SKKN Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán cực trị trong đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông

Qua nhiều năm đi dạy ở nhiều môi trường khác nhau, qua các tiết dự giờ, qua việc thăm dò ý kiến HS, GV, Tôi nhận thấy khả năng phát triển TDST của HS trong các trường THPT hiện nay còn dừng lại ở tư duy lối mòn, sức "ì" rất lớn. Biểu hiện là:

- Trong một tiết học gần như HS hoàn toàn phụ thuộc vào SGK, thụ động tiếp nhận kiến thức mà không phát hiện ra được những vấn đề mới.

- Phần lớn HS rất lúng túng khi GV đặt câu hỏi "vì sao?", "tại sao lại như thế này mà không phải như thế kia?", "nếu như", "giả sử".

- HS chưa biết vận dụng kiến thức được học vào xử lý linh hoạt, sáng tạo các tình huống thực tiễn.

- HS áp dụng máy móc kiến thức kĩ năng, cách giải.

- HS chưa biết và chưa có thói quen tìm ra nhiều cách giải quyết cho một vấn

đề.

- Chưa biết nhìn tổng thể, toàn diện đối với các vấn đề, chưa nhận thức được

mọi sự vật đều có mối liên hệ với nhau, để giải quyết toàn diện, đồng bộ (linh hoạt, mềm dẻo).

Thực trạng này xuất phát từ nhiều nguyên nhân, trong đó nguyên nhân chủ yếu là do ảnh hưởng của lối dạy học truyền thống, nặng về truyền thụ tri thức dẫn đến đến cách tổ chức dạy học thụ động, không phát huy được tính tích cực học tập cũng như tiềm năng TDST của HS. Trong giờ dạy, đa số GV chỉ chú ý và cố gắng giảng hết những phần nội dung đã được trình bày trong SGK, rất ít, thậm chí không đưa thêm những câu hỏi hay bài tập nhằm mở rộng, khắc sâu kiến thức hay những bài tập có tác dụng phát triển TDST cho HS. GV chưa dành thời gian thỏa đáng để HS suy nghĩ về vấn đề cần giải quyết. Nhiều GV còn không dám để HS tự do tranh luận vì sợ làm mất thời gian, không hoàn thành được bài dạy (cháy giáo án). Nhiều khi HS chưa kịp nói hết ý đã bị GV thúc giục, thậm chí bác bỏ làm cho HS không được tự tin, nhiều em còn thấy e sợ, lúng túng,. Các hoạt động trao đổi, thảo luận được tiến hành rất nhanh, rất gấp gáp, dường như cho xong việc. Cách làm này dẫn đến không kích thích được HS tích cực suy nghĩ, tìm nhiều phương án, nhiều giải pháp và giải pháp độc đáo cho vấn đề. Tức không phát huy được các yếu tố của TDST ở HS.

TDST trong môn Toán học của HS THPT cũng không nằm ngoài thực trạng chung đó. Khi thực hiện bài giải, HS chủ yếu làm theo trình tự các bước tính, trình tự thực hiện các phép tính, HS cặm cụi tính từng bước tỉ mỉ, cẩn thận mà không biết làm gộp, làm tắt các bước tính, chưa kết hợp giữa kĩ năng tính toán và suy luận vấn đề; vận dụng các tính chất của các phép tính, các phương pháp giải điển hình vào giải quyết một cách sáng tạo; Chưa biết vận dụng cách giải loại, dạng, mẫu bài toán này vào giải quyết các loại, dạng, mẫu bài toán khác (phối hợp di chuyển các thao tác TD, phương pháp suy luận)

 

docx 54 trang Nhật Nam 03/10/2024 100
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "SKKN Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán cực trị trong đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

Tóm tắt nội dung tài liệu: SKKN Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán cực trị trong đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông

