SKKN Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Lớp 12 qua việc tìm nhiều lời giải các bài toán hàm số hợp

ƣa ra bảng biến thiên của hàm y = ƒ(𝑥) thì việc xét dấu và tìm nghiệm của g′(𝑥) sẽ gặp khó khăn.
Giáo viên yêu cầu học sinh đƣa ra bảng biến thiên của hàm số y = ƒ(𝑥) và nêu đặc điểm các điểm cực trị.
Học sinh đƣa ra đƣợc bảng sau:
Với đồ thị đã cho thì các điểm cực trị a, b, c của hàm số sẽ thuộc các khoảng
(−∞; 0), (0; 4), (4; +∞).
Giáo viên yêu cầu học sinh tính đạo hàm hàm số g(𝑥) = ƒ(𝑥3 + 3𝑥2). Khi đó việc tìm nghiệm của gY(𝑥) = 0 dẫn đến giải phƣơng trình ƒY(𝑥3 + 3𝑥2) = 0, đến đây đòi hỏi học sinh quan sát bảng biến thiên của hàm số y = ƒ(𝑥) và nhận xét đƣợc nghiệm của phƣơng trình ƒY(𝑥3 + 3𝑥2) = 0.
Giải:
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số
y = f (x)
nhƣ sau:
Ta có
g ( x) = f ( x3 + 3x2 ) Þ
2
g¢( x) = (3x2 + 6x). f ¢( x3 + 3x2 )
é x = 0
ê x = -2
Cho
g¢( x) = 0 Û
é3x
ê
+ 6x = 0
ê
Û ê x3 + 3x2 = a; a < 0
êë f ¢(x3 + 3x2 ) = 0
ê
ê x3 + 3x2 = b; 0 < b < 4
ë
ê x3 + 3x2 = c; c > 4
Xét hàm số
h ( x) = x3 + 3x2
Þ h¢( x) = 3x2 + 6x . Cho
h¢( x) = 0 Û
é x = 0
ë
ê x = -2
Bảng biến thiên
Ta có đồ thị của hàm
h ( x) = x3 + 3x2
Từ đồ thị ta thấy: Đƣờng thẳng y = a

cắt đồ thị hàm số

y = h ( x)

tại 1 điểm.
Đƣờng thẳng y = b cắt đồ thị hàm số
y = h ( x)
tại 3 điểm.
Đƣờng thẳng y = c
cắt đồ thị hàm số
y = h ( x)
tại 1 điểm.
Nhƣ vậy phƣơng trình
g¢( x) = 0
có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số
g ( x) = f (x3 + 3x2 ) có 7 cực trị.
Hướng phân tích thứ hai:
Với giả thiết cho biết đặc điểm về hàm số y = f(x), để khai thác đặc điểm của hàm số y = f(x3 + 3x2) khi đó nghĩ ngay đến việc đặt u(x) = x3 + 3x2 để sử dụng sự tƣơng ứng. Với hƣớng suy nghĩ này cần chú ý rằng sự tƣơng ứng của hai hàm số trên nếu u(x) là bậc nhất.
Trong trƣờng hợp này u(x) = x3 + 3x2 thì ngoài các điểm kỳ dị của hàm số y = f(x) thì cần phải chú ý đến các điểm kỳ dị của hàm u(x) = x3 + 3x2. Khi đó ta có hƣớng giải tổng quát cho bài toán nhƣ sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm
g = f (u ( x)) , giả sử ta đƣợc tập xác định
D = (a1; a2 ) È (a3; a4 ) È ... È (an-1; an ) . Ở đây có thể là a1 º -¥; an º +¥ .
Bước 2: Xét sự biến thiên của trong bƣớc 3 nếu nó đơn giản).
u = u ( x) và hàm
y = f (x) (B2 có thể làm gộp
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tƣơng quan giữa và [u; g = f (u)].
Bảng này thƣờng có 3 dòng dạng:
Cụ thể các thành phần trong BBT nhƣ sau:
éë x;u = u ( x)ùû
Dòng 1: Xác định các điểm kỳ dị của hàm
u = u ( x) , sắp xếp các điểm này theo thứ
tăng dần từ trái qua phải, giả sử nhƣ sau: a1
< a2 <
.... < an-1
< an (xem chú ý 1).
Dòng 2: Điền các giá trị ui = u (ai )
với (i = 1,...,n)
Trên mỗi khoảng (ui ;ui+1 ), i = 1, n -1 cần bổ xung các điểm kỳ dị
b1;b2 ;...;bk
của
của hàm y = f (x) .
