Sáng kiến kinh nghiệm Tư duy sử dụng hàm đặc trưng để giải hệ phương trình trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi

:
y2 + 1
y +	, đồng thời vế phải của phương trình (1) chỉ có 1 đứng đó nên ta hoàn toàn
khẳng định được đây chính là dạng toán tư duy liên hợp để xuất hiện hàm số đặc trưng.
Giải:
( x + 1)2 + 1
y2 + 1
Điều kiện: y - xy + 9 ³ 0
( x + 1)2 + 1
(- y )2 + 1
(1) Û x + 1 +
=	1	Û x + 1 +
=	- y
y2 + 1 + y
( x + 1)2 + 1
t 2 + 1
Û x + 1 +
= - y +
Û f ( x + 1) =
f (- y ) (3)
Xét hàm số đặc trưng:
f (t ) = t +
có: f / (t ) = 1+	2t	=
t2 +1 + t
t2 +1
t2 + 1
t2 + 1
Vì	> t ³ t	nên

+ t > 0 Þ
2
f / (t ) > 0, "t Î R
t2 +1
Do đó f (t ) là hàm số đồng biến trên R .
Từ (3) Þ x +1 = - y Þ y = -x -1
y - y (-1 - y) + 9
Thế vào phương trình (2) ta được:
y2 + 2 y + 4
+ 2018 =

+ 2019(-1- y )
y + y + y2 + 9
y2 + 2 y + 4
Û	+ 2018 -	= -2019 - 2019 y
y2 + 2 y + 9
y2 + 2 y + 4
Û	-	+ 2019 y + 4037 = 0
(4)
y2 + 2 y + 9
y2 + 2 y + 4
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm y=-2
Đặt
f ( y ) =	-
+ 2019 y + 4037
y2 + 2 y + 9
y2 + 2 y + 4
y2 + 2 y + 9
y2 + 2 y + 4
f / ( y ) =	2 y + 2	-	2 y + 2	+ 2019=	y + 1	-	y + 1	+ 2019
2	2
ç	÷
= ( y + 1)æ	1	-	1	ö + 2019 > 0,"y < -1
ç	y2 + 2 y + 9	y2 + 2 y + 4 ÷
è	ø
Suy ra hàm số
f ( y)
đồng biến trên (-¥; -1).
Do đó (4) có nghiệm duy nhất y= -2 suy ra x = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x ; y) = (1;-2).
Nhận xét:
Đối với phương trình (4) ta sử dụng chức năng table hoặc Shift Solve dò được có nghiệm y= - 2. Hơn nữa phương trình ẩn y tương đối phức tạp nên ta nghĩ ngay đến phương pháp hàm số. Tức là chứng minh phương trình đó có nghiệm duy nhất bằng cách chứng minh vế trái là một hàm số đồng biến.
y2 + 2 y + 9
y2 + 2 y + 4
Sở dĩ 1+y 0 và	>
ç	÷
Þ	1	-	1	 0
y2 + 2 y + 9
y2 + 2 y + 4
ç	y2 + 2 y + 9	y2 + 2 y + 4 ÷
è	ø
Khi thế y = -x-1 vào phương trình (2) được vế trái luôn dương.
Ngoài cách dò nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất ra ta còn có thể tìm y bằng phương pháp nhân liên hợp cụ thể như sau:
Û
y2 + 2 y
-
y2 + 2 y + 9
y2 + 2 y + 4
y2 + 2 y + 9
- 3 + 2 -
+ 2019 y + 4037 = 0
y2 + 2 y + 4
+ 2019 y + 4038 = 0
-( y2 + 2 y )
y2 + 2 y + 9 + 3
Û	+	+ 2019( y + 2) = 0
2 +	y2 + 2 y + 4
y2 + 2 y + 4
ê	ú
Û ( y + 2)é	y	+	- y	+ 2019ù = 0
êë	y2 + 2 y + 9 + 3	2 +	úû
Û y = -2 . Đến đây ta thấy việc nhân liên hợp làm xuất hiện biểu thức khổng lồ trong ngoặc vuông bất tiện hơn rất nhiều so với việc sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng đã được trình bày.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
ì(
ï
x +1 -1)( y2 +1 + y ) =
x
(1)
ïî2x3 ( y2 +1) - ( x +1) xy = 2
í
(2)
, x, y Î R
Phân tích bài toán:
Ta nhận thấy phương trình (1) của hệ có dạng gần giống với đặc điểm nhận dạng của dạng toán tư duy liên hợp để xuất hiện hàm số đặc trưng nên ý tưởng khi giải bài toán này là hướng tới việc nhân liên hợp .
x
Mặt khác ta thấy vế phải của (1) chỉ có	nên ta nghĩ ngay đến việc cô lập các
biểu thức chứa biến x sang vế bên phải. Sau đó tiến hành nhân với lượng liên hợp phù hợp nhất. Cụ thể lời giải như sau:
Điều kiện:

