Báo cáo biện pháp Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

– z) + (x – y)
nên : G = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y)
 =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2)
 = (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) 
 = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
 = (y – z) (x – y)(x – z)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
Giải: Ta có : I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
 	= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc
 	= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc
 	= ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b)
 	= ( a + b)(bc + ca + ab + c2)
 	= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))
 	 = ( a + b)(b + c)(c + a)
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
 K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc
Giải: Ta có : K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc
 = (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc)
 = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)
 = ( a + b + c)(ab + bc + ca)
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
Giải: Ta có : Q = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc)
= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)
= (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc)
= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c))
= (a + 2b)(2b – c)(a – c)
3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác.
Các hằng đẳng thức thường dùng là :
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
A2 - B2 = (A + B) (A - B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)
Sau đây là một số bài tập cụ thể:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 
Giải: Ta có : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 
 	= (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 )
 	= (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 )
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2
 	= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2
 	= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )
 	= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))
 	= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
Giải: Ta có : C = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
 	= (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2
 	= (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2
 	= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2
 	= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1) 
 	= 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)
 	= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
E = (x + y)3 +(x - y)3 
Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải như sau :
Cách 1: E = (x + y)3 +(x - y)3 
 	 = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)
 	 = 8x3 – 3.2x(x2 – y2)
 	 = 2x(4x2 – 3(x2 – y2))
 	 = 2x(x2 + 3y2)
Cách 2: E = (x + y)3 +(x - y)3 
 	 = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 
 	 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))
 	 = 2x(x2 + 3y2)
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = 16x2 + 40x + 25
Giải: Ta có: F = 16x2 + 40x + 25
 	 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52
 	 = (4x + 5)2
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
G = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3)
Giải: Ta có: G = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3)
 	= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)
 	= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3)
 	= 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)
 	= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)
 	= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)
 	= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
H = x8 – 28 
Giải: Ta có : H = x8 – 28 
 	= (x4 + 24) (x4 - 24) 
 	= (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) 
 	= (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) 
 	= (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)
* Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên để có thể phân tích đa thước thành nhân tử.
Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : M = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
Giải: M = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
	= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2)	(Nhóm các hạng tử)
	= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
	= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : N = a2 - b2 - 2a + 2b
Giải: N = a2 - b2 - 2a + 2b
	= (a2 - b2) - (2a - 2b) 	(Nhóm các hạng tử)
	= (a - b) (a + b) - 2(a - b)	(Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
	= (a -b) (a + b - 2)	(Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú ý các bước sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa thức.
+ Xem xét đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Cụ thể các ví dụ sau:
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2
 Ta thấy P không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung, vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung. Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên. 
 P = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2. Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất làm xuất hiện hằng đẳng thức P = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2. Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a+b) 
Vậy P = 5(a + b) (a - b) +3 (a + b)2 . Đã có nhân tử chung là: (a + b) Vậy ta tiếp tục đặt nhân tử chung.
P = (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b). 
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
Q = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy22 - 3xyz2 + 3xy.
Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
Q = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - Z2 + 1)
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không? 
+ Nhóm hạng tử: Q = 3 xy[(x2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2)]
+ Dùng hằng đẳng thức: Q = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] xem xét hai hạng tử trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào.
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:
Q = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Vậy: Q đã được phân tích các đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát xem, kiển tra, linh hoạt sử dụng các bước phối hợp giữa các phương pháp như đã hướng dẫn trên từ đó sẽ phân tích theo các phương pháp thông thường.
4. Phương pháp sử dụng phép chia đa thức:
Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x).
Sau đây là một số ví dụ cụ thể:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8
Giải: 
Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0
Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được: 
	f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x)
Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 có g(-2) = 0
Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được: 
g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)
Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0 
Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1)
Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1)
 = (x + 2)3(x2 + 1)
Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để thực hiện phép chia được nhanh hơn.
Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau :
1
6
13
14
12
8
-2
1
4
5
4
4
0
Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)
Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) như sau :
1
4
5
4
4
-2
1
2
2
2
0
Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) 
Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) như sau :
1
2
2
2
-2
1
0
1
0
 	Vậy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1)
 Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36
Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của 36 : 1; 2; 3; 4; 6 ; 9; 12; 18; 36.
