Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác tính chất hình học để xây dựng và phát triển các bài toán tọa độ không gian

os B - M
sinA
cos B - M
Û P =	2	2	=	2	£	1
A	A	A	A
2 cos	sin	sin	sin
2	2	2	2
Để P	Û sin A

î
min, dấu bằng xảy ra khi
ìï AB = AM
24 3 - 8 26
3
54 + 6 78
max	2
íï$ABM = $ABH
(P) : x - 2 y + 2z - 3 = 0 Þ d
Nhận xét:
B /(P)
= 2 Þ BM =
3
Þ Pmax =	.
Bài toán ban đầu là bài toán cực trị về tỉ số độ dài đoạn thẳng sau đó được chuyển về bài toán cực trị về góc. Mối liên hệ giữa chúng chính là định lí sin áp dụng trong tam giác.
Khai thác tính chất về mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Cho điểm A không thuộc mặt phẳng (a ) , gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm
A lên mặt phẳng (a ) . Ta luôn có tính chất AH £ AM
với M là điểm bất kì nằm
trên (a )
hay khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (a )
là khoảng cách bé nhất
trong mọi khoảng cách từ điểm A đến điểm bất kì nằm trong (a ) ; AH được gọi là đường vuông góc, AM được gọi là đường xiên. Tính chất này được suy ra ngay từ khái niệm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Ví dụ	minh họa: Trong không gian Oxyz , cho điểm
A (2; -3; 4) , đường thẳng
d : x - 1 = y + 2 = z
2	1	2
và mặt cầu (S ) : ( x - 3)2 + ( y - 2)2 + ( z + 1)2 = 20 . Mặt phẳng ( P)
chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến ( P)
là lớn nhất. Mặt
cầu (S ) cắt mặt phẳng ( P)
theo đường tròn có bán kính bằng
A. 2 5 .	B.
.	C. 2 .	D. 4 .
5
Lời giải
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là: u = (2;1; 2).
Gọi
H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P)
và đường
thẳng d . Ta có
K Î d Þ K (2t +1;t - 2; 2t ) Þ AK = (2t -1;t +1; 2t - 4) .
Do AK ^ d Þ u.AK = 0 Û 2 (2t -1) +1(t +1) + 2 (2t - 4) = 0 Û t = 1.
Suy ra
K (3; -1; 2), AK = (1; 2; -2) .
Ta thấy d( A,(P)) = AH £ AK = 3 Þ max d( A,(P)) = AK Û H º K .
Khi đó mặt phẳng ( P)
đi qua K và nhận véc tơ AK làm véc tơ pháp tuyến.
Þ ( P) :1.( x - 3) + 2( y +1) - 2( z - 2) = 0
Û x + 2 y - 2z + 3 = 0 .
Mặt cầu (S ) có tâm
I (3; 2; -1) , bán kính
R = 2 5 .
Ta có
d(I , (P)) =
= 4 . Vậy (S )
3 + 2.2 - 2.(-1) + 3
R2 - d2 (I , ( P ))
20 - 16
3
cắt mặt phẳng ( P)
theo đường tròn
có bán kính là: r =
Nhận xét:
=	= 2 .
Cơ sở của bài toán này xuất phát từ một bài tập quen thuộc được giới thiệu ở bài tập 8 sgk hình học lớp 11-trang 105-bài đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Cho điểm S không thuộc mặt phẳng (a ) và có hình chiếu lên mặt phẳng (a ) là
điểm H . Với M là điểm bất kì trên (a )
và M không trùng với H , ta gọi SM là
đường xiên và đoạn HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng:
Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau.
Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
Ngoài tính chất trên thì ở đây ta còn thấy một tính chất nữa, đó là mối liên hệ giữa bán kính mặt cầu R , bán kính đường tròn giao tuyến r và khoảng cách d từ
tâm mặt cầu (S ) đến mặt phẳng cắt ( P) là R2 = r 2 + d 2 .
Bài toán tìm điểm trên mặt cầu
Khai thác tính chất về khoảng cách từ điểm trên mặt cầu đến điểm cố định nằm ngoài mặt cầu
Trong không gian cho mặt cầu (S )
tâm I bán kính R và A là điểm bất kì nằm
ngoài mặt cầu	(S ) . Gọi	M	là điểm bất kì nằm trên	(S ) , ta luôn có:
AI - R £ IM £ AI + R , dấu bằng xảy ra khi A, I , M thẳng hàng.
Ví dụ minh họa: Trong không gian
Oxyz,
cho các điểm
A(1; 0;3) ,
B (2; -1; -1) ,
C (0; - 3; -1)
và mặt cầu (S ) : ( x - 2)2 + ( y +1)2 + ( z -1)2 = 36 . Điểm
D (a;b; c)
thuộc
mặt cầu (S ) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. Tính tổng a + b + c .
A. 3	B. 4.	C. 0.	D. 6.
D
D1
C
B
A
Lời giải
Ta có (S ) : ( x - 2)2 + ( y +1)2 + ( z -1)2 = 36
suy ra	D2
(S ) có tâm
I (2; -1;1)
và bán kính
R = 6 .
Và AB = (1; - 1; - 4) và AC = (-1; - 3; - 4) .
Mặt	phẳng	( ABC )
có	một	VTPT	là
é	ù
r	uuur uuur
n = ë AB, AC û
= (-8;8; - 4) .
Mặt	phẳng	( ABC )
có	phương	trình
-8( x -1) + 8y - 4( z - 3) = 0 Û -2x + 2 y - z + 5 = 0 .
Ta có: V

