Sáng kiến kinh nghiệm Một số kỹ thuật giải nhanh các bài toán tích phân hàm ẩn

(x) =
f (-x) = 1 (2021x2020 + 3x2 - 4) 2
Khi đó
2
I = ò
f ( x)dx = 1
2
ò (2021x2020 + 3x2 - 4)dx = 22021 .
-2
Ví dụ 18: Cho hàm số
2 -2
f ( x)

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [0; 2].
Biết
f (0) = 1 và	f ( x). f (2 - x) = e2x2 -4 x
với mọi
x Î[0; 2]. Tính tích phân
2 (x3 - 3x2 ) f '( x)
I = ò
0
f ( x)
dx .
A. I = -14 .	B. I = - 32 .	C. I = -16 .	D. I = -16 .
3	5	3	5
Cách 1:
Từ giả thiết
f (2) = 1.
f ( x) f (2 - x) = e2x2 -4 x
đúng với mọi
x Î[0; 2]nên với
x = 2 , ta được
2 (x3 - 3x2 ) f '( x)
Ta có
I = ò
0
f ( x)
dx .
í
ìu = x3 - 3x2	ì
2
Đặt ï
 f '( x)
Þ ïdu = (3x - 6x)dx
(do
f ( x) > 0,"x Î[0;2]).
ï
ídv =
î
f ( x) dx
ïîv = ln f ( x)
0
2	2
Khi đó, ta có
I = (x3 - 3x2 )ln f ( x)
- ò(3x2 - 6x)ln f ( x)dx
0
2
= -3ò(x2 - 2x)ln f ( x)dx = -3J
0
Tính

2
J = ò( x2 - 2x)ln f ( x)dx .
0
Đặt
x = 2 - t Þ dx = -dt ; đổi cận:
x = 2 Þ t = 0; x = 0 Þ t = 2
Khi đó,
0
ë	û
J = ò é(2 - t )2 - 2(2 - t )ù ln f (2 - t )d(2 - t )
2
0	2
ë	û
= ò é(2 - x)2 - 2(2 - x)ùln f (2 - x)d(2 - x) = ò éë x2 - 2xùû ln f (2 - x)dx .
2	0
Suy ra

2	2
2J = ò éë x2 - 2xùû ln f ( x)dx + ò éë x2 - 2xùû ln f (2 - x)dx
0	0
2
= ò éë x2 - 2xùû ln f ( x) f (2 - x)dx
0
2	2
= ò éë x2 - 2xùû ln e2x2 -4 xdx = ò(x2 - 2x)(2x2 - 4x)dx = 32
Vậy
0	0	15
Þ J = 16 .
15
I = -3J = -16 .
5
Cách 2: Sử dụng kỹ thuật chọn hàm
Ta thấy khi thay x bởi 2 - x thì đẳng thức

f ( x) f (2 - x) = e2x2 -4 x

không thay đổi
và f ( x)
nhận giá trị dương nên ta chọn
f ( x) =
f (2 - x) = ex2 -2 x .
2 (x3 - 3x2 ) f '( x)	2 (x3 - 3x2 ).(2x - 2)ex2 -2 x
I = ò
f ( x)
dx = ò
dx
ex2 -2 x
0	0
2
ò
=	(x3 - 3x2 ).(2x - 2)dx = -16
0	5
Ví dụ 19:	Cho hàm số
y = f ( x)
có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
f ( x) +
f æ π - x ö = sin 2x , với mọi x Î R và
f (0) = 0 . Giá trị của tích phân
ç 2	÷
è	ø
π 2
I = ò x. f ¢( x)dx
0
bằng
A. - π .	B. 1 .	C. π .	D. - 1 .
2
Cách 1:
Theo giả thiết:
2
f (0) = 0 và

