SKKN Rèn luyện khả năng định hướng tìm lời giải cho học sinh qua hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của hàm số trong Giải tích 12

5.	C. 9.	D. 11.
Lời giải
Ta có và sao cho 
Suy ra có ba nghiệm phân biệt và 	
Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và 	
Sử dụng định hướng [1.1] ta có hàm số có 11 điểm cực trị.
Ví dụ 2. Cho hàm số , hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải 
Dùng máy tính cầm tay ta bấm được phương trình có 3 nghiệm phân biệt, có đúng 1 nghiệm dương và phương trình có đúng một nghiệm dương. Áp dụng định hướng [1.4] suy ra hàm số có 5 điểm cực trị.
Ví dụ 3. Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên:
Hàm số có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị ?
 A. B. 	C. 	D. 
Lời giải
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có đúng 1 điểm cực trị dương và phương trình có 3 nghiệm phân biệt nhưng chỉ có tối đa hainghiệm dương. Áp dụng 
định hướng [1.3] suy ra hàm số có nhiều nhất 7 điểm cực trị.
Ví dụ 4. Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số 
. Gọi là tập hợp các giá trị nguyên của tham số để 
hàm số có điểm cực trị. Tổng giá trị 
tất cả các phần tử của bằng:
 A. . B. . C. .	D. .
Lời giải
Từ đồ thị của hàm số , ta có đồ thị của hàm số . Khi đó: đồ thị hàm số có được bằng cách di chuyển đồ thị lên trên hoặc xuống dưới đơn vị. Áp dụng định hướng [1.1] và lưu ý là giao của đồ thị hàm số với trục tung trùng với của hàm số. Ta có hàm số có điểm cực trị 
, suy ra . Suy ra tổng
các phần tử bằng . (, )
Ví dụ 5. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình
vẽ bên. Hàm số có bao nhiêu cực trị?
 A. .. B. . C. .	D. .
Lời giải
Nhận xét: Đồ thị của hàm số nhận đường thẳng là trục đối xứng, do đó số điểm cực trị của hàm số bằng , với là số điểm cực trị lớn hơn của hàm .
Từ nhận xét đó, kết hợp với đồ thị hàm số đã cho và định hướng [1.2]. Suy ra số điểm cực trị của hàm số là 9 điểm.
2. Định hướng tìm lời giải bài toán cực trị của hàm số dạng khi biết đồ thị hàm số hoặc bảng xét dấu của hàm số . 
 Phải khẳng định rằng đây là loại hàm số rất phức tạp, bản thân nó vừa là hàm số hợp, vừa chứa dấu giá trị tuyệt đối. Do đó khi gặp bài toán cực trị của hàm số dạng này, học sinh chưa có định hướng trước thì khó có thể giải quyết được bài toán trong khoảng thời gian ngắn. Trong mục này xuất phát từ quy tắc tìm cực trị của hàm số , kết hợp với trực quan từ việc suy đồ thị bằng phần mềm vẽ hình GeoGebra. Từ đó ta khái quát nên quy tắc tìm cực trị cho loại hàm số này. 
 a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng.
 Quy tắc I: Các bước tìm cực trị của hàm số .
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tìm . Tìm các điểm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
 b. Định hướng:
Từ quy tắc tìm cực trị của hàm số , cách suy đồ thị hàm số và phần mềm GeoGebra ta khái quát nên quy tắc tìm cực trị của hàm số như sau: - Đặt , tính .
- Tìm các nghiệm của phương trình , và các điểm tại đó đạo hàm không xác định.
- Số điểm cực trị của hàm số bằng tổng số nghiệm bội lẻ của hai phương trình và các điểm tại đó đạo hàm không xác định. (Định hướng [2])
 c. Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Hàm số có tối đa mấy điểm cực trị?
 A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Ta có .
Xét hàm số . Ta có .
. (Do là nghiệm kép). Vậy hàm số có điểm cực trị. Từ đó ta suy ra phương trình có tối đa nghiệm thực phân biệt. Do đó theo định hướng [2] hàm số 
 có tối đa điểm cực trị.