SKKN Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán cực trị trong đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông
 bảng biến thiên kết luận.
Do trong khuôn khổ đề tài không cho phép nên tác giả chỉ đưa ra một bài toán minh họa. Ngoài dạng trên ta có thể đưa ra bài toán dạng sau:
- Tìm cực trị của hàm số y = f (u( x)) .
Phương pháp: Từ cực trị của hàm số
y = g(x) = f (u(x))
suy ra cực trị hàm số
y = f (u(x)) (phương pháp theo câu 1.1.a)
- Tìm điểm cực trị của hàm số y = f ( u(x) ) .
Phương pháp: Từ cực trị của hàm số
y = g(x) = f (u(x))
suy ra cực trị hàm số
y = f ( u(x) ) (phương pháp giải theo câu 1.1.b)
- Tìm điểm cực trị của hàm số y = f ( u( x) ) .
Phương pháp: Từ cực trị của hàm số
y = g(x) = f (u(x))
suy ra cực trị hàm số
y = f ( u ( x) )
(phương pháp giải theo câu 1.1.c)
Câu 1.3.c.
Đây là dạng toán tìm điểm cực trị của hàm hợp dạng Phương pháp giải tương tự câu 1.3.a và 1.3.b.
Hướng dẫn giải
y = g(x) = f (u(x)) + v(x)
Ta có
g '(x) = 2 f '(2x -1) + 8 . Khi đó
g '(x) = 0 Û f '(2x -1) = 4 (1).
Từ phương trình
f '(x) = 4 Û x2 + x - 2 = 4 Û x2 + x - 6 = 0 Û é x = 2 , suy ra phương
ê x = -3
ë
é 2x -1 = 2	é x = 3
trinh (1) Û ê	Û ê	2 .
ë
ë2x -1 = -3
ê x = -1
Dựa vào dấu
f '(x)
ta lập bảng xét dấu
g '(x) .
x
-¥

-1

3
2

+¥
g '(x)
+
0
-
0
+

tại
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số
x = 3
2
g (x)
có 2 điểm cực trị (đạt CĐ tại
x = -1 , CT
- Đây là dạng hàm số y = g(x) = f (u(x)) + v(x) , phương pháp giải hàm số này
tương tự phương pháp câu 1.3.a và 1.3.b. Ngoài dạng trên chúng ta có thể hướng
dẫn cho HS khai thác các dạng y = g(x) = v(x). f (u(x)); y = g(x) = v(x). f (u(x) +w(x) .
Đối với các dạng hàm số trên khi xây dựng một bài toán cần chú ý chọn
u(x), v(x), w(x)
phù hợp để việc giải phương trình
g '(x) = 0
xác định được nghiệm
(số nghiệm), tùy thuộc yêu cầu cần đặt ra.
- Chúng ta có thể đưa dấu giá trị tuyệt đối như bài 1.1 vào các hàm hợp trên
Câu 1.3.d. Hướng dẫn giải
Ta có
g¢(x) = (2x - 3) f ¢(x2 - 3x + m) . Khi đó
g '(x) = 0
Û (2x - 3) f ¢(x2 - 3x + m) = 0
é2x - 3 = 0
ê
Û ê x2 - 3x + m = -2	(2) .
êë x2 - 3x + m = 1 (3)
Dễ thấy các nghiệm của phương trình (2), (3) luôn khác nhau . Do đó, để hàm số
g(x) = f (x2 - 3x + 2m)
có 5 cực trị thì phương trình
g '(x) = 0
có 5 nghiệm đơn phân
biệt. Khi đó phương trình (2), (3) đồng thời phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 3 .
2
ìD2 > 0
ï 3
ïD > 0
nên ta có điều kiện là: ï 3 2	3
ì1- 4m > 0
ï
ï13 - 4m > 0
Û ï	1