x ³ 0
Giải
x +1
y2 +1
x +1
Nhận xét x = 0 Không thỏa mãn hệ phương trình . Xét x > 0. Khi đó
x +1
(1) Û (
Û x (
y2 +1
Û
-1)(
y2 +1
æ 1 ö2
ç
è	ø
x ÷ +1
+ y ) = (
y =
+1)(

+1)
+ 1
+ y ) = (
x
y2 +1
Û
x
(*)
+1)
x +1
x
x
+ y = x +1 +1
t2 +1
Xét hàm số : f (t ) =	+ t
t +	t2 +1
t2 +1
Ta có : f / (t ) =	t	+1 =
t2 +1

>
, t Î R

t + t
 	³ 0 ,
t2 +1

"t Î R
Do đó hàm số
f (t )
đồng biến trên R . Do đó
f ( y) = f æ
1 ö Û y = 1
(**) thay vào
(2) ta được:

x
2x3 æ 1 + 1ö - ( x +1)

= 2 Û 2x3 + 2x2 - x
ç	÷
x
è	ø
x
x
-	= 2
x
ç x	÷
è	ø
x
Đặt u =	, u >0. Khi phương trình (*) trở thành :
2u6 + 2u4 - u3 - u - 2 = 0 Û (u -1)(2u5 + 2u4 + 4u3 + 3u2 + 3u + 2) = 0 Û u =1Þ x =1
(nhận)
Thay x = 1 vào (**) ta được y=1.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x ;y)=(1 ; 1).
Nhận xét :
Như vậy phương pháp tư duy liên hợp để xuất hiện hàm số đặc trưng là một phương pháp rất hay, rất tự nhiên.
Ngoài cách giải trên thì ta có thể phá vỡ cấu trúc của các dấu căn bằng phép nhân liên hợp để để chuyển về bài toán đơn giản hơn. Lần lượt nhân liên hợp đối với từng
x2 +1
x2 +1
nhân tử ở vế trái. Từ đó xuất hiện (	-1) và (	+1)ở cả hai vế nhân liên
hợp. Sau đó cộng hai vế của phương trình cho 2. Phép biến đổi này tạo ra một phương
trình mới đơn giản hơn phương trình ban đầu. Nhưng tôi vẫn dùng thích phương pháp hàm số đặc trưng hơn vì nó cho ta lời giải hay hơn, dễ hiểu hơn.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
ì
ï
(
x -1 +
( x -1)2 + 4 )( y +	y2 + 4 ) = 4
ïî
í 	 	
4 - 3y +	9 - 5 y = x4 - x2 + 2x + 3
(1)
(2)
Phân tích bài toán:
Nhận dạng bài toán: Quan sát hệ phương trình ta thấy phương trình (1) có đặc
điểm giống dạng : éax +
êë
(ax)2 + c ù éby +
ú ê
û ë
(by)2 + c ù = c
ú
û
nên ta sử dụng phương
pháp tư duy liên hợp để làm xuất hiện hình ảnh hàm số đặc trưng ở phương trình (1) Mặt khác ta thấy biểu thức chứa biến y đơn giản nên ta nhân lượng liên hợp là
y2 + 4
y2 + 4
y2 + 4
y được (	+ y)(	- y) = 4 giản ước với 4 ở vế phải.
Giải
Điều kiện:
y £ 4
y2 + 4
3
Phương trình (1) Û x -1+
( x -1)2 + 4.4 = 4(
y)
( x -1)2 + 4
Û x -1+
=	1	Û ( x -1) +
= (- y ) +
y +	y2 + 4
( x -1)2 + 4
(- y )2 + 4
Û f ( x -1) = f (- y )	(3)
Xét hàm số:
f (t ) = t +
t2 + 4
t