f ( x) +
2	2
f æ π - x ö = sin 2x nên	f (0) + f æ π ö = 0
ç 2	÷	ç 2 ÷
è	ø	è	ø
ç 2 ÷
Þ f æ π ö = 0 .
è	ø
π	π	π	π
2	2	π	2	2
0
Ta có: I = ò x. f ¢( x)dx = ò xd éë f ( x)ùû = ëéxf ( x)ùû 2 - ò f ( x)dx = -ò f ( x)dx .
0
Mặt khác: f ( x) +
0	0	0
f æ π - x ö = sin 2x
ç 2	÷
è	ø
p	p	æ p	ö	p
Þ ò 2 f ( x)dx + ò 2 f ç	- x ÷dx = ò 2 sin 2x dx
(1)
0	0	è 2	ø	0
p	p
Ta có:
ò 2 sin 2x dx = - cos 2x 2 = 1
0	2	0
p	æ p	ö	p	p
và ò 2 f ç	- x ÷dx = ò 2 f ( x)dx (Đặt t =	- x ).
0	è 2	ø	0
ò
0
p	1
2
π
2	¢	1
Thay vào (1) ta được:
2 f ( x)dx =
. Vậy
2
I = ò x. f
0
( x)dx = -
2
Cách 2: Sử dụng kỹ thuật chọn hàm
Từ giả thiết ta thấy, khi thay x bởi
p - x thì đẳng thức f ( x) + f æ π - x ö = sin 2x
2	ç 2	÷
không thay đổi nên ta chọn

f ( x) =
è	ø
f æ π - x ö = 1 sin 2x Þ f '(x) = cos2x
ç 2	÷	2
è	ø
π	π
2	¢	2	1
Khi đó: I = ò x. f ( x)dx = ò x.cos2xdx = - 2
0	0
Kết luận: Trên đây là 1 số dạng bài toán mà ta thấy rằng, khi sử dụng kỹ thuật chọn hàm giúp học sinh nhanh chóng tìm ra kết quả của bài toán. Đặc biệt là các bài toán ở ví dụ từ Ví dụ 16 đến Ví dụ 19 thì kỹ thuật chọn hàm nó chiếm ưu thế vượt trội, việc giải quyết bài toán đơn giản hơn rất nhiều. Qua đó, rèn luyện cho học sinh phương pháp tư duy tổng quát hóa hoặc đặc biệt hóa bài toán để có thể định hướng ra cách giải quyết bài toán.
Bài tập áp dụng:
1	15
Bài 1. Cho hàm số
p
2
f (x)
có đạo hàm liên tục trên R , thỏa mãn
ò xf (x)dx = 64 .
1
2
Tính
òsin 2x. f (sin x)dx .
p
6
A. 15 .	B. 15 .
C. 5 .
D. 5 .
16
HD: Chọn
32	8	16
f (x) = a
Bài 2. Cho hàm số
f (x)
có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn
f (2) = -2 ,
2
ò f (x)dx = 1. Tính
0
4
ò f '(
0

x )dx
4	5 4
HD: Chọn
f (x) = ax + b . Khi đó,
ò f '(	x )dx = - 2 ò dx = -10 .
2 + 2cos 2x
0	0
Bài 3. Cho hàm số
3p
f ( x)
liên tục trên R và
f (x) +
f (-x) =
. Tính
tích phân
2
ò f (x)dx .
-3p 2
A. 0 .	B. 6 .	C.

-6 .	D.

-2 .
HD: Chọn
f (x) =
f (-x) = 1
2
2 + 2cos 2x
Bài 4. Cho hàm số
y = f ( x)
có đạo hàm liên tục trên	R	thỏa mãn
f ( x) +
f æ π - x ö = sin x.cos x , với mọi x Î R và
f (0) = 0 . Giá trị của tích phân
ç 2	÷
è	ø
π 2
ò x. f ¢( x)dx
0
bằng
A. - π .	B. 1 .	C. π .	D. - 1 .
4	4	4	4
HD: Chọn f ( x) = f æ π - x ö = 1 sin x.cos x
ç 2	÷	2
è	ø
Bài 5. Giả sử hàm số
f (x)
liên tục và luôn dương trên đoạn [0;3]
thỏa mãn
f (x). f (3 - x) = 1. Tính tích phân
3
0
I = ò1 +
1	dx ?
f ( x)
A. I = 2 .	B.
3
I = 3 .	C.
2

I = 1.	D.