Û m < 1 .
í( )
ï 2
– 3.	+ m + 2 ¹ 0
2
ím -	¹ 0
ï	4	4
3 2	3
ï
ï	ï	13
ï( ) - 3.	+ m -1 ¹ 0	m -	¹ 0
î 2	2	î	4
Từ bài toán trên chúng ta hướng dẫn HS xây dựng phương pháp giải.
Đây là dạng bài toán tìm tham số m để hàm số thõa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp.
y = g(x, m) = f (u(x, m))
có cực trị
B1. Lập bảng xét dấu đạo hàm B2. Tính đạo hàm hàm hợp
f '( x)
g '(x, m) = ( f (u(x, m)))' = u '(x, m). f '(u(x, m))

và tìm
nghiệm phương trình g '(x, m) = 0 (1)
B3. Tìm điều kiện m để phương trình (1) có số nghiệm đơn hoặc bội lẻ bằng số
cực trị của hàm số
g(x, m) .
Ngoài ra chúng ta có thể đưa dấu giá trị tuyệt đối vào các hàm hợp có chứa tham số. Với lưu ý khi tìm m để hàm số có điểm cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán chúng ta hướng dẫn HS chỉ cần nhớ mối liên hệ theo Quy luật (I).
Phát triển đối với hàm bậc 4 trùng phương: f (x) = ax4 + bx2 + c
Đối với hàm trùng phương việc khai thác theo các hướng hoàn toàn tương tự như Bài toán 1 (hàm bậc 3). Trong nội dung này tác giả chỉ đưa ra một số hướng khai thác mang tính đặc trưng của hàm trùng phương để HS nắm vững đặc điểm của nó.
Bài toán 2:
Cho hàm số f (x) = x4 - 2x2 - 3. Điểm cực đại của hàm số là
A. -1
B. 0	C. -3
D.4
Hướng dẫn giải:
Ta có
f ¢(x) = 4x3 - 4x = 4x(x2 -1) , Bảng biến thiên

é x = 0
ê
f ¢(x) = 0 Û ê x = -1
êë x = 1
Từ bảng biến thiên của hàm số ta suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm
x = 0 .
Hướng 1. (Chúng ta đưa dấu giá trị tuyết đối vào bài toán).
Bài toán 2.1. Tìm số điểm cực trị của hàm số
a. y =
x4 - 2x2 - 3 .	b.
y = - x4 - 2x2 - 3 .
Hướng dẫn giải:
Để giải bài toán này ta áp dụng phương pháp Câu 1.1.a.
Áp dụng cách 2 Câu 1.1.a. Với
y¢ =
f ¢(x). f (x)

f (x)
nên số điểm cực trị là số nghiệm
bội lẻ của phương trình
f ¢(x). f (x) = 0 Û (4x3 - 4x).(x4 - 2x2 - 3) = 0 .
Dễ dàng, chứng tỏ phương trình có 5 nghiệm phân biệt nên hàm số có 5 điểm cực trị
Lưu ý: Để phát triển tư duy sáng tạo, chúng ta có thể hướng dẫn HS giải theo 3 cách.
Rõ ràng số điểm cực trị của hàm số
y = f (x)
và y = -
f (x)
là như nhau nên
hàm số
y = - x4 - 2x2 - 3
có 5 điểm cực trị.
Lưu ý: Đối với hàm số trùng phương thì
y = f ( x ) = f (x),
nên chỉ có một dạng
chứa dấu giá trị tuyệt đối là y = f ( x)
Hướng 2. (Đưa tham số vào bài toán)
Tổng hợp vừa có tham số vừa có giá trị tuyệt đối
m
2
Bài toán 2.2.
Số giá trị nguyên của m để hàm số
y = x4 - 2x2 - 3 +
có 7 điểm cực trị?
Số giá trị nguyên của m để hàm số trị?
y = x4 - 2(m + 8)x2 - 3 +m
có 5 điểm cực
Hướng dẫn giải:
Hướng dẫn HS tìm mối liên hệ về số điểm cực trị của hàm

y = f (x)

và hàm số
y = f ( x) theo Quy luật I.
Dễ thấy hàm số
f '(x) = 0 Û é x = 0
f (x) = x4 - 2x2 - 3 + m có
2
f '(x) = 4x3 - 4x và
ë
ê x = ±1
Do đó để hàm số có 7 cực trị thì phương trình

