SKKN Một số biện pháp đổi mới hình thức kiểm tra đánh giá thường xuyên trong dạy học môn Toán ở trường THPT nhằm phát triển phẩm chất và năng lực học sinh

 số 12.
Mục tiêu dự án
Phẩm chất: Chăm chỉ, trách nhiệm, trung thực.
Năng lực
Năng lực chung:
Tự chủ và tự học: Tự bố trí thời gian tìm tòi kiến thức hoàn thành sản phẩm.
Giao tiếp và hợp tác: Trong hoạt động nhóm.
Giải quyết vấn đề và sáng tạo: Trong thiết kế và xây dựng sản phẩm.
Năng lực Toán học:
+ Năng lực giải quyết vấn đề Toán học, Mô hình hoá Toán học: Thiết lập phương trình hàm số để giải quyết bài toán thực tế.
+ Năng lực giao tiếp Toán học: Hoạt động nhóm tìm hiểu, trao đổi để xây dựng được quy trình giải bài toán và một số vấn đề trong thực tiễn.
+ Năng lực tư duy và lập luận Toán học: So sánh; phân tích; tổng hợp, khái quát hóa; tương tự hoá,
Bộ câu hỏi định hướng sản phẩm dự án.
Giáo viên xây dựng bộ câu hỏi định hướng dự án và giao nhiệm vụ định hướng cho HS thực hiện sản phẩm.
Bộ câu hỏi định hướng
Câu hỏi khái quát:
Kiến thức về GTLN, GTNN của hàm số có ứng dụng như thế nào trong thực tiễn?
Câu hỏi lý thuyết:
Câu 1. Trình bày định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số?
Câu 2. Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn, một khoảng?
Câu 3. Quy trình để giải một bài toán thực tế có vận dụng quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số?
Câu hỏi thực hành:
Câu 1: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê, mỗi căn hộ thêm 50.000 đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Công ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong một tháng là bao nhiêu?
Câu 2. Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B. Hai thành phố này bị ngăn cách bởi một con sông có chiều rộng là r (km). Người ta cần xây 1 cây
cầu bắt qua sông biết rằng A cách con sông một khoảng bằng
a (km) , B cách con
sông một khoảng bằng
b(km)
(0 < a £ b)
như hình vẽ. Hãy xác định vị trí xây cầu
EF (theo hình vẽ) để tổng khoảng cách giữa hai thành phố là nhỏ nhất ?
Câu 3: Một người dự định làm một bể chứa nước hình trụ bằng inốc có nắp đậy với thể tích 1 (m3). Chi phí mỗi m2 đáy là 600 nghìn đồng, mỗi m2 nắp là 200 nghìn đồng và mỗi m2 mặt bên là 400 nghìn đồng. Hỏi người đó chọn bán kính bể là bao nhiêu để chi phí làm bể ít nhất?
Câu 4: Hai con tàu A và B đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, tàu A chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện tại của tàu A với vận tốc 7 hải lý/giờ. Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách giữa hai tàu là lớn nhất ?
Câu 5: Sưu tập các bài toán thực tế có vận dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải.
Chuẩn bị trình bày sản phẩm dự án.
Dự kiến sản phẩm được làm như sau:
Câu 1. Định nghĩa Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của f (x) trên miền xác định D:
ìï f (x) £ M,"x Î D M = max f (x) Û í
xÎD	ïî$xo Î D : f (xo ) = M
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f (x) trên miền xác định D:
ìï f (x) ³ m,"x Î D m = min f (x) Û í
xÎD	ïî$xo Î D : f (xo ) = m
Câu 2. Phương pháp GTLN – GTNN của y = f (x) bằng đạo hàm trên đoạn
D = éëa; bùû
Bước 1: Tính đạo hàm f ' (x)
Bước 2: Tìm các điểm tới hạn (nếu có) x Î(a; b) , i = 1, n sao cho f '(x) = 0 (hoặc
i
không có đạo hàm)
ì f ' (x ) = ?
i
Bước 3: Tính ï f (a) = ?
í
ï
ïî f (b) = ?
ìïmax f (x) = max{ f (x1 ); f (x2 );...; f (xn ); f (a); f (b)}
Bước 4: So sánh và kết luận í D
ïîmin f (x) = min{ f (x1 ); f (x2 );...; f (xn ); f (a); f (b)}
D