Ta thấy : x = -2
P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0
Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 
 	 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)
 	 = (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18)
Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử 
Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0
Nên chia Q cho (x + 2), ta được :
Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9)
 = (x + 2)(x – 3)2
Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2
5. Phương pháp đặt ẩn phụ
Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12
Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành :
 A = y2 + 4y – 12
 	= y2 – 2y + 6y – 12
 	= y(y – 2) + 6(y – 2)
 	= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x2 + x vào (1) ta được :
 A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)
 = (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Đặt y = (x2 + x + 1). Đa thức đã cho trở thành :
A = y(y + 1) – 12
 = y2 + y – 12
 = y2 – 3y + 4y – 12
 = y(y – 3) + 4(y – 3)
 = (y – 3)(y + 4) (*)
Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta được :
A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
 = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)
 	 	 = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x12 – 3x6 + 1
Giải: B = x12 – 3x6 + 1
Đặt y = x6 (y )
Đa thức đã cho trở thành :
B = y2 – 3y + 1
 = y2 – 2y + 1 – y
 = (y – 1)2 – y
 = (y – 1 - )(y + 1 +) (*)
 Thay : y = x6 vào (*) được :
B = (x6 – 1 - 
 = (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3)
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x3 - 3x2 + 3x + - 2
Giải: Đặt : y = x - , ta có x = y + 
 C = (y + )3 - 3(y + )2 + 3(y + ) + - 2 
 = y3 + 3y2 + 3y.2 + 2 - 3(y2 + 2y + 2) + 3(y + ) + - 2 
 = y3 - 3y – 2
 = y3 - y – 2y – 2
 = y(y2 – 1) – 2(y + 1)
 = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)
 = (y + 1)(y(y – 1) – 2)
 = (y + 1)(y2 – y – 2)
 = (y + 1)(y + 1)(y – 2)
 = (y + 1)2(y – 2) (*)
Thay : y = x - vào (*), được :
C = (x - + 1)2(x - - 2)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
D = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Giải: Ta có: 
D = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15
 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15
Đặt : y = (x2 + 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành :
 D = y(y + 8) + 15
 = y2 + 8y + 15
 = y2 + 3y + 5y + 15
 = y(y + 3) + 5(y + 3)
 = ( y + 3)(y + 5)
Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta được :
D = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)
 = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12)
 = (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))
 = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m
Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành :
A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)
Bằng cách biến đổi tương tự như bài 5, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử.
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
E = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
Giải: Giả sử x , ta viết đa thức dưới dạng :
E = x2((x2 + ) + 6( x - ) + 7 )
Đặt y = x - thì x2 + = y2 + 2
Do đó : E = x2(y2 + 2 + 6y + 7)
	 	= x2( y + 3)2 
	 	= (xy + 3x) 2 
Thay y = x - , ta được 
E = 
 = (x2 + 3x – 1)2 
Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0
Nhận xét : 
Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = a0x2n + a1xn – 1 +.+ an – 1xn – 1 +anxn + an – 1xn – 1 + ..+ a1x + a0 
Bằng cách đưa xn làm nhân tử của A, hay :
A = xn(a0xn + a1xn – 1 + .+ an – 1x + an + +..+ + 
Sau đó đặt y = x + ta sẽ phân tích được A thành nhân tử một cách dễ dàng như bài tập trên.
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12
Giải: Ta có: F = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12
 	 = (x + y)2 – (x + y) – 12 
- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành :
 F = X2 – X – 12
 = X2 - 16 – X + 4
 = (X + 4)(X - 4) - (X - 4)
 = (X - 4)(X + 4 - 1)
 = (X - 4)(X + 3) (1)
- Thay X = x + y vào (1) ta được :
F = (x + y – 4)( x + y + 3)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
G = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2
Giải: G = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 
Đặt : 	x2 + y2 + z2 = a
xy + yz + zx = b
 	( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b
Đa thức A trở thành :
G = a(a + 2b) + b2 
 = a2 + 2ab + b2 
 = (a + b)2 (*)
Thay : a = x2 + y2 + z2 
 b = xy + yz + zx vào (*) ta được :
	G = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2
6. Phương pháp tách hạng tử; thêm bớt hạng tử
	Phương pháp tách; thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2 – 6x + 5
Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau:
Cách 1: A = x2 – 6x + 5
 	= x2 – x – 5x + 5
 	 	 = x(x – 1) – 5(x – 1)
 	= (x – 1)(x – 5)
Cách 2 : A = x2 – 6x + 5
 = (x2 - 2x + 1) – 4x + 4
 = (x – 1)2 – 4(x – 1)
 = (x – 1)(x – 1 - 4)
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 3 : A = x2 – 6x + 5
 = (x2 – 6x + 9) – 4
 = (x – 3)2 – 4
 = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 4 : A = x2 – 6x + 5
 = (x2 – 1) – 6x + 6
 = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)
 = (x – 1)( x + 1 – 6)
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 5 : A = x2 – 6x + 5
 = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2
 = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1)
 = 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1))
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 6 : A = x2 – 6x + 5
 = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4
 = (x – 1)2 – 4x(x – 1)
 = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x))
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 7 : A = x2 – 6x + 5
 = (6x2 – 6x) – 5x2 + 5
 = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1)
 = (x – 1)(6x – 5(x + 1))
 = (x – 1)(x – 5)
Cách 8 : A = x2 – 6x + 5
 	Đặt f(x) = x2 – 6x + 5
Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho 
(x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5). Vậy
A = (x – 1)(x – 5)
Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c0) bằng phương pháp tách số hạng ta làm như sau :
Bước 1 : lấy tích a.c = t
Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qi
Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b
Bước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c
Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc.