f (x) = 0

có 4 nghiệm phân biệt
khác 0 và khác
±1.
Phương trình
f (x) = 0 Û g(x) = -m
2

với

g(x) = x 4 -2x2 - 3 (1)
Lập bảng biến thiên hàm số y = g(x) , suy ra phương trình (1) có 4 nghiệm phận
biệt khác 0 và khác
±1 khi
-4 < - m < -3 Û 6 < m < 8 . Do m nguyên nên
2
m = 7 .
Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn.
Xét hàm số f (x) = x4 - 2(m + 8)x2 - 3 + m
TH1: Nếu hàm số
y = f (x)
có 1 điểm cực trị thì hàm số y =
f (x)
có nhiều nhất
là 3 điểm cực trị. Do đó trường hợp này loại
TH2: Hàm số
y = f (x)
có 3 điểm cực trị, điều kiện
a.b = -2(m + 8) -8 .
Để hàm số y =
phân biệt.
f (x)
có 5 điểm cực trị thì phương trình f (x) = 0
có 2 nghiệm đơn
Bảng biến thiên của hàm số là y =
f (x)
x
∞

-
8+m

0

8+m

+∞
f'(x)

-
0
+
0
-
0
+


f(x)
+∞


yCT

m-3


yCT

+∞

Điều kiện là
m - 3 £ 0 Û m £ 3
(Trường hợp
m - 3 = 0
phương trình có 2 nghiệm đơn phân biệt và 1 nghiệm kép).
Kết hợp
m > -8 , vậy có 11 giá trị của m thỏa mãn.
Lưu ý: Để dễ dàng giải dạng bài toán này chúng ta có thể hướng dẫn HS dựa vào
Quy luật I (hoặc dựa vào phương pháp vẽ đồ thị của hàm
y = f ( x)
liệt kê tất cả
các trường hợp về mối liên hệ giữa số điểm cực trị của hàm số y = f (x) và
y = f ( x)
Bài toán 2.3
Số giá trị nguyên dương của m để hàm số

y = x4 - 2x2 - 3 +	đạt cực đại tại
m
2
điểm
x = -1?
Số giá trị nguyên của m để hàm số
y = x4 - 2(m + 8)x2 - 3 +m
đạt cực tiểu tại
điểm
x = 0 ?
Hướng dẫn giải:
Dễ	thấy	hàm	số
ê x = ±1
g¢(x) = 0 Û é x = 0
ë

g(x) = x4 - 2x2 - 3 +m
2

có	g¢(x) = 4x3 - 4x	và
Phương trình

g(x) = 0 Û
f (x) = - m
2
TH1: - m £ -4 Û m ³ 8 Þ f (x) = - m

vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm kép
2	2
Do đó ta có bảng xét dấu y¢ :
x
∞

-1

0

1

+∞
y'
-
0
+
0
-
0
+

Suy ra
x = -1 là điểm cực tiểu, không thỏa mãn.
TH2: -4 < - m < -3 Û 6 < m < 8 Þ f (x) = - m

có 4 nghiệm phân biệt và ta có xét
2	2
dấu y¢ :
x
∞

x4

-1

x5

0

x6

1

x7

+∞
y'
-
0
+
0
-
0
+
0
-
0
+
0
-
0
+

Như vậy
x = -1 là điểm cực đại. Trường hợp này ta được
m = 7
TH3:
– m ³ -3 Û m £ 6 Þ f (x) =- m
2	2

có 2 nghiệm phân biệt hoặc có 2 nghiệm
phân biệt và 1 nghiệm kép, ta có xét dấu y¢ :
x
∞

