SKKN Rèn luyện khả năng tư duy thông qua giải các bài toán đếm bằng cách lập sơ đồ

 2 = 1026 tam giác
Ví dụ 5: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho 3?
Phân tích: Số cần tìm có 3 chữ số khác nhau lấy từ tập hợp
A = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} và chia hết cho 3 nên phân chia các số đó thành 3 nhóm:
nhóm các chữ số chia hết cho 3 gồm các số 3, 6, 9; nhóm các chữ số chia cho 3 dư 1 gồm các số 1, 4, 7 và nhóm các chữ số chia 3 dư 2 gồm các số 2, 5, 8. Sau đó
chọn bộ ba số từ các nhóm trên sao cho tổng các số được chọn chia hết cho 3, rồi sắp xếp ba số đã được chọn thành một số có ba chữ số.
Sơ đồ của bài toán như sau:
Chia tập hợp
Lời giải
A = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} thành ba nhóm:
Nhóm 1 các chữ số chia hết cho 3 gồm 3, 6, 9
Nhóm 2 các chữ số chia cho 3 dư 1 gồm 1, 4, 7
3	3	3
Nhóm 3 các chữ số chia cho 3 dư 2 gồm 2, 5, 8 TH1: Cả ba chữ số được chọn từ nhóm 1 có 3! số TH2: Cả ba chữ số được chọn từ nhóm 2 có 3! số TH3: Cả ba chữ số được chọn từ nhóm 3 có 3! số
3	3	3
TH4: Mỗi chữ số được chọn từ mỗi nhóm có Vậy có 3!+ 3!+ 3!+ C1.C1.C1.3! = 180 số.
C1.C1.C1.3! số
Ví dụ 6: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.
Phân tích: Công việc của bài toán là viết ra được số có 4 chữ số khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5. Do đó các số được lập phải
lấy từ tập hợp {0;1;2;3;4;5} . Số cần tìm lại phải chia hết cho 15 suy ra nó phải
đồng thời chia hết cho 3 và 5. Bởi vậy số cần tìm có dạng abc0 hoặc abc5 (a ¹ 0)
, khi đó từ dấu hiệu chia hết cho 3 ta chọn các bộ ba số a,b,c thỏa mãn yêu cầu
bài toán rồi viết ra số cần tìm. Lưu ý mỗi bộ ba số cần tìm là một hoán vị của 3 phần tử.
Sơ đồ của bài toán như sau:
a,b,c chọn được để viết ra số
Lời giải
Mỗi chữ số đều không vượt quá 5. Ta lập số từ tập hợp {0;1; 2;3; 4;5}
Số chia hết cho 15 là số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5. Do đó tận cùng nó là 0 hoặc 5.
TH1: Số cần lập có dạng

abc0
với
a;b;c Î{1; 2;3; 4;5}
Tổng
a + b + c + 0 phải chia hết cho 3 Þ a + b + c
chia hết cho 3.
Có	4	tập	hợp	{a;b;c}	có	tổng	các	phần	tử	chia	hết	cho	3:
{1;2;3};{2;3;4};{3;4;5};{1;3;5} .
Suy ra có 4.3! = 24 số
TH2: Số cần lập có dạng

abc5
với
a;b;c Î{0;1; 2;3; 4}
Tổng
a + b + c + 5 phải chia hết cho 3 Þ a + b + c
chia cho 3 dư 1.
Có	3	tập	hợp	{a;b;c}	có	tổng	các	phần	tử	chia	3	dư	1:
{0;1;3};{0;3;4};{1;2;4}. Suy ra có 2.2.2!+ 3!= 14 số.
Vậy có tất cả 24 +14 = 38số thỏa mãn đề bài.
Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp đếm phần bù.
Khi phương pháp đếm trực tiếp có nhiều phương án, nhiều công đoạn phức tạp thì người ta có thể sử dụng phương pháp đếm phần bù, nghĩa là bỏ bớt đi một
giả thiết quan trọng ( P ) nào đó gây ra sự phức tạp.
Cơ sở của phương pháp đếm này là thay vì đếm số phần tử của tập A trực tiếp thì ta sẽ đếm số phần tử của tập hợp A . Cụ thể bài toán yêu cầu đếm số phương án của một công việc thỏa mãn tính chất T ta thực hiện theo các bước như sau:
Bước 1: Đếm số phương án thực hiện công việc (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta được a phương án.
Bước 2: Đếm số phương án thực hiện công việc không thỏa tính chất T ta được b phương án.
Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a - b.
Trong phương pháp này tôi sử dụng kí hiệu	này để biểu thị phương pháp đếm phần bù.
Ví dụ 1: Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Hỏi từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau?
 Phân tích: Đây là một bài toán đếm số tự nhiên, ta gọi số cần lập là
abcd (a ¹ 0). Bài toán có thể giải trực tiếp bằng cách theo quy tắc nhân, tuy nhiên
với điều kiện a ¹ 0 trong tất cả các bài toán đếm số tự nhiên thì ta có thể giải bài
toán theo phương pháp lấy phần bù đó là đếm số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán mà số 0 có thể đứng đầu và đếm số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán có số 0 đứng đầu. Phương pháp này thường dùng khi tập hợp các chữ số tự nhiên cho trước có chứa chữ số 0.
Sơ đồ của bài toán như sau:
Gọi số cần tìm là