I = 3 .
HD: Chọn
f (x) =
f (3 - x) = 1
Bài 6. Cho hàm số f ( x)
1
liên tục trên đoạn [-1;1]và f (x) là hàm số chẵn. Biết
1
ò (x + 2) f '(x)dx = 12 và
-1
f (1) = 9 . Tính tích phân ò0 f ( x)dx
A. 6 .	B. 3 .	C.
-6 .	D. 4 .
HD: Chọn
f (x) = ax2 + b
Bài 7. (Đề THPTQG năm 2019)
1
Cho hàm số
f (x) có đạo hàm liên tục trên R và
f (3) = 1; ò x. f (3x)dx = 1.
0
0
Tính tích phân
ò1 x2 f '( x)dx
A. 7 .	B. 3 .	C.
-9 .	D. 25 .
3
HD: Chọn
f (x) = ax + b
Bài 8. Cho hàm số
f ( x)
liên tục trên R và
f (x)
là hàm số chẵn. Biết
1	1 2
2 f (x)
2
ò f (x)dx =	ò f (x)dx = 1 và
0	1
f (1) = 9
. Tính tích phân
ò-2 3x + 1dx
A. 6 .	B. 3 .	C. 1.	D. 4 .
HD: Chọn
f (x) = ax2 + b
Bài 9. Cho hàm số
f (x)
có đạo hàm liên tục trên R , thỏa mãn
p
2
f (0) = 3 và
f (x) +
f (2 - x) = x2 - 2x + 2,"x ÎR . Tích phân
òsin 2x. f ¢(2sin x)dx
0
bằng
A. - 4
3
.	B. 2 .	C.
3
-10 .	D.
3
- 5 .
3
HD: Chọn
f (x) =
f (2 - x) = 1 (x2 - 2x + 2)
2
1	3
Bài 10. Cho hàm số
1
f ( x)
liên tục trên R và
ò f (x)dx = 2 ,
0
ò f (x)dx = 6 . Tính
0
tích phân
6 .
I = ò-1 f ( 2x - 3 )dx .
8 .

C. 2 .	D. 4 .
HD: Chọn
f (x) = ax + b .
Kỹ thuật 2: Kỹ thuật sử dụng các quy tắc đạo hàm của hàm số hợp để tìm hàm số.
Ở đây chúng tôi đưa ra các bài toán tổng quát và kỹ thuật biến đổi của từng bài toán để học sinh dễ nhận dạng và áp dụng
Các bài toán sau đều xuất phát từ các quy tắc đạo hàm của hàm số hợp và bảng nguyên hàm của hàm số hợp đã trình bày trong các mục 1.4 và 1.5
Bài toán 1:
Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức
f ¢( x) + p( x).é f ( x)ùn = 0 , (1)
ë	û
(Biết trước hàm số
p(x)
và n ¹ 1).
Kỹ thuật biến đổi: Dựa trên quy tắc
æ u ö
ç v ÷
u '.v - v '.u v2
¢
æ 1 ö
, (v ¹ 0) Þ ç u ÷
= - u¢
u2

với u = u(x),v = v(x)
' =
è	ø	è	ø
Chia hai vế của (1) cho
é f ( x )ùn :
 f ¢( x) + p( x) = 0 Û f ¢( x) = - p ( x)(*)
ë	û	éë f ( x)ùûn
 f ¢( x) 	éë f ( x)ùû- n+1
éë f ( x)ùûn
ë	û
Suy ra ò é f ( x)ùn dx = -ò p ( x)dx Û
-n +1
= -P(x) + C
(Với
P(x)
là một nguyên hàm của
p(x) )
Chú ý: - Nếu bài toán yêu cầu tính giá trị của hàm số tại điểm x = a mà giả thiết
đã cho giá trị của hàm số tại điểm x = b(a > b) xác định thì ta lấy tích phân hai vế với cận từ b đến a .
- Nếu bài toán yêu cầu tính giá trị của hàm số tại điểm x = a
mà giả thiết
đã cho giá trị của hàm số tại nhiều điểm xác định thì ta lấy nguyên hàm hai vế tìm
C , tìm được hàm f ( x) và thay các cận vào ta được kết quả cần tìm.
Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: (Đề thi THPTQG năm 2018)
Cho hàm số Tính f (1) .