t2 + t

t + t
Với t Î R
ta có: f / (t ) = 1+	=
t2 + 4
 	=
t2 + 4 + t
t2 + 4
t2 + 4
 	> 0,
t2 + 4
"t Î R
Suy ra hàm số đồng biến trên R
Khi đó phương trình (3) trở thành : (3) Û x -1 = - y Û y = 1- x
(4)
Thế vào phương trình (2) ta được :
3x +1
5x + 4
+
3x +1
Û	-(x +1) +
= x4 - x2 + 2x + 3
5x + 4
-(x + 2) = (x2 - x)(x2 + x)
Û (x2 - x)æ 	-1	 + 	-1	 - (x2 + x)ö = 0
(4)
3x +1
5x + 4
ç	+ x +1	+ x + 2	÷
è	ø
é x2 - x = 0	(*)
Û ê	1	1
5x + 4 + x + 2
ê	+
+ (x2 + x) = 0 (**)
ëê 3x +1 + x +1
Xét phương trình (*) ta có:

x2 - x = 0 Û é x = 0
ê
ë x = 1

(nhËn)
(nhËn)
Với x = 0 thay vào (4) được y = 1 Với x = 1 thay vào (4) được y = 0
Xét phương trình (**) ta có : Điều kiện :
x ³ -1
3
1
5x + 4 + x + 2
Với x > 0 dễ thấy phương trình (**) vô nghiệm.
Với
-1 £ x < 0 3
Ta có:
+ x + 2 1
5x + 4
4
1	1	1	æ
1 ö2
3x +1 + x +1
5x + 4 + x + 2
Nên :	+
+ (x2 + x) > x2 + x +	= ç x +
÷ > 0
4	è	2 ø
Suy ra phương trình (**) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x , y) = (1,0), (0,1).
Nhận xét :
Như vậy dựa vào đặc điểm nhận dạng đã nêu ta thấy việc tìm ra hàm số đặc trưng xuất phát từ phương trình (1) là một thao tác rất đơn giản, quen thuộc. Nhưng khi tìm được mối liên hệ giữa x và y rồi thế vào phương trình (2) được một phương trình tương đối phức tạp. Để học sinh lấy chọn điểm của bài này thì các em cần phải nắm vững các phương pháp giải phương trình. Các kỹ năng bấm máy tính để dò nghiệm từ đó sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp để xuất hiện nhân tử chung và đưa về phương trình tích (phương trình (4)). Thì ta lại thấy xuất hiện phương trình (**) cũng phức tạp không kém, việc đánh giá phương trình (**) vô nghiệm trên các khoảng xác định của biến x phải được tiến hành rất chi tiết và tỉ mỉ.
Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình
ì
ï
xy 1+ 1+ x2 )(
(
4 + y -	y ) = 8 (1)
ïî-3x4 y + 2x2 y + 26x = 23 x3 -14
í
(2)
Phân tích bài toán:
Quan sát hệ phương trình ta thấy phương trình (1) gần giống với đặc điểm nhận dạng thuộc dạng toán tư duy liên hợp để xuất hiện hàm số đặc trưng. Vì vậy ta quyết
định sử dụng phương pháp liên hợp để đưa phương trình (1) về dạng f (u) = f (v).
Mặt khác biểu thức chứa biến y đơn giản hơn nên ta quyết định nhân cả hai vế của (1)
4 + y
4 + y
với biểu thức liên hợp của biến y như sau: (	-	y )(	+	y ) = 4
Giải
4 + y
Điều kiện Do
y ³ 0 .
y
y
y
-	>	-	= 0
Nên
(1) Û xy (1+
1+ x2
Û xy (1+
)(
1+ x2
4 + y
4 + y
) = 2(
-	y )(
+