abcd , (a ¹ 0)
Lời giải
6
Số các số tự nhiên chẵn mà số 0 có thể đứng đầu là 4.A3 số
5
Số các số tự nhiên chẵn có số 0 đứng đầu là 3.A2 số
6	5
Vậy số các số tự nhiên cần tìm là 4.A3 - 3.A2 = 420 số
Ví dụ 2: Cho đa giác lồi có 14 đỉnh. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho mà không có cạnh nào là cạnh của đa giác đó.
Phân tích: Đây là một bài toán mà nếu ta đếm trực tiếp thì phức tạp và khó thực hiện hơn nhiều khi ta đếm số tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác.
Sơ đồ của bài toán như sau:
Lời giải
14
Số tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác: C 3

tam giác
TH 1: Nếu tam giác được chọn có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác thì có 14 tam giác thỏa mãn.
TH 2: Nếu tam giác được chọn có đúng một cạnh là cạnh của đa giác thì có
14.10 = 140
tam giác thỏa mãn.
Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
C
14
3 - (14 +14.10) = 210
tam giác
Ví dụ 3: Trong đoàn tình nguyện tham gia hỗ trợ phòng chống dịch COVID-19 tại thành phố Hồ Chí Minh có sự tham gia của 7 bác sỹ tỉnh Nghệ An trong đó có 5 nam và 2 nữ; 8 bác sỹ tỉnh Hà Tĩnh trong đó có 5 nam và 3 nữ và 6 bác sỹ tỉnh Thanh Hóa trong đó có 3 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra
một nhóm gồm 4 bác sỹ đi bệnh viện Chợ Rẫy với yêu cầu phải có đủ ba tỉnh và có cả nam lẫn nữ để tham gia hỗ trợ phòng chống dịch, biết rằng bác sỹ nào cũng có thể tham gia.
Phân tích: Trước hết ta đếm trực tiếp số cách chọn nhóm có đủ ba tỉnh.
Tiếp đến để đảm bảo điều kiện có “cả nam và nữ” ta lại dùng phương pháp đếm phần bù của trường hợp cần đếm là các trường hợp “4 bác sỹ có đủ ba tỉnh toàn nam” và “4 bác sỹ có đủ ba tỉnh toàn nữ”.
Sơ đồ của bài toán như sau:
Lời giải
Để chọn ra được 4 bác sỹ có đầy đủ cả 3 tỉnh Nghệ An, Hà Tĩnh và Thanh Hóa.
7	8	6
Số cách chọn 2 bác sỹ N.An, 1 bác sỹ H.Tĩnh , 1 bác sỹ T.Hóa là: C 2.C1.C1 .
Số cách chọn 1 bác sỹ N.An, 2 bác sỹ H.Tĩnh , 1 bác sỹ T.Hóa là: Số cách chọn 1 bác sỹ N.An, 1 bác sỹ H.Tĩnh , 2 bác sỹ T.Hóa là:
C1.C 2.C1
7	8	6
7	8	6
C1.C1.C 2
7	8	6	7	8	6	7	8	6
Có C 2.C1.C1 + C1.C 2.C1 + C1.C1.C 2 = 3024 cách.
Ta chọn ra được 4 bác sỹ có đầy đủ cả 3 tỉnh mà trong đó chỉ có nam hoặc chỉ có nữ.
5	5	3	5	5	3	5	5	3
Số cách chọn chỉ có nam: C 2.C1.C1 + C1.C 2.C1 + C1.C1.C 2 = 375 cách.
2	3	3	2	3	3	2	3	3
Số cách chọn chỉ có nữ : C 2.C1.C1 + C1.C 2.C1 + C1.C1.C 2 = 45 cách.
Có 375 + 45 = 420 cách.
Vậy số cách chọn ra được 4 bác sỹ có đầy đủ cả 3 tỉnh và có cả nam lẫ nữ là:
3024 - 420 = 2604 (cách).
Ví dụ 4: Có 5 cuốn sách Toán, 2 cuốn sách Lý và 1 cuốn sách Hóa đôi một khác nhau. Xếp ngẫu nhiêu tám cuốn sách nằm ngang trên một cái kệ. Số cách sắp xếp sao cho cuốn sách Hóa không nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý.
Phân tích: Thay vì đi đếm số cách sắp xếp sao cho cuốn sách Hóa không nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý, ta đếm số cách sắp xếp để cuốn sách Hóa nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý theo kĩ thuật “buộc” các phần tử và sắp xếp. Cụ thể là xem 2 cuốn sách Lý và 1 cuốn sách Hóa là một phần tử, 5 cuốn sách Toán là năm phần tử và sắp xếp 6 phần tử, tiếp đến “mở” phần tử đã buộc và hoán vị sao cho sách Hóa nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý.
Sơ đồ của bài toán như sau:
1
Lời giải
+ Xếp ngẫu nhiên 8 cuốn sách khác nhau vào 8 vị trí ta có 8!cách.
+ Ta xem 2 sách Lý và 1 sách Hóa là 1 phần tử, 5 sách Toán là 5 phần tử thì số hoán vị 6 phần tử là 6! tiếp đến hoán vị 2 sách Lý có 2!.
Vậy số cách xếp 8 sách sao cho sách Hóa nằm giữa liền kề hai sách Lý là
6!.2! cách
+ Số cách sắp xếp 8 cuốn sách thỏa yêu cầu bài toán là: 8!- 6!.2! = 38880 cách
Ví dụ 5: Đội tình nguyện của trường THPT Nam Đàn 2 có 15 người gồm 9 học sinh nam trong đó có Long và 6 học sinh nữ trong đó có Hà. Đoàn trường cần chọn ra một nhóm 5 người tham gia Ngày chủ nhật xanh do huyện đoàn tổ chức. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam lẫn nữ đồng thời có Long hoặc Hà.
Phân tích: Trong bài này trước hết ta đếm số cách chọn 5 người có cả nam và nữ theo phương pháp đếm phần bù, tức là chọn 5 người toàn nam hoặc 5 người toàn nữ. Tiếp đến đếm 5 người có cả nam lẫn nữ và không có Long và Hà cũng theo phương pháp đếm phần bù. Đây là bài toán có thể giải bằng cách đếm trực tiếp nhưng phép tính sẽ dài hơn và phức tạp hơn.
Sơ đồ của bài toán như sau:
Lời giải
TH1: Chọn nhóm 5 người có cả nam và nữ.
15
Chọn 5 người bất kì có C 5 cách
9
Chọn 5 người toàn là nam có C 5 cách
6
Chọn 5 người toàn là nữ có C 5 cách
Suy ra số cách chọn 5 người có cả nam lẫn nữ là C5

