SKKN Rèn luyện một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số nhằm nâng cao chất lượng đại trà trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia

x)
đổi dấu liên tiếp khi x đi qua ba nghiệm
nàyÞ f ba cực trị.
Một số công thức áp dụng giải toán cực trị hàm số
f có một cực trị Û ab ³ 0 .
f có ba cực trị Û ab < 0 .

f (x) = ax4 + bx2 + c(a ¹ 0)
í
f có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu Û ìa > 0 .
îb ³ 0
í
f có đúng một cực trị và cực trị là cực đại Û ìa < 0 .
îb £ 0
í
f có hai cực tiểu và một cực đại Û ìa > 0 .
îb < 0
í
f có một cực tiểu và hai cực đại Û ìa < 0 .
îb > 0
f có ba cực trị Û ab < 0 .
é x = 0
Khi đó
y¢ = 0 Û ê
-b
2a
ê
ê x =± 
ë

ab2	b2

-b2 + 4ac	D
Với
x = 0 Þ y = c	và
x = ±	Þ y =	-	+ c =	= -	với
-b
2a
D = b2 - 4ac .
4a2	2a
4a	4a
Vậy	đồ	thị	hàm	số	có	ba	điểm	cực	trị	là
b
2a
æ
A(0;c), B -	;- D ö,C æ
;- D ö .
ç	4a ÷	ç
4a ÷
b
2a
b4
16a2	2a
b
b
2a
è	ø	è	ø
Tính được
AB = AC =
; BC = 2	.
Ví dụ 1: Hàm số
y = x3 + mx + 2
có cả cực đại và cực tiểu khi.
A. m < 0 .	B.
m > 0.	C.
Lời giải
m ³ 0 .	D.
m £ 0 .
y¢ = 3x2 + m . Hàm số
y = x3 + mx + 2
có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi
y¢ = 0
có hai nghiệm phân biệt. Vậy
m < 0 . Chọn A
Ví dụ 2: Cho hàm số cực trị?
y = (m - 2) x3 - mx - 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có
A. 0 < m < 2.	B.
Tập xác định D = .
m <1.	C.
Lời giải
m > 2 Ú m < 0 .	D.
m >1.
Tính
y¢ = 3(m - 2) x2 - m . Cho
y¢ = 0 Û 3(m - 2) x2 - m = 0
(1) .
+ TH1: Xét
+ TH2: Xét
m = 2 Þ y¢ = -2 < 0 "x
m ¹ 2
nên hàm số đã cho không có cực trị.
Hàm số có cực trị khi
D¢ > 0 Û m(m - 2) > 0 Û ém > 2 .
êm < 0
ë
Vậy
m > 2 Ú m < 0 . Chọn C.
Ví	dụ	3:	Xác	định	các	giá	trị	của	tham	số	m để	đồ	thị	hàm	số
y = mx4 + m2x2 + 2022 có 3 điểm cực trị?
A. m 0.
C. "mÎ
\{0}.	D. Không tồn tại giá trị của m .
Lời giải
Tập xác định D = .
Tính
y¢ = 4mx3 - 2xm2 .
Để hàm số có 3 điểm cực trị khi
ìa ¹ 0
ía.b < 0
ìm ¹ 0
Û
í-8m3 < 0

Û m > 0 .Chọn B.
î	î
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0
Điều kiện để hàm số
y = f (x) đạt cực trị tại x0 :
+ x là điểm cực đại
Û ì y '(x0 ) = 0
0	í y ''(x
) < 0
î	0
+ x là điểm cực tiểu
Û ì y '(x0 ) = 0
0	í y ''(x
) > 0
î	0
Ví dụ 1: Cho hàm số
y = 1 x3 - (m +1) x2 + (m2 + 2m)x +1

( m là tham số). Tìm
3
tất cả tham số thực m để hàm số đạt cực tiểu tại
x = 2.
A. m =1.	B.
m = 0.	C.
Lời giải
m = 2 .	D.
m = 3 .
Tập xác định D = .
Tính
y¢ = x2 – 2(m +1) x + m2 + 2m;
y ¢ = 2x – 2m - 2 .
Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
x = 2 Þ
ìï y¢(2) = 0
ïî
í y¢¢(2) > 0
Û ìm2 - 2m = 0
í2 - 2m > 0
î
ìém = 0 (n)
íë
Û ïêm = 2 (l) .
î
ïm < 1
Vậy
m = 0 là giá trị cần tìm. Chọn B.
Ví	dụ	2:	Với	giá	trị	nào	của	tham	số	m	thì	hàm	số
y = 2(m2 - 3)sin x - 2msin 2x + 3m -1 đạt cực đại tại
A. Không tồn tại giá trị m .	B.
x = p .
3
m =1.
C. m = -3
D.
Lời giải
m = -3, m =1.
Tập xác định D = .
Tính
y¢ = 2(m2 - 3)cos x - 4mcos 2x ;
y¢¢ = 2(3 - m2 )sin x + 8msin 2x .
Để hàm số đã cho đạt cực đại tại
ì	æ p ö
x = p
3

