Báo cáo biện pháp Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy số, dãy phân số viết theo quy luật

MỤC LỤC:
PHẦN THỨ NHẤT – ĐẶT VẤN ĐỀ
 	Toán học là một trong những môn học về khoa học tự nhiên. Trong các môn học ở trường THCS, môn Toán có vị trí rất quan trọng. Các kiến thức, kỹ năng của môn Toán ở THCS cũng được ứng dụng nhiều trong cuộc sống và trong các môn học khác.
Chuyên đề về dãy số, dãy phân số viết theo quy luật là một bộ phận của chương trình môn Toán cấp THCS. Thông qua các hoạt động dạy học toán tạo cơ hội phát triển năng lực trừu tượng hoá, khái quát hoá trong học Toán; đồng thời tiếp tục phát triển khả năng diễn đạt của học sinh theo mục tiêu của môn Toán ở THCS.
Tuy nhiên qua nhiều năm giảng dạy môn Toán tôi nhận thấy các em thường hay gặp nhiều khó khăn trong việc tìm dãy số, dãy phân số viết theo quy luật của một biểu thức trong đó việc vận dụng các hằng đẳng thức các em làm sai rất nhiều mà chuyên đề dãy số, dãy phân số viết theo quy luật là cơ sở để các em học tiếp các chuyên đề chứng minh bất đẳng thức dãy . Xuất phát từ những lí do trên để giúp học sinh học tốt môn toán tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy số, dãy phân số viết theo quy luật ”. Qua đó để có thể học hỏi, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp để nâng cao trình độ chuyên môn của bản thân
PHẦN THỨ HAI – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1)CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Muèn n©ng cao chÊt l­îng d¹y båi d­ìng häc sinh giái to¸n th× tr­íc hÕt ph¶i x©y dùng ®­îc mét néi dung hîp lý, khoa häc vµ nh÷ng ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y phï hîp, ph¸t triÓn ®­îc kh¶ n¨ng t­ duy linh ho¹t, s¸ng t¹o cña häc sinh.
	Qua thùc tÕ tham gia d¹y båi d­ìng häc sinh líp 6 cña tr­êng t«i thÊy ®­îc thùc tr¹ng viÖc d¹y häc vµ gi¶i to¸n n©ng cao cña gi¸o viªn vµ häc sinh cßn nhiÒu vÊn ®Ò ph¶i quan t©m. §ã lµ: Néi dung d¹y båi d­ìng häc sinh giái ch­a ®¶m b¶o logic, gi¸o viªn khi nghiªn cøu tµi liÖu tham kh¶o thÊy bµi nµo hay th× chän ®Ó d¹y cho häc sinh chø ch­a ph©n ®­îc d¹ng, lo¹i trong mçi m¹ch kiÕn thøc. VÒ ph­¬ng ph¸p d¹y gi¶i c¸c bµi to¸n n©ng cao ch­a hîp lÝ, cã nh÷ng ph­¬ng ph¸p gi¶i ch­a phï hîp víi ®Æc ®iÓm t©m lý vµ kh¶ n¨ng tiÕp thu cña häc sinh; vÒ phÝa chuyªn m«n ch­a cã tµi liÖu chØ ®¹o cô thÓ vÒ néi dung vµ ph­¬ng ph¸p d¹y båi d­ìng häc sinh giái To¸n ®Ó gi¸o viªn lÊy ®ã lµm c¬ së. Häc sinh ch­a cã mét ph­¬ng ph¸p t­ duy logic ®Ó gi¶i quyÕt c¸c d¹ng bµi tËp nhÊt lµ c¸c bµi tËp vÒ d·y sè, dãy phân số viết theo quy luật... ChÝnh v× vËy, chÊt l­îng d¹y båi d­ìng häc sinh giái ch­a cao.
	§Ó tõng b­íc n©ng cao chÊt l­îng båi d­ìng häc sinh giái, t«i ®· chän ®Ò tµi :” Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy số, dãy phân số viết theo quy luật“
2)THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
 	Ngay từ đầu tháng 9 tôi đã tiến hành khảo sát học sinh chất lượng môn toán
để chọn ra một số học sinh khá giỏi đủ tiêu chuẩn cho các em vào đội tuyển bồi dưỡng học sinh giỏi.