ABCD
= 1 .d (D;( ABC )).S
3

ABC
nên VABCD lớn nhất khi d(D;( ABC ))
lớn nhất.
Gọi
D1 D2
là đường kính của mặt cầu (S ) và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) .
Suy ra với
D (a;b; c) là một điểm thuộc mặt cầu (S ) , ta có:
d (D;( ABC )) £ max{d (D1 ;( ABC )); d (D2 ;( ABC ))}
Dấu = xảy ra khi
D º D1 hoặc
D º D2 .
Đường thẳng
ì x = 2 - 2t
í
là ï y = -1+ 2t
î
ï z = 1- t
D1 D2
đi qua tâm
I (2; -1;1)
có VTCP là u = (-2; 2; - 1)
có phương trình
Do đó, toạ độ điểm
D1 và
D2 thoả mãn hệ
ìx = 2 - 2t
ï
ï y = -1+ 2t
Û

ét = 2 Þ D1 (-2;3; -1)
í z = 1- t
êt = -2 Þ D (6; -5;3)
ï	ë	2
ïî ( x - 2)2 + ( y +1)2 + ( z -1)2 = 36
d (D ; ( ABC )) = 16 ;d (D ; ( ABC )) = 20 .
1	3	2	3
Do đó điểm cần tìm là điểm
D2 .
Nhận xét:
Bài toán được xây dựng từ tính chất quen thuộc về dây cung của mặt cầu: “trong các dây cung của một mặt cầu thì đường kính là dây cung lớn nhất”, bởi vậy
khoảng cách giữa điểm D trên mặt cầu đến mặt phẳng ( ABC ) lớn nhất nếu khoảng
cách đó bằng tổng của đường kính và khoảng cách giữa mặt cầu và mặt phẳng.
Bài toán tìm điểm trên mặt trụ
Ví dụ minh họa: Trong không gian Oxyz , cho điểm
A(0; 4; - 3). Xét đường thẳng
d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 . Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?
A. N (0; - 3; - 5) .	B.
M (0;3; - 5) .	C. Q (0;5; - 3) .	D.
Lời giải
P (-3; 0; - 3) .
Đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 nên d nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục là Oz và bán kính bằng 3 .
Giao điểm của mặt trụ với trục Oy là điểm
I (0;3; 0) .
min
Ta thấy d ( A, d )	= d ( A,Oz ) - 3 = 4 - 3 = 1. Khi
đó thì d , A , Oz đồng phẳng Þ d đi qua điểm M (0;3; - 5) .
Nhận xét:
Với tính chất cho đường thẳng d chuyển động và luôn cách trục Oz một khoảng bằng 3 thì bài toán này đã được xây dựng trên định nghĩa mặt trụ tròn xoay. Việc tìm vị trí đường thẳng d dựa trên hai tính chất:
K
M
+) Theo phương ngang đó là tìm vị trí điểm M trên đường tròn thiết diện tạo bởi mặt trụ và mặt phẳng
vuông góc với trục Oz sao cho khoảng cách AM ngắn	A nhất. Khi đó M là giao điểm của AK với đường tròn đồng thời M nằm giữa A và K .
A
+) Theo phương thẳng đứng đó là tìm vị trí điểm M trên đường
thẳng d sao cho khoảng cách AM nhỏ nhất hay M là hình	M
chiếu của điểm A trên đường thẳng d .	d
Nhận xét chung mục 2.3.3.1:
Trong mục 2.3.3.1 đề tài nghiên cứu các tính chất liên quan đến xác định vị trí của điểm trêm một mặt cho trước. Các bài toán này đa phần đều liên quan đến
tính chất chuyển động của điểm trên các mặt và sử dụng mối quan hệ đường vuông góc với đườn xiên. Việc hiểu và nắm vững các tính chất đã chỉ ra giúp giáo viên khi dạy có thể hướng đến cho học sinh lối suy nghĩ và tu duy quen thuộc từ đó hình thành kĩ năng giải bài toán cực trị hình học.
Các bài toán về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng với mặt cầu
Bài toán về vị trí tương đối giữa đường thẳng với mặt cầu Khai thác tính chất về tiếp tuyến của mặt cầu:
+) Qua một điểm A nằm trên mặt cầu