- (C5 + C5 ) = 2871
cách
15	9	6
TH2: Chọn nhóm 5 người có cả nam và nữ, đồng thời không có mặt Long và Hà.
13
Chọn 5 người bất kì không có Long và Hà là C 5 cách
8
Chọn 5 người toàn nam và không có Long là C 5 cách
5
Chọn 5 người toàn nữ và không có Hà là C 5 cách
Suy ra số cách chọn 5 người có cả nam lẫn nữ nhưng không có Long và Hà
là C5 - (C5 + C5 ) = 1230 cách
13	8	5
Vậy số cách cần tìm là 2871-1230 =1641 cách
Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp lấy trước rồi xếp sau.
Dùng cho những bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, có mặt.Trong những dạng toán này có những điều kiện mà ta phải chọn tập hợp đối tượng thoả mãn một vài điều kiện trước rồi mới sắp xếp để đạt được kết quả sau. Cụ thể:
Bước 1: Chọn ra trước cho đủ số lượng và thỏa mãn tính chất mà bài toán yêu cầu.
Bước 2: Sắp xếp.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ?
Phân tích: Điều kiện cuả bài toán là: “ 4chữ số” “khác nhau” “khác 0” “có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ”. Điều kiện: “ 4chữ số” “khác nhau” không có gì đáng chú ý. Điều kiện “khác 0”chỉ đơn giản giúp ta không phải nghĩ đến trường hợp rắc rối khi số 0 đứng ở vị trí đầu. Điều kịên chủ chôt trong bài toán là: “có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ”. Do vậy ta cần chọn trước 2
chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ rồi xếp vị trí cho các chữ số đó.
Sơ đồ của bài toán là:
5
Gọi số cần tìm là

abcd , (a ¹ 0)
Lời giải
4
Chọn 2 chữ số chẵn khác 0