Tổng số học sinh: 80 học sinh
Kết quả đạt được: 
Điểm giỏi: 20 học sinh chiếm 25%
Điểm khá: 30 em chiếm 37,5%
Điểm trung bình: 20 em chiếm 25%
Điểm yếu, kém: 10 em chiếm 12,5%
Kết quả trên trung bình là: 87,5 % 
Căn cứ vào kết quả bài khảo sát của học sinh và tình hình thực tế tôi nhận thấy có những thuận lợi và khó khăn sau.
Thuận lợi:
Cơ sở vật chất và đồ dùng dạy học của nhà trường khá đầy đủ.
Học sinh có đầy đủ sách giáo khoa và đồ dùng học tập.
Nhà trường luôn tích cực trong những hoạt động nâng cao chất lượng.
Tập thể giáo viên đoàn kết có tinh thần tương trợ lẫn nhau.
Đa số học sinh có ý thức học tập tích cực
Phụ huynh học sinh luôn quan tâm ủng hộ việc học tập của con em mình.
Khó khăn
Do ảnh hưởng của môi trường xã hội nên một số học sinh còn mải chơi chưa chịu khó học tập, gặp một dạng khó là các em dễ bị nản, dễ có tâm lý lười suy nghĩ, lười vận động
3) BIỆN PHÁP, GIẢI PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Bước 1: Tiến hành khảo sát.
Bước 2: Đưa ra các kiến thức vận dụng. 
Bước 3: Phân loại các dạng toán.
Hướng dẫn phương pháp giải
Xác định những sai lầm thường gặp
Đưa ra lời giải đúng
Khai thác bài toán dưới một dạng khác
Tổng quát hóa bài toán
Kiến thức vận dụng
1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số:
 - Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)
 - Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu.
 - Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
2. Các phép tính của phân số:
 a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu:
 (M0)
 (M0, AB)
 b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:
 - Quy đồng mẫu các phân số.
 - Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung. 
 c. Nhân các phân số: (B, D0)
 d. Chia 2 phân số: (B, C, D0)
3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số:
 a. Tính chất giao hoán:
 - Phép cộng: (b, d0)
 - Phép nhân: (b, d0)
 b. Tính chất kết hợp :
 - Phép cộng : (b, d, n0)
 - Phép nhân: (b, d, n0)
 c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép công (trừ):
 (b, d, n0)
4. Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b
Tính chất:
 - Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c thì a > c
 - Tính chất đơn điệu của phép cộng:
 Nếu a > b thì a + c > b + c
 - Tính chất đơn điệu của phép nhân:
Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0)
 - Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều:
 Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d
 5. Một số tính chất của bất đẳng thức:
a. 
b. 
c. 
d. 
Dạng 1: Tính tổng của các dãy số viết theo quy luật.
Ví dụ 1: Tính tổng 
Hướng dẫn:
Ta thấy số đầu cộng số cuối = 101 tương tự ta có số thứ 2 cộng số cuối 101...
Mà từ 1 đến 100 có 100 số vậy có 50 cặp có tổng 101 
Tổng quát: 
Ví dụ 2: Tính tổng 
Sai lầm thường gặp: 
Lời giải đúng:
Ta thấy tổng trên có số hạng
Ta thấy số đầu cộng số cuối = 102 tương tự ta có số thứ 2 cộng số cuối 102...
Mà từ 2 đến 100 có 50 số vậy có 25 cặp có tổng 102 
Ví dụ 3: Tính tổng 
Làm tương tự ví dụ 2 ta có
Dạng 2: Dạng bài toán tính tổng của các tích, tổng của các lũy thừa
Ví dụ 1: Tính tổng: 
HDG:
Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 3 ta cã thÓ khai th¸c d­íi mét d¹ng kh¸c nh­ sau:
Bài 1: Tính tổng
Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 3 ta cã thÓ khai th¸c d­íi mét d¹ng kh¸c nh­ sau:
Bài 2: Tính tổng
Hướng dẫn giải
Sử dụng (n-1)n(n+1)=
(n-1)n(n+1)
Ví dụ 2: Tính tổng: 
A=1.3+.3.5+5.7+.....+97.99
Hướng dẫn giải:
6A=1.3.6+3.5.6+5.7.6++97.98.6
=1.3.(5+1)+3.5(7-1)+5.7.(9-3)+.....+97.99.(101-95)
=3+1.3.5+3.5.7-1.3.5+3.5.7-5.7.9+.....+97.99.101
=3+97.99.101
A=161651
Tõ kÕt qu¶ cña ví dụ 2 ta cã thÓ khai th¸c d­íi mét d¹ng kh¸c nh­ sau:
Bài 1: Tính tổng: A= 1.3.5+3.5.7+5.7.9+.......+95.97.99
8A= 1.3.5.8+3.5.7.8+5.7.9.8+......+95.97.99.8
=1.3.5(7+1)+3.5.7(9-1)+5.7.9(11-3)+......+95.97.99(101-93)
A=11517600
Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 1 ta cã thÓ khai th¸c d­íi mét d¹ng kh¸c nh­ sau:
Bài 2: Tính tổng: A=
Sử dụng (n-2)n(n+2)=n
A=1+1.3.5+4.3+3.5.7+4.5+..+97.99.101+4.99
=1+(1.3.5+3.5.7++97.99.101)+4(3+5+7+.+99)
=12497500
Ví dụ 3: Tính tổng: 
TÝnh tæng: G= 3 + 32 + 33 + 34.....+32008
Lêi gi¶i: 
 3G = 32 + 33 + 34 +35.....+32009
2G = 3G – G = (32 + 33 + 34 +35.....+32009) – (3 + 32 + 33 + 34.....+32008)
 = 32009 – 3
 G= 
Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n 1 thµnh bµi to¸n sau:
TÝnh tæng: 
 G= a + a2 + a3 + a4++an (víi mäi a vµ n lµ sè nguyªn d­¬ng a 1)
Lêi gi¶i: 
 aG = a2 + a3 + a4 +a5+...+an
(a-1)G = aG – G = (a2 + a3 + a4 +a5+...+an+1) –( a + a2 + a3 + a4+....+an)
 = an+1 – a
 G= 
Tõ kÕt qu¶ cña Ví dụ 3 ta cã thÓ khai th¸c d­íi mét d¹ng kh¸c nh­ sau:
Bài 1 : Tính tổng 
 B= 2100-299+298-297+..+22
 Suy ra 2B = 2101-2100+299-298++23-22suy ra 
 2B+B= 2101-2
 3B = 2( 2100-1)
 Suy ra B = 2(2100-1)/3
Dạng 3: Dạng bài toán khử liên tiếp
Ví dụ 1:
Tính tổng
A = .
Ta cã: ; ; ; ;
VËy A = 1+
Tõ kÕt qu¶ cña Ví dụ 1:ta cã thÓ khai th¸c d­íi mét d¹ng kh¸c nh­ sau:
Tính tổng
Sai lầm thường gặp:
Lời giải đúng
 Bài toán tương tự 
Tính tổng: 
Tõ kÕt qu¶ cña các ví dụ trên ta cã thÓ khai th¸c d­íi mét d¹ng kh¸c nh­ sau:
Bài 1: CMR: 
HDG:
VT=
Bài 2: cho biểu thức
HDG:
= 
Ví dụ 2:TÝnh tæng
 H = 
Ta cã thÓ tÝnh tæng H theo bµi to¸n 2 b»ng c¸ch ®Æt th× 
 H = a + a2 + a3 + a4++a2008
 Tuy vËy ta cßn cã c¸ch kh¸c phï hîp h¬n:
 5.H =
 4H=5H –H = () –()
 = 1-=
 H = 
Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n 3 thµnh bµi to¸n sau:
TÝnh tæng
 H = (víi mäi a vµ n lµ sè nguyªn d­¬ng a 1)
Bµi gi¶i:
 a.H= 
(a-1)H = aH – H = () – ()
 =1- =
 H = 
Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 3 ta cã thÓ khai th¸c d­íi mét d¹ng kh¸c nh­ sau:
Ví dụ 6 : Tính tổng 
 B= 2100-299+298-297+..+22
 Suy ra 2B = 2101-2100+299-298++23-22suy ra 
 2B+B= 2101-2
 3B = 2( 2100-1)
 Suy ra B = 2(2100-1)/3
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức tử và mẫu có chứa dãy viết theo quy luật
Ví dụ 1:	Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
	A= 
 B = 1+
Hướng dẫn giải
	A = 
 = 	 (1)
Mµ: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008
= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005	(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã:
A = 
b) A = 1+ =
= 1+ 
= = 115.
Ví dụ 2:: Tính giá trị của biểu thức:	
a) . 
 b) .
Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia: 
Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.
b) Biến đổi số chia: 
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy .
Dạng 5: Chứng minh tổng của các dãy viết theo quy luật chia hết cho 1 số
Ví dụ 1: Tổng: 
a. bằng phân số a/b cmr a chia hết cho 149
b. cho 
CM A chia hết cho 99
c. Bằng phân số a/b CMR a chia hết cho 97
HDG:
a.
K là mẫu chung thì thừa số phụ các mẫu là 
Tử chia hết cho số nguyên tố 149 còn mẫu không chứa thừa số nguyên tố 149 khi rút gọn phân số đến tối giản a vẫn chia hết cho 149
4) HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN
Sau khi nghiên cứu và xây dựng nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi THCS, cụ thể là trong những giờ học nỗ lực của thầy và trò, các em đã có những tiến bộ rõ rệt, các em đã tự tin hơn, chăm chỉ hơn và chắc chắn hơn về kiến thức cơ bản, kĩ năng giải bài tập, khả năng lập luận, suy luận đảm bảo có tính hệ thống chặt chẽ hơn, vận dụng được vào thực tiễn. Cùng với sự trợ giúp của các đồng nghiệp nên việc áp dụng của tôi đạt hiệu quả tương đối tốt được thể hiện qua bài khảo sát chuyên đề.
Tổng số học sinh tham gia khảo sát: 20 học sinh. Đạt 20 học sinh. 
PHẦN THỨ BA – KẾT LUẬN
Qua thực tế nghiên cứu và giảng dạy môn toán và giảng dạy về các bài toán “Dãy số viết theo quy luật” trong trường THCS, bằng những kinh nghiệm của bản thân và đồng nghiệm với mục đính xây dựng một phương pháp giảng dạy, tôi đã thể hiện vấn đề này qua đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy số, dãy phân số viết theo quy luật” nhằm thể hiện phương pháp giảng dạy cho giáo viên và nâng cao chất lượng học tập nhận thức của học sinh. 
Trong nội dung của đề tài này tôi đã đưa ra các dạng bài toán “Dãy số, dãy phân số viết theo quy luật”, phương pháp tìm lời giảng của từng bài toán để đưa ra cách giải cụ thể cho từng bài để có một bài toán tổng quát cho từng dạng bài.
Qua đề tài này tôi muốn đưa đến cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm tòi lời giải một bài toán trên cơ sở kiến thức đã được học. Đề tài này nhằm nối giữa lý thuyết với thực hành toán học. 
Mỗi bài toán tôi đưa ra:
 - Phương pháp tìm lời giải
 - Các sai lầm thường gặp
 - Cách giải
 - Bài toán tổng quát
Từ cách đưa ra như thế này, giáo viên, học sinh có thể nhận dạng bài toán thật dễ dàng nếu nhanh có thể đọc được ngay đáp số với những bài toán thuộc quy luật.
Trên đây là toàn bộ phần trình bày nội dung của đề tài. Mong rằng những vấn đề được đề cập đến trong đề tài này ít nhiều góp phần vào việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
– & —
- Sách giáo khoa toán 6, 7, 8, 9 - Nhà Xuất bản Giáo
- Nâng cao và phát triển toán 6, 7, 8, 9 - Nhà xuất bản Giáo dục
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Trần Thị Vân Anh