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x4 + 2x2 - 3
Giải:
Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3
 = x4 – x2+ 3x2 – 3
 = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)
 = (x2 – 1) (x2 + 3)
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 2: B = x4 + 2x2 - 3
 = x4 + 3x2 – x2– 3
 = x2(x2 + 3) - (x2 + 3)
 = (x2 + 3)(x2 – 1) 
 = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 3 : B = x4 + 2x2 - 3
 = (x4 ) + 2x2 – 1 – 2
 = (x4 – 1) + 2x2– 2
 = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1)
 = (x2 – 1)(x2 + 3)
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 4 : B = x4 + 2x2 - 3
 = (x4 + 2x2 + 1) - 4
 = (x2 + 1)2 – 4
 = (x2 + 1)2 – 22 
 = (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2)
 = (x2 – 1) (x2 + 3)
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 5 : B = x4 + 2x2 - 3
 = (x4 – 9) + 2x2 + 6
 = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3)
 = (x2 + 3)( x2 - 3 + 2)
 = (x2 + 3)(x2 – 1)
 = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 6 : B = x4 + 2x2 - 3
 = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2
 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1)
 = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1)
 = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2)
 = (x2 – 1) (x2 + 3)
 = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
 	C = x4 + x2 + 1
Giải:
Cách 1 : C = x4 + x2 + 1
 = (x4 + 2x2 + 1) - x2
 = (x2 + 1)2 - x2
 = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Cách 2 : C = x4 + x2 + 1
 = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
 = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Cách 3 : C = x4 + x2 + 1
 = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1)
 = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
D = 5x2 + 6xy + y2
Giải: 
Cách 1 : D = 5x2 + 6xy + y2
 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2)
 = 5x(x + y) + y(x + y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 2 : D = 5x2 + 6xy + y2
 = (6x2 + 6xy) – (x2 - y2)
 = 6x(x + y) – (x – y)(x + y)
 = (x + y)(6x – x + y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 3 : D = 5x2 + 6xy + y2
 = (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 )
 = 4x(x + y) + (x + y)2 
 = (x + y)(4x + x + y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 4 : D = 5x2 + 6xy + y2	
 = (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 )
 = 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 )
 = (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 5 : D = 5x2 + 6xy + y2	
 = (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2)
 = 5(x + y)2 – 4y(x + y)
 = (x + y)(5(x + y) – 4y))
 = (x + y)(5x + y)
Cách 6 : D = 5x2 + 6xy + y2	
 = (5x2 - 5y2) + (6xy + y2)
 = 5(x2 – y2) + 6y(x + y)
 = 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y)
 = (x + y)(5x – 5y + 6y)
 = (x + y)(5x + y)
Cách 7 : D = 5x2 + 6xy + y2	
 = (9x2 + 6xy + y2) – 4x2
 =(3x + y)2 – 4x2
 = (3x + y – 2x)(3x + y + 2x)
 = (x + y)(5x + y)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
E = x4 + x2y2 + y4
Giải:
Ta có : E = x4 + x2y2 + y4
 = (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2
 = (x2 + y2)2 – (xy)2
 = (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
Giải: Ta có : F = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
 	= x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x
 	= (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1))
	= (x2 – x + 1)(2x2 + 2)
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x4 + 81
Giải: Ta có : P = 4x4 + 81
 	= 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2
 	= (2x2 + 9)2 – (6x)2
 	=(2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
Giải: Ta có : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
 	= 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5
 	= x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)
 	= (3x – 1)(x2 – 2x + 5)
 Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x3 – x2 – x - 2
Giải: Ta có : M = x3 – x2 – x - 2
 	= x3 – 1 – (x2 + x + 1)
 	= (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1)
 	= (x2 + x + 1)(x – 1 – 1)
 	= (x2 + x + 1)(x – 2)
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
H = x3 – 6x2 – x + 30
Giải: Ta có : H = x3 – 6x2 – x + 30
 	= x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30
 	= x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2)
 	= (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1)
 	= (x + 2)((x – 4)2 – 1))
 	= (x + 2)(x – 4 – 1)(x – 4 + 1)
 	= (x + 2)(x – 5)(x – 3)
7. Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính được các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phương trình sơ cấp.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :
Xét bd = 3 với b, d , b với b = 3; d = 1
Hệ điều kiện trở thành :
Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, do đó c = - 4 , a = -2
 	Vậy A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
 = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
B = ( ax + by + c )( dx + ey + g )
 = adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg
 = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg
 = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :
Vậy C = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
 = ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = x4 – 8x + 63
Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng :
C = x4 – 8x + 63
 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
 = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức ta được hệ điều kiện: 
 Vậy : C = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9)
8. Phương pháp xét giá trị riêng
Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt” thì có thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh. Trong phương pháp này ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 1: Phân t