Trên mỗi khoảng (ui ;ui+1 ), i = 1, n -1
chẳng hạn:
cần sắp xếp các điểm
ui ;bk theo thứ tự
ui b1 > b2 > ... > bk > ui+1
(xem chú ý 2).
Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm
g = f (u ( x))
dựa vào BBT của hàm
y = f (x)
bằng cách hoán đổi: u đóng vai trò của x ;
f (u ) đóng vai trò của
f ( x) .
Sau khi hoàn thiện BBT hàm hợp g = f (u ( x))
này.
ta thấy đƣợc hình dạng đồ thị hàm
Bước 4:	Dùng BBT hàm hợp
trong bài toán và kết luận.
Chú ý 1:
g = f (u ( x)) giải quyết các yêu cầu đặt ra
Các điểm kỳ dị của cực trị của u = u ( x) .
u = u(x) gồm: Điểm biên của tập xác định D , các điểm
Nếu xét hàm
u = u ( x)
thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của
phƣơng trình u ( x) = 0 (là hoành độ giao điểm của
u = u(x) với trục Ox ).
Nếu xét hàm
u = u ( x )
thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là
hoành độ giao điểm của u = u(x) với trục Oy ).
Chú ý 2:
Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của u = u ( x) .
Điểm kỳ dị của
y = f (x) gồm: Các điểm tại đó
f (x) và f ¢(x)
không xác
định; các điểm cực trị hàm số y = f (x) .
Nếu xét hàm g =
f (u ( x))
thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có nghiệm
của phƣơng trình
Giải:
f ( x) = 0 (là hoành độ giao điểm của u = u(x) với trục Ox ).
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số
y = f (x)
nhƣ sau:
Xét hàm số u = x3 + 3x2
ta có uY = 3x2 + 6x = 0 - * x = 0 . Khi đó có bảng biến
thiên nhƣ sau:
x = −2
Kết hợp bảng biến thiên của hai hàm số y = f(x) và u(x) = x3 + 3x2 ta có:
Gọi
a, b, c là các điểm cực trị của hàm số
y = f ( x )
khi đó
a < 0 < b < 4 < c
Và ta cũng có f(a) 0. Suy ra trị.
g ( x) = f (x3 + 3x2 )
có 7 điểm cực
Ví dụ 12: Cho hàm số
y = f ( x )
có đồ thị được
cho như ở hình vẽ bên. Hỏi phương trình
f (x3 - 3x +1)- 2 = 1
thực phân biệt?
A. 8.
C. 9.
có tất cả bao nhiêu nghiệm
B. 6.
D. 11.
Hướng phân tích thứ nhất:
Với yêu cầu bài toán tìm số nghiệm phƣơng trình |f(x3 − 3x + 1) − 2| = 1
đƣa yêu cầu đó về việc tìm nghiệm của hai phƣơng trình
f(x3 − 3x + 1) = 3; f(x3 − 3x + 1) = 1.
Chuyển bài toán về bài toán cho đồ thị hàm số y = f(x) xác định sự biến thiên của hàm số y = f(x3 − 3x + 1), bài toán tƣơng tự bài toán ở Ví dụ 11.
Giải:
|f(x3
f(x3 − 3x + 1) = 1
− 3x + 1) − 2| = 1 - [f(x3 − 3x + 1) = 3
Từ đồ thị hàm số y = f(x)
Dẫn đến:
x = b, (b < −1) f(x) = 1	x = c, (−1 < c < 3)
[f(x) = 3 - [ x = d, (d > 3)	.
x = a, (a > d)
x3 − 3x + 1 = b, (b < −1)
Khi đó: [
f(x3 − 3x + 1) = 1
F 3
- Ix
− 3x + 1 = c,
(−1 < c < 3)
f(x3 − 3x + 1) = 3
Ix3 − 3x + 1 = d, (d > 3)
[x3 − 3x + 1 = a, (a > d)
Dựa vào đồ thị hàm số y = x3 - 3x +1 (hình vẽ dƣới đây)
Ta suy ra:
Phƣơng trình (1), (2), (4) mỗi phƣơng trình có 1 nghiệm.
Phƣơng trình (3) có 3 nghiệm và các nghiệm này đều phân biệt. Vậy phƣơng trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.
Hướng phân tích thứ hai:
Với bài toán cho đồ thị hàm số y = f(x) xác định sự biến thiên của hàm số y = f(x3 − 3x + 1), sử dụng bài toán tổng quát ở ví dụ trên là một cách giải quyết giúp học sinh tiết kiệm đƣợc thời gian nhất.