. Phương pháp GTLN – GTNN của y = f (x) bằng đạo hàm trên đoạn D = (a; b)
Bước 1: Tính đạo hàm f ' (x)
Bước 2: Tìm các điểm tới hạn (nếu có) x Î(a; b) , i = 1, n sao cho f '(x) = 0 (hoặc
i
không có đạo hàm)
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Bước 4: Từ BBT đưa ra kết luận

Câu 3. Quy trình để giải một bài toán thực tế có vận dụng quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số
Bước 1: Mô hình hóa toán học bài toán
Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số trên, tùy theo yêu cầu của bài toán.
Bước 3: Kết luận bài toán ban đầu
Câu hỏi thực hành số 1:

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê, mỗi căn hộ thêm 50.000 đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Công ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong một tháng là bao nhiêu? Lời giải
Ở tháng thu nhập của công ty cao nhất, gọi số căn hộ bị bỏ trống là x thì số tiền thuê mỗi phòng là 2.000.000 + 50.000x , khi đó số tiền thu được là
f ( x) = (2.000.000 + 50.000x)(50 - x) = -50.000x2 + 500.000x +100.000.000 .
Ta cần tìm x Î(0;50) để f ( x) lớn nhất.
Ta có f ¢( x) = -100.000x + 500.000 , f ¢( x) = 0 Û x = 5
Bảng biến thiên
Vậy mỗi tháng lợi nhuận cao nhất thu được của công ty là 101.250.000
Câu hỏi thực hành số 2:
Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B. Hai thành phố này bị ngăn cách bởi một con sông có chiều rộng là r (km). Người ta cần xây 1 cây cầu bắt qua sông biết rằng A cách con sông một khoảng bằng a (km) , B cách con sông một khoảng bằng b(km) (0 < a £ b) như hình vẽ. Hãy xác định vị trí xây cầu EF
(theo hình vẽ) để tổng khoảng cách giữa hai thành phố là nhỏ nhất ?
Lời giải
Đặt AF = p và CF = x Þ ED = p - x (0 < x < p) .
Khoảng cách giữa hai thành phố sẽ là S = AF + EF + EB =	x2 + a2 + r +	(p - x)2 + b2

Đặt S (x) =
+ r +	.
x2 + a2
(p - x)2 + b2
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số S (x)
với 0 < x < p
x2 + a2
b2 + (p - x)2
Khi đó S' (x) =	x	+	x - p	.
b2 + (p - x)2
x2 + a2
S' (x) = 0 Û x	= (p - x)
Û x2 éb2 + (p - x)2 ù = (p - x)2 (x2 + a2 ) Û (a2 - b2 )x2 - 2a2 px + a2 p2 = 0 (* )
êë	úû
Xét
D' = a4 p2 - a2 p2 (a2 - b2 ) = a2 p2b2 > 0
é	a2 p - apb	ap
êx =	=	Î (0; p)