Ví dụ 2. Cho hàm số thỏa mãn và 
. Hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
 A. B. C. D. 
Lời giải
Ta có là hàm số đa thức liên tục trên ,, , , . Suy ra các kết quả , , nên theo tính chất hàm liên tục thì phương trình và ít nhất ba nghiệm và là hàm đa thức bậc ba nên phương trình sẽ có ba nghiệm. Do đó phương trình có hai điểm cực trị. Theo định hướng [2] ta có hàm số có 5 điểm cực trị.
Ví dụ 3. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên 
Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Biết và 
. Số điểm cực trị của hàm số là:
 A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Xét hàm số . Ta có .
.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ở trên ta có hàm số có điểm cực trị . Mặt khác 
, nên phương trình có nghiệm trong đó có một nghiệm kép và hai nghiệm đơn phân biệt . Từ , và định hướng [2] ta suy ra hàm số có điểm cực trị.
Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị của đạo hàm 
như hình vẽ. Tìm để hàm số có
đúng ba điểm cực trị. Biết rằng và , 
.
 A. B. C. 	D. 
Lời giải
Bảng biến thiên của hàm số 
Xét hàm số .
Ta có ; 
Ta có bảng biến thiên của hàm số :
Từ bảng biến thiên và định hướng [2] suy ra hàm số 
 có đúng ba điểm cực trị khi và 
chỉ khi 
Ví dụ 5. Cho hàm số có đồ thị như
 hình vẽ bên . Đồ thị hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
 A. . B. . C. . D. .
	Lời giải
Xét hàm số , ta có 


Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số và định hướng [2] suy ra hàm số có tối đa điểm cực trị.
3. Định hướng tìm lời giải bài toán cực trị của hàm số dạng khi biết đồ thị hàm số hoặc bảng xét dấu của hàm số . 
 Trước hết phải khẳng định rằng đây là loại hàm số rất phức tạp, bản thân nó vừa là hàm số hợp, vừa chứa dấu giá trị tuyệt đối. Do đó khi gặp bài toán cực trị của hàm số dạng này, học sinh chưa có định hướng trước thì khó có thể giải quyết được bài toán trong khoảng thời gian ngắn. Trong mục này xuất phát từ quy tắc tìm cực trị của hàm số , kết hợp với trực quan từ việc suy đồ thị bằng phần mềm vẽ hình GeoGebra. Từ đó ta khái quát nên quy tắc tìm cực trị cho loại hàm số này như sau: 
 a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng.
 Quy tắc I: Các bước tìm cực trị của hàm số .
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tìm . Tìm các điểm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
 b. Định hướng:
Từ quy tắc tìm cực trị của hàm số và cách suy đồ thị ta có thể khái quát nên quy tắc tìm cực trị của hàm số như sau: (Định hướng [3])
- Đặt , tính .
- Tìm các nghiệm của phương trình (1) hay các giá trị của mà không xác định.
- Số điểm cực trị của hàm số bằng tổng số nghiệm bội lẻ của (1) và các điểm bội lẻ tại đó đạo hàm không xác định.
 c. Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. Cho hàm số , hàm có bảng xét dấu như sau:
Tìm số giá trị nguyên của để hàm số có 3 cực trị?
 A. 5.	B. 1.	C. 0.	D. 2.
Lời giải
Áp dụng định hướng [3]. Ta có . 
 không xác định khi .
. 
Theo định hướng [3] ta có yêu cầu của bài toán và do . Vậy có 1 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2. Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên thuộc đoạn của tham số để hàm số có đúng 3 điểm cực trị. Số phần tử của tập hợp S bằng:

 A. . B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có . Áp dụng định hướng [3]
Điểm đặc biệt: hoặc không xác định 
Ta thấy là các nghiệm đơn của . 