x4

-1

0

1

x5

+∞
y'
-
0
+
0
-
0
+
0
-
0
+

Như vậy
x = -1 là điểm cực đại. Trường hợp này ta được
m Î{1; 2;3; 4;5;6}
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn.
TH1: Nếu hàm số
y = f (x) có 1 điểm cực trị, điều kiện
a.b = -2(m + 8) ³ 0 Û m £ -8 .
Khi đó phương trình
f (x) = 0
có 2 nghiệm phân biệt vì c = -3 + m < 0 , hai nghiệm
này trái dấu và do đó
x = 0 là điểm cực đại của hàm số nên TH này loại.
TH2: Hàm số
y = f (x) có 3 điểm cực trị, điều kiện a.b = -2(m + 8) -8 .
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
y = f (x)
ở trên và dựa vào các trường hợp có
nghiệm của phương trình
f (x) = 0
thì ta thấy nếu
f (x) = 0
có 4 nghiệm phân biệt,
vô nghiệm thì
x = 0
là điểm cực đại. Nếu có 2 nghiệm phân biệt hoặc có 2 nghiệm
phân biệt và nghiệm kép
x = 0 thì điểm
x = 0 là điểm cực tiểu.
Vậy điều kiện của TH này là: -8 < m - 3 £ 0 Û -5 < m £ 3
Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Nhận xét: Đối với bài toán tìm tham số m để hàm số

y = f (x, m)

đạt CĐ, CT tại
một điểm nào đó, ngoài cách giải trên chúng ta hướng dẫn HS giải dạng toán này
bằng việc tìm mối liên hệ về số điểm cực trị của hàm số
y = f (x) và y =
f ( x) . Để
xác định mối liên hệ ta sử dụng bảng biến thiên hoặc đồ thị. Cụ thể:
+ Trường hợp a > 0 .
-	Nếu hàm số
y = f (x)
có một cực trị và phương trình
f (x) = 0
vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép (tức c ³ 0 ) thì hàm số y =
f ( x)
có 1 cực trị là điểm CT
x = 0
-	Nếu hàm số
y = f (x)
có một cực trị và phương trình
f (x) = 0 có 2 nghiệm phân
biệt (tức
c < 0)
thì hàm số
y = f ( x)
có 3 điểm cực trị (1 điểm CĐ
x = 0
và 2
điểm CT là nghiệm phương trinh f (x) = 0 ).
-	Nếu hàm số
y = f (x)
có 3 điểm cực trị (1điểm CĐ
x = 0 , 2 điểm CT
x1,2 = ±
– b
2a
– b
2a
) và phương trình
f (x) = 0
có 4 nghiệm phân biệt thì hàm y =
f ( x)
số có 7 điểm
cực trị (3 điểm CĐ,
f (x) = 0 ).
x = 0 , x1,2 = ±
; 4 điểm CT là nghiệm phương trình
-	Nếu hàm số
y = f (x)
có 3 điểm cực trị phương trình
f (x) = 0
có 2 nghiệm phân
– b
2a
biệt hoặc có 3 nghiệm trong đó có 2 nghiệm phân biệt, 1 nghiệm kép (tức c £ 0 )
thì hàm số y =
f ( x)
có 5 điểm cực trị (2 điểm CĐ
x1,2 = ±
, 3 điểm CT
x = 0
và nghiệm của phương trình f (x) = 0 ).
-	Nếu hàm số
y = f (x)
có 3 điểm cực trị phương trình
f (x) = 0
vô nghiệm hoặc
có 2 nghiệp kép (tức có 2 điểm cực tiểu thuộc trục 0x ) thì 2
y = f (x)
hàm số
y = f ( x)
có điểm cực trị như nhau (1 điểm CĐ
x = 0 , 2 điểm CT x1,2 = ±	) .
– b
2a
+ Trường hợp a

File đính kèm:

  • docxskkn_phat_trien_tu_duy_sang_tao_cho_hoc_sinh_thong_qua_khai.docx
  • pdfPhan Đình Trường, Trương Đức Thanh-THPTDTNt Tỉnh, Hồ Văn Sơn-THPT 1-5-Toán học.pdf