f (x)

thỏa mãn
f (2) = - 1 và
3
f ¢(x) = x[ f (x)]2

với mọi
x Ρ.
Phân tích: - Ta thấy giả thiết của bài toán đã xuất hiện dạng của Bài toán 1 nên ta chia 2 vế của giả thiết cho [f (x)]2
- Lấy tích phân 2 vế trên đoạn [1;2] và sử dụng máy tính Casio, định
nghĩa tích phân để tính f (1) .
Bài giải: Từ giả thiết: f ¢(x) = x[ f (x)]2
(1), suy ra
f ¢(x) ³ 0
với mọi
x Î[1;2] .
Do đó
f (x)
là hàm số đồng biến trên đoạn [1;2] , ta có
f (x) £
f (2) < 0
với mọi
x Î[1;2] .Chia 2 vế hệ thức (1) cho [ f (x)]2 Þ f ¢(x)
[ f (x)]2
= x,"x Î[1; 2].
Lấy tích phân 2 vế trên đoạn [1;2] hệ thức vừa tìm được, ta được:
2	f ¢(x)
2	2	1	3

2
-1
f (x)
3	1	1	3
1	1	1
ò [ f (x)]2 dx = ò xdx Þ ò [ f (x)]2 df (x) = 2 Þ
=	Þ	-
1	2	f (1)
=
f (2)	2
Do f (2) = - 1 nên
3
f (1) = - 2
3
Chú ý: ta có thể tự kiểm tra các phép biến đổi tích phân trên đây là có nghĩa.
Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên(0; +¥) , biết f ( x) > 0, x Î ¡,
f (2) = 1 và
15
f '( x) + (2x + 4) f 2 ( x) = 0 . Tìm f (0)?
Phân tích: - Ta thấy giả thiết của bài toán đã xuất hiện dạng của Bài toán 1, nên ta làm tương tự ví dụ 1
Bài giải:
Ta có:
f ' ( x) + (2x + 4 f 2 x = 0 Þ	= -2x - 4)	( )
f ' ( x) f 2 ( x)
2 f ' ( x)	2
Þ ò f 2 ( x) dx = ò( - 2x - 4)dx = -12
0	0
1
f ( x)
2
Û -	= -12 Þ
0

1	-
f (2)

1
f (0)

= 12 .
Với f (2) = 1 Þ f (0) = 1	.
15	3
Ví dụ 3: ( Đề thi thử cụm Quỳnh Lưu-Hoàng Mai)
Cho hàm số
f ( x)
thỏa mãn
f (1) = 2 ;
f (x) ¹ 0
với mọi
x > 0	và
(x2 + 1)2. f '(x) = éë f ( x )ùû2 .(x2 - 1)
với mọi
x > 0 . Giá trị của
f (2) bằng
A. 2 .	B. - 2 .	C. -5 .	D. 5 .
5	5	2	2
Phân tích: - Ta thấy giả thiết của bài toán đã xuất hiện dạng của Bài toán 1, nên ta giải quyết như các ví dụ trên.
Bài giải: Vì
f '(x)
f (x) ¹ 0 với mọi
x2 - 1
x > 0
nên từ giả thiết ta có:
[f (x)]2
= (x2 + 1)2
, "x Î[1;2]
Lấy tích phân 2 vế trên đoạn [1;2] , ta được:
2	f '(x)
2	x2 -1

2
1
f (x)
1	1	1	1
1	1
ò[f (x)]2 dx = ò (x2 + 1)2 dx Û -
=	Û -
1	10
+	=
f (2)	f (1)	10
Do f (1) = 2 Þ
f (2) = 5
2
Ví dụ 4: Cho hàm số
f ( x) ¹ 0,"x Î ¡,
f (0) = - 1
2
và thỏa mãn điều kiện
f ¢( x) = (2x + 3). f 2 ( x) . Tính tổng f (1) +
f (2) + ... +
f (2022) .
Phân tích: - Ta thấy giả thiết của bài toán đã xuất hiện dạng của Bài toán 1, nên ta chia 2 vế của giả thiết cho [f (x)]2
tổng.
- Từ yêu cầu của đề bài lấy nguyên hàm 2 vế để tìm
f (x) , rồi tính
2 ( )
Bài giải: Ta có f ¢( x) = (2x + 3). f 2 ( x) Þ f ¢( x)
f	x

= 2x + 3
Þ ò	dx =
 f ¢( x)
f 2 ( x)
(2x + 3)dx Þ - 1	= x2 + 3x + C
( )
ò
f	x
Þ f ( x) = -
1
x2 + 3x + C
Với
f (0) = - 1
2
suy ra C = 2 .
Suy ra
f ( x) = -	1	= -	1
= -æ	1	-	1	ö

x2 + 3x + 2	( x +1)( x + 2)	ç x + 1	x + 2 ÷
Khi đó f (1) +
è	ø
f (