x 2 – 2(m +1)x + m 2 + 2m ;
y¢¢ = 2 x – 2m - 2 .
Để h