Do đó
pt (* ) Û ê
a2 - b2
a + b
ê	a2 p + apb	ap
êx =	=
(ktm)
ë	a2 - b2	a - b
a2	b2
Mặt khác S'' (x) =	+	> 0,"x Î (0; p)
3	3
(x2 + a2 )2
(b2 + (p - x)2 )2
Do đó
minS (x) = S æ ap ö .
ç	÷
è a + b ø
Vậy để khoảng cách giữa hai thành phố là ngắn nhất thì
Câu hỏi thực hành số 3:
ap
=
.
x	a + b
Một người dự định làm một bể chứa nước hình trụ bằng inốc có nắp đậy với thể tích 1 (m3). Chi phí mỗi m2 đáy là 600 nghìn đồng, mỗi m2 nắp là 200 nghìn đồng và mỗi m2 mặt bên là 400 nghìn đồng. Hỏi người đó chọn bán kính bể là bao nhiêu để chi phí làm bể ít nhất?
Lời giải
Gọi R và h lần lượt là bán kính và chiều cao của bể chứa nước.
Ta có thể tích bể chứa nước là: V =1 Þ p R2h = 1 Û h =
1	.
p R2
Diện tích nắp và mặt đáy bể chứa nước là: Diện tích xung quanh của bể chứa nước là:
S = p R2 .
1
S2 = 2p Rh = 2p R.

1
p R2

= 2 .
R
Chi phí làm bể chứa nước là: đồng).
f ( R) = 6p R2 + 2p R2 + 4. 2 = 8p R2 + 8
R	R
(trăm nghìn
Ta có:
f ¢( R) = 16p R -
8 . Xét
R2
f ¢( R) = 0 Û 16p R -
8 = 0 Û 2p R3
R2
-1 = 0 Û R = 3 1 .
2p
Bảng biến thiên:
R	0
f ¢(R)
f (R)

+¥
1
3
2p
–	0	+
CT
1
3
2p
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy chi phí làm bể chứa nước thấp nhất khi R =
.
Câu hỏi thực hành số 4:
Hai con tàu A và B đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, tàu A chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện tại của tàu A với vận tốc 7 hải lý/giờ. Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách giữa hai tàu là lớn nhất ?
Lời giải
Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d . khi đó tàu A
đang ở vị trí	A1 và tàu B đang ở vị trí B1 như hình	A
B· 1	B·
vẽ.
Ta	có
1	1	1	1
d2 = AB 2 + AA 2 = (5 - BB )2 + AA 2 = (5 - 7t)2 + (6t )2
 	
d
A1 ·
1	B
A
Với BB1 là quãng đường tàu B đi được BB = v .t = 7t
85t2 - 70t + 25
Và AA1
là quãng đường tàu A đi được
AA1
= v .t = 6t
Suy ra d =

85t2 - 70t + 25
. Đặt
f (t ) =
với t > 0 .
Bài toán trở thành tìm
min f t = ?
( )
tÎ(0 ;+¥)
Ta có:
 	170t - 70	7 
85t2 - 70t + 25
( ) =	( ) =	Û	=
f ' t	, f ' t	0	t
(h)
2	17
Lập bảng biến thiên ta thấy
t	0	7	+¥
17
+
0
-
f ' (t )
f (t )
Dựa vào bảng biến thiên ta có:

6 85
17
min f (t ) =

æ 7 ö	6 
85
=
f ç	÷

» 3, 254

(hải lý)
tÎ(0 ;+¥)
è 17 ø	17
Câu hỏi thực hành số 5:
Sưu tập các bài toán về: Vận dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để
giải quyết các vấn đề thực tiễn.
Câu 1: Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là
50.000 đồng. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30.000 đồng.
Câu 2: Công ty xe khách Thiên Ân dự định tăng giá vé trên mỗi hành khách. Hiện tại giá vé là 50.000 VNĐ một khách và có 10.000 khách trong một tháng. Nhưng nếu tăng giá vé thêm 1.000 VNĐ một hành khách thì số khách sẽ giảm đi 50 người mỗi tháng. Hỏi công ty sẽ tăng giá vé là bao nhiêu đối với một khách để có lợi nhuận lớn nhất?
Câu 3: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2000000 đ một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100000đ một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng?
Câu 4: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo C và khoảng cách ngắn nhất từ B đến C là 1 km, khoảng cách từ B đến A là 4 km được minh họa bằng hình vẽ sau:
Biết rằng mỗi rằng km dây điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất ?
Câu 5: Cô An đang ở khách sạn A bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo C
. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10 km , khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C là