Ta có BBT của hàm số như sau:
Để hàm số có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình (1) không có nghiệm đơn. Dựa vào BBT trên, phương trình (1) không có nghiệm đơn . Vì , suy ra . Vậy tập S có 6 phần tử.
Ví dụ 3. Xét các số thực . Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Đặt . Số điểm cực trị của hàm số là:
 A. 3. 	B. 7.	C. 4.	D. 5. 
Lời giải
Áp dụng định hướng [3].
Đặt , , 
. Ta có .
Bảng biến thiên của hàm số 
Số điểm cực trị của hàm số là 5.
Ví dụ 4. Cho hàm số có đạo hàm . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số có ít nhất 3 điểm cực trị?
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có BBT của hàm như sau
Áp dụng định hướng [3]. Ta có .
Nhận thấy không xác định tại và
 .
Để hàm số có ít nhất điểm cực trị thì phương trình 
 có ít nhất nghiệm đơn hoặc bội lẻ khác . Từ BBT ta có Vậy có 9 giá trị của thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ 5. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.
Số các giá trị nguyên của tham số để hàm số 
 có điểm cực trị là
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Đặt .
Trong đó: . Bảng biến thiên của hàm số .
Áp dụng định hướng [3]. Ta có . Do đó số điểm cực trị của hàm số chính là số các nghiệm bội lẻ của hệ sau:
Suy ra số điểm cực trị của hàm số phụ thuộc vào số giao điểm của các đường thẳng với đồ thị hàm . Mặt khác các nghiệm là các nghiệm đơn, do đó yêu cầu bài toán trở thành tìm các giá trị nguyên để các đường thẳng trên cắt đồ thị tại điểm phân biệt 
. Vậy số giá trị nguyên của bằng 0.
4. Định hướng tìm lời giải bài toán tìm tham số để hàm số có điểm cực trị.
 a. Các định hướng:
Từ cách suy đồ thị và kết hợp với quy tắc tìm cực trị của hàm số, ta rút ra các quy tắc tổng quát cho bài toán tìm tham số để hàm số có n điểm cực trị như sau :
 Cho hàm số có điểm cực trị dương.
* Nếu hàm số liên tục tại thì hàm số có có điểm cực trị. (Định hướng [4.1]) 
* Nếu hàm số không liên tục tại thì hàm số có có điểm cực trị. (Định hướng [4.2]) 
 Đồ thị của hàm số nhận đường thẳng là trục đối xứng, do đó số điểm cực trị của hàm số bằng , với là số điểm cực trị lớn hơn của hàm . (Định hướng [4.3]) 
 b. Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. 
Số điểm cực trị của hàm số là:
 A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Hàm có 2 điểm cực trị là: . Áp dụng định hướng [4.3]. Vậy: Số điểm cực trị của hàm bằng . 
Ví dụ 2. Cho hàm số . Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có 5 điểm cực trị.
 A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Ta có: . Hàm số có 5 điểm cực trị khi chỉ khi (định hướng [4.1]) hàm số có hai cực trị dương. 
.
Ví dụ 3. Cho hàm số có . Có tất cả bao nhiêu số nguyên để hàm số có 5 điềm cực tri ?
 A. 2.	B. 3.	C. 5.	D. 4.
Lời giải
Áp dụng định hướng [4.1]. Ta có hàm có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số chỉ có hai điểm cực trị dương. Khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm trái dấu và khác 1. Khi và chỉ khi Mà nên . Vậy có 3 giá trị nguyên của .
Ví dụ 4. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 3 điểm cực trị?
 A. 3.	B. 4.	C. 5.	D. 6.
Lời giải
Ta có . ( là nghiệm bội , là nghiệm bội , là nghiệm bội ) . 
Áp dụng định hướng [4.1]. 
 + Nếu thì phương trình có 2 nghiệm bội lẻ là suy 
ra hàm số có hai điểm cực trị âm. Khi đó hàm số có một điểm cực trị là nên không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
 + Nếu thì phương trình có hai nghiệm bội chẵn suy ra hàm số không có cực trị suy ra hàm số có một điể