Giải:
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) nhƣ sau:
Đặt u = x3 − 3x + 1
Ta có: uY = 3x2 − 3 - uY = 0 - *x = 1
x = −1
BBT của hàm số u(x):
3	f(x3 − 3x + 1) = 1
f(u) = 1
Phƣơng trình: |f(x
− 3x + 1) − 2| = 1 - [
f
x3 − 3x + 1)
= 3 - [f(u) = 3
(
Từ bảng biến thiên của hàm số y = f(x) và u = x3 − 3x + 1 ta có bảng biến thiên của hàm hợp y = f(u):
Từ bảng trên ta thấy phƣơng trình ƒ( ) = 1 có 5 nghiệm và phƣơng trình
ƒ( ) = 1 có 1 nghiệm. Vậy phƣơng trình đã cho có 6 nghiệm.
Từ các ví dụ trên cho ta thấy: Khi dạy học giải bài tập về các hàm số hợp, nếu giáo viên thƣờng xuyên định hƣớng cho hoc sinh nhìn bài toán theo nhiều góc độ khác nhau; phân tích các khía cạnh khác nhau về cách giải; phân tích và tổng hợp, khái quát hóa các phƣơng pháp giải thành thuật toán hoặc tựa thuật toán, thì sẽ giúp học sinh rèn luyện đƣợc tính nhuần nhuyễn, từ đó góp phần phát triển tƣ duy sáng tạo cho các em học sinh.
Biện pháp 4: Tổ chức các hoạt động rèn luyện tính độc đáo của tƣ duy trong quá trình giải toán
Đã bao giờ bạn chợt nghĩ: việc học toán cũng nhƣ việc tìm hiểu thơ ca vậy; phải biết bài nào hay, bài nào dỡ, bài nào có giá trị vƣợt thời gian và biên giới. Nếu đã chợt nghĩ nhƣ vậy, bạn sẽ quyết tâm học giỏi toán và sẽ đạt đƣợc một số kết quả nhất định. Rồi bạn lại nghĩ rằng: mình chỉ là một ngƣời “giải đƣợc” những bài toán ngƣời khác ra mà thôi chứ chƣa thể tìm ra đƣợc điều gì còn ẩn sau những lời giải ấy mà các tác giả chƣa nói hết. Cứ nghĩ nhƣ vậy, dần dần toán học sẽ trở thành một ngƣời bạn rất thân thiết của mình, khi đã đạt đƣợc nhƣ vậy, quá trình giải toán trong bạn sẽ hình thành khả năng tìm ra những hiện tƣợng và những kết hợp mới, khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài liên tƣởng nhƣ không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, lẽ đƣơng nhiên không cần huy động đến mọi kiến thức mà ngƣời giải đã thu thập, tích luỹ đƣợc từ trƣớc. Cần huy động đến những kiến thức nào, cần xem xét đến những mối liên hệ nào, điều đó còn phụ thuộc vào khả năng chọn lọc của ngƣời giải toán. Ngƣời giải toán đã tích luỹ đƣợc những tri thức ấy trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp để giải bài toán. G.Pôlya gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức nhƣ vậy là sự huy động.
Năng lực huy động kiến thức không phải là điều bất biến, một bài toán cụ thể nếu đặt vào thời điểm này có thể không giải đƣợc, chứng minh đƣợc, hoặc giải đƣợc, chứng minh đƣợc một cách rất máy móc và dài dòng, nhƣng đặt trong thời điểm khác (có thể không xa lắm), nếu có năng lực huy động kiến thức tốt, học sinh có thể giải quyết vấn đề một cách rất độc đáo và rất hay.
Ví dụ 13: Cho hàm số
y = f ( x )
liên tục trên R có	y
[	]
đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình
-3	-2
-1 O
1	2 x
f (sin x + cos x) + 2 = 0
trên đoạn 0; 2p .	-1
-2
A. 3 .	B. 4 .
C. 2 .	D. 6 .	-3
-4
Hướng phân tích thứ nhất:
Đây là bài toán tìm nghiệm của phƣơng trình ƒ(u) + 2 = 0 khi biết đặc điểm của hàm số y = ƒ(𝑥). Đây là bài toán đã có hƣớng giải, chỉ khác ở chỗ hàm u(𝑥) là hàm số lƣợng giác. Đòi hỏi học sinh phải huy động những kiến thức về lƣợng giác, đặc biệt là đồ thị của hàm số y = sin𝑥.
Dùng phép biến đổi đồ thị để đƣa ra đồ thị hàm số
y = sin(𝑥 +
π). Bài toán
4
dẫn đến biện luận số nghiệm trên [0; 2 ] của phƣơng trình: sin (𝑥 + π) = m.
4
y
-3	-2
-1
O
-1
-2
1	2 x
-3
-4
Giải:
Từ đồ