ta có

ïë
ìém = -3 (n)
ï	3
y¢ç	÷ = 0
ï	è	ø
ìm2 - 3 + 2m = 0
ï
Û
ïêm = 1 (l)
Û	.
í	æ p ö
í 3 (3 - m2 ) + 4m	< 0
íém < 2 -
3
7
ï y¢¢ç	÷ < 0	ïî	ïê
7
î
îï	è 3 ø
ïêëm > 2 +
Vậy
m = -3 là giá trị cần tìm. Chọn C.
Ví dụ 3: Tìm tất cả tham số thực m để hàm số
y = (m -1) x4 - (m2 - 2)x2 + 2022
đạt cực tiểu tại
x = -1.
A. m = -2 .	B.
m =1.	C.
Lời giải
m = 2 .	D.
m = 0.
Tập xác định D = .
Tính
y¢ = 4(m -1) x3 – 2(m2 - 2)x ;
y¢¢ =12(m -1) x2 – 2m2 + 4 .
î
ìï y¢(-1) = 0
Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
x = -1Þ íï y¢¢(-1) > 0
ìï2m2 - 4m = 0

ìém = 2 (n)
ïê
5
5
î	ï
Û íï-2m2 + 12m - 8 > 0 Û íëm = 0 (l)	.
î3 -	< m < 3 +
Vậy
m = 2
là giá trị cần tìm. Chọn C.
Ngoài ra trong quá trình dạy học tôi hố trợ các e cách giải máy tính CASIO tìm cực trị, nên các e có thể rút ngắn thời gian trong giải bài toán trắc nghiệm
Dạng 4. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Cực trị của hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0)
Bài toán 1: Tìm điều kiện cuả tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn hệ thức cho trước.
Phương pháp:
Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.
Phân tích hệ thức để áp dụng Vi-et cho phương trình bậc hai.
Ví dụ 1: Cho hàm số
y = x3 - 3(m +1) x2 + 9x - 2m2 +1(C ) . Tìm giá trị của m để
đồ thị hàm số (C) có cực đại, cực tiểu tại
x1, x2
sao cho
x1 - x2 = 2
m =1

m = -3
ém = 1
ë
C. êm = -3

D. mÎÆ
Lời giải
Cách tự luận:
Ta có
y ' = 0 Û x2 - 2(m +1) x + 3 = 0 . ĐK có 2 điểm cực trị
D' = (m +1)2 - 3 > 0
Khi đó
ìïx1 + x2 = 2(m +1) Þ ( x
- x )2 = 4 Û ( x
+ x )2 - 4x x
= 4(m + 1)2 - 4.3 = 4 Û ém = 1
íxx = 3
1	2	1	2	1 2
êm = -3
îï 1 2	ë
. Chọn C
Cách TN:: Tính đạo hàm và thay các giá trị của m vào thử trực tiếp.
Ví dụ 2: Cho hàm số
y = 1 x3 - 1 mx2 + m2 - 3 x (C ) . Tìm giá trị của m để đồ thị
(	)
1	2
3	2
hàm số (C) có cực đại, cực tiểu tại
x1, x2 sao cho
x2 + x2 = 6
m = 0

m =1
ém = 0
ë
êm = 1

mÎÆ
Lời giải
HD: Ta có y ' = x2 - mx + m2 - 3. ĐK có 2 cực trị
D = m2 - 4(m2 - 3) = 12 - 3m2 > 0
Khi đó
ìx1 + x2 = m
Þ x2 + x2 = m2 - 2(m2 - 3) = 6 - m2 = 6 Û m = 0(t / m).
íx x
= m2 - 3	1	2
î 1 2
Chọn A
Cách TN: Tính đạo hàm và thay các giá trị của m vào thử trực tiếp.
Ví dụ 3: Cho hàm số
y = 4x3 + mx2 - 3x +1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
có hai điểm cực trị
x1, x2
thỏa
x1 = -2x2
A. m =± 3 2
2
B. m =	C.
m =- 3 2
2
D. Không có giá trị của m.
3 2
2
Lời giải
Cách TL:
Ta có
y ' =12x2 + 2mx - 3. ĐK có 2 cực trị là:
D' = m2 + 36 > 0
-1 2
ìx + x = -m
ï 1	2	6
éx = 1 ; x =
ï	-1
ê 2	2	1	3
2
2
GT Û ïx x =
. Û ê
Þ m = 6( x
+ x ) = ±
. Chọn A
2
2
í 1 2	4
ê	-1	1	1	2
ï
x = -2x
êx =	; x =
ï 1	2
îï
ë 1	2	2
Cách TN:
+ Tính đạo hàm y'
+Thay giá trị của m vào y' và kiểm tra
Bài toán 2: Tìm điều kiện cuả tham số để hàm số có cực trị thuộc các khoảng cho trước.
Phương pháp:
-Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.
Áp dụng bài toán so sánh một số với các nghiệm của tam thức viết hệ thức theo hai nghiệm: x1 ; x2
Áp dụng vi-et tìm giá trị của m.
Các bài toán so sánh một sốa với các nghiệm x1 ;x2 của tam thức bậc hai
* x1 < a < x2 Û ( x1 - a )( x2 - a ) < 0
*a < x < x
Û ìï( x1 - a )( x2 - a ) > 0
1	2	íx + x
2a
îï 1	2
Ví dụ:
ìï( x1 - a )( x2 - a ) > 0
* x1 < x2 < a Û í
ïîx1 + x2 < 2a
Ví dụ 1: Cho hàm số
y = x3 + (1- 2m)x2 + (2 - m)x + m + 2
(m là tham số). Gọi
x1, x2
là hai điểm cực trị của hàm số. Tìm m để
x1 <1 < x2 .
m < -4
m > -4
m ³ -4
m £ -4
y' = 3x2 + 2(1- 2m) x+ 2 - m = g(x)
Lời giải
YCBT Û Phương trình
y' =0 có hai nghiệm phân biệt
x1, x2 thỏa mãn
x1 <1< x2 Û (x1 -1)(x2 -1) < 0
ìx + x
= 1 - 2m
í
Có: ï
1	2	3
2 - m
(1) Û
- m
3
- 1- 2m
3
+1 < 0 Û m < -4
ïx x =
îï 1 2	3
Cách TN: Thử m trên từng khoảng tương ứng.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx - 5, m là tham số.
Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương.
A. -3 £ m £ -2
ém < -3
ë
B. êm > -2