S (O; r ) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó.
Tất cá các tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính OA của mặt cầu tại điểm A
và đều nằm trên mặt phăng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A .
+) Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu
S (O; r )
có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đã
cho. Các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A . Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm bằng nhau.
Ví dụ minh họa: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
A(1; 0;5), B (4;1;3) . Viết
phương trình mặt cầu (S ) có tâm là A sao cho các tiếp tuyến đi qua B của mặt cầu
(S ) tạo thành một mặt nón có góc ở đỉnh bằng 120° .
A. (S ) : ( x +1)2 + y2 + ( z + 5)2 = 21 .	B. (S ) : ( x +1)2 + y2 + ( z + 5)2 = 7 .
2	2
C. (S ) : ( x -1)2 + y2 + ( z - 5)2 = 21 .	D. (S ) : ( x -1)2 + y2 + ( z - 5)2 = 7 .
2	2
Lời giải
Gọi BM là một tiếp tuyến của (S )
tại điểm
14
M . Khi đó, tam giác AMB vuông tại M .
Ta có
AB =	và
M$BA = 1 .120° = 60° .
2
Suy ra
R = MA = AB.sin 60° =
14. 3 =	.
21
2
2
Vậy mặt cầu (S )
có tâm
A(1; 0;5)
và bán kính
21
2
R =	có phương trình
(S ) : ( x -1)2 + y2 + ( z - 5)2 = 21
2
Nhận xét:
Bài toán được khai thác trên tính chất tiếp tuyến với mặt cầu: “Các tiếp tuyến xuất phát từ một điểm nằm ngoài mặt cầu tạo với đường thẳng nối từ điểm đó đến tâm của mặt cầu các góc bằng nhau”.
Bài toán về vị trí tương đối giữa mặt phẳng với mặt cầu
Khai thác tính chất về vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:
Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S )
đến mặt phẳng ( P)
(S ) . Ta có:
và r là bán kính của mặt cầu
Nếu d > r
(S ) .
Nếu d = r
cầu (S ) .
Nếu d < r
thì mặt phẳng ( P)
thì mặt phẳng ( P)
thì mặt phẳng ( P)
không cắt mặt cầu tiếp xúc với mặt
cắt mặt cầu (S )
theo đường tròn bán kính r ' , khi đó ta có mối liên
hệ:	r2 = d 2 + (r¢)2
Ví	dụ	minh	họa	:	Trong	không	gian	Oxyz ,	cho	mặt	cầu
(S ) : ( x +1)2 + ( y + 2)2 + ( z - 2)2 = 25
và	các	điểm
A(1; 2;3) ,
B (1; -2;1) .	Gọi
( P) : ax + by + cz -1 = 0
là mặt phẳng đi qua hai điểm A , B và cắt mặt cầu (S )
theo
thiết diện là đường tròn có diện tích nhỏ nhất. Tổng T = a + b + c bằng:
A. -2 .	B. 3 .	C. 2 .	D. 4 .
Lời giải
(S ) : tâm
I (-1; -2; 2) , bán kính
R = 5
( P ) Ç (S ) = (C ) : đường tròn (C ) tâm có J , bán kính r và có diện tích là: S = p r2
⇒ Giá trị min S đạt được khi min r
25 - d2 (I , ( P))
Mặt	khác:
R2 - IJ 2
r =	=	⇒ Giá
trị min r đạt được khi max d (I , (P )). Đường thẳng đi qua hai điểm A và B có:

ud
r = AB = (0; -4; -2) = -2 (0; 2;1) º (0; 2;1)
và A(1; 2;3)Î d
ìx = 1
ï
⇒ d : í y = 2 + 2t
î
ïz = 3 + t
Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên d :
K (1; 2 + 2t;3 + t ) ;
IK = (2; 4 + 2t;1+ t )
IK × r
= 0 ⇔ 8 + 4t +1+ t = 0 ⇔ t = - 9
⇒ uur = æ
2 - 4 ö = 2 (5;1; -2) º (5;1; -2)
ud	5	IK	ç 2; 5 ; 5 ÷	5
Ta có: d(I, (P)) = IJ £ IK
⇒ max d(I ,( P)) = IK
è	ø
khi: J º K .
Khi đó: mặt phẳng ( P)
chứa d và có một vectơ pháp tuyến là
IK = (5;1; -2)
⇒ ( P) = 5(