+
4 + y
y ) Û x + x
y ) = 8(	+	y )
4 + y
1+ x2
y
2
y
4 +1
y
= 2 +
1 + x2
÷÷ çç
ö æ 2 ö
2
ø è
y ø
÷÷ +1
Û x + x
æ 2 ö	æ 2
y
y
=
+
çç	÷÷	çç
Û f ( x) =
æ 2 ö
y
f çç	÷÷
(3)
è	ø	è
1+ t2
Xét hàm số đặc trưng: f (t ) = t + t
è	ø
, t Î(0;+¥)
Có f / (t ) = 1+
2
1+ t2
t
+	> 0 , "t Î(0;+¥) .Suy ra
1+ t2
f (t )
đồng biến trên(0; +¥)(4)
Từ (3) và (4) ta có x =
2 Û y = 4
y
x2
(*). Thay vào phương trình (2) có
3 x3 -14
-12x2 + 26x + 8 = 23 x3 -14 Û -6x2 +13x + 4 =
3 x3 -14
Û ( x - 2)3 + ( x - 2) = (x3 -14) +
Û g (x - 2) = g (3 x3 -14 ) (4)
Xét hàm số: g (u) = u3 + u có
g / (u) = 3u2 +1 > 0 , "u Î R (5)
3 x3 -14
2
éx = 1+

(nhËn)
Từ (4) và (5) ta có :
x - 2 =
Û -6x2 +12x + 6 = 0 Û ê
2
2
êëx = 1-
(lo¹ i )
2
Với
x = 1 +	thay vào (*) ta tìm được
y = 12 - 8	.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( x; y) = (1+
Nhận xét:
2;12 - 8 2 )
Như vậy dựa vào đặc điểm nhận dạng đã nêu rất kỹ nên việc nhân với biểu thức liên hợp của đại lượng nào là chuyện trong tầm tay của các em học sinh ôn thi học sinh giỏi.
Ngoài ra việc giải phương trình thu được sau rút y thế vào phương trình (2) cũng cần phải hết sức linh hoạt mới giải được một cách nhẹ nhàng.
2.4) Tư duy sử dụng chia để xuất hiện hàm đặc trưng.
Đặc điểm nhận dạng: Ta thấy một phương trình của hệ bị tác giả hữu ý che khuất đi tính độc lập của bai biến x,y,tức là các biểu thức chứa biến x dính liền với biểu thức chứa biến y. Hoặc phương trình ở dạng tích các biểu thức của x,y mà không phải dạng liên hợp.
Ngoài ra trong một số trường hợp ta gặp phương trình của hệ có dạng
a.b = c.d mà a, c có cấu trúc giống nhau, b và d có cấu trúc giống nhau, hơn nữa đề bài xắp xếp mà a, c có cấu trúc giống nhau, b và d có cấu trúc giống nhau, hơn nữa đề bài sắp xếp như vậy hơi khập khiễng npên phải chuyển về
dạng a = b mới làm xuất hiện hàm số đặc trưng ở hai vế.
c	d
Bên cạnh các đặc điểm nhận dạng nêu trên thì các em còn cọ xát với hệ phương trình có xuất hiện đẳng cấp giữa các biểu thức chữa các biến x,y như : Bên cạnh các đặc điểm nhận dạng nêu trên thì các em còn cọ sát với hệ chứa phương trình có sự xuất hiện đẳng cấp giữa các biểu thức chứa
biến x,y n