C. -3 < m < -2

D. mÎÆ
Lời giải
Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương
Û PT y' = 3(m+2)x2 + 6x+ m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
ìa = (m + 2) ¹ 0
ïD' = 9 - 3m(m + 2) > 0	'	2
ï	ìD = -m
- 2m + 3 > 0
ì-3 < m < -2
Û ïP =	m	> 0
Û ïm < 0
Û ïm < 0
Û -3 < m < -2
í	í	í
ï	3(m + 2)
ïm + 2 < 0
ïm < -2
ï	-3	î	î
ïS =	> 0
î	m + 2
Cách TN: Thử m trên từng khoảng tương ứng vào chức năng Mode 7 đối máy 570 vn hoặc mode8 đối máy 580 hoặc dùng chức năng tìm nghiệm thử m từng đáp án.
Ví dụ 3: Cho hàm số
y = x3 + (1- 2m)x2 + (2 - m)x + m + 2 (m là tham số) (1)
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
4
4
ém < 5	ém £ 5
A. 5 £ m £ 7 4	5
ê
B. ê
êm > 7
êë	5
C. 5 < m < 7
4	5
Lời giải
ê
D. ê
ê
êm ³ 7
ë	5
y' = 3x2 + 2(1- 2m) x+ 2 - m = g(x)
YCBT Û Phương trình y' =0 có hai nghiệm phân biệt
ìD' = 4m2 - m - 5 > 0
x1, x2 thỏa mãn x1 < x2 <1.
Û ï(x -1)(x -1) > 0	(1)
í	1	2
ïx + x < 2
î 1	2
ì	1 - 2m
ìm 5
( )	ï
ïx + x =	ï	4
ï
Có: í
1	2	3
2 - m
ï 2 - m	1 - 2m	5	7
1 Û	-	+ 1 > 0 Û	< m <
ïx x =
í	3	3	4	5
îï 1 2	3
ï
ï 2 - m - 2 < 0
îï	3
Cách TN: Thử m trên từng khoảng tương ứng.
Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị: đối xứng qua một đường thẳng cho trước, thỏa mãn dữ kiện liên quan đến diện tích hoặc khoảng cách.
* Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng qua một đường thẳng (d) cho trước:
Phương pháp:
-Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có2 điểm cực trị A,B.
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
-I là trung điểm của AB . A,B đối xứng qua (d)
Û ìD^ d
íI Î d
î
* Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số thỏa mãn dữ kiện liên quan đến diện tích hoặc khoảng cách.
Phương pháp:
-Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A,B.
Sử dụng điều kiện về khoảng cách(diện tích ) lập và giải phương trình với ẩn m.
Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số
y = x3 - 3x2 + mx có hai điểm cực trị A và B đối
xứng nhau qua đường thẳng
x - 2y - 5 = 0
m = 0
m =1 C.
m = -1
D. m = 3
Lời giải
Cách 1. ( Sử dụng công thức giải nhanh)
Áp dụng công thức giải nhanh, ta có phương trình đi qua hai điểm cực trị cần lập là
y = - 2
9a
b2 - 3ac x + d - bc với
(	)
9a
a =1;b = -3;c = m;d = 0
Suy ra:
y = - 2 [9 - 3m]x + 0 + 3m = m - 6 x + m hay y = m - 6 x + m
9	9	3	3	3	3
Do A và B đối xứng nhau qua đường thẳng
x - 2y - 5 = 0 (hay
y = 1 x - 5 )
2	2
Suy ra
m - 6 . 1 = -1 Û m = 0 . Do bài toán chỉ có một đáp số nên
3	2
m = 0thỏa mãn
Cách 2. (Giải thường)
Ta có:
y ' = 3x2 - 6x + m; y ' = 0 Û 3x2 - 6x + m = 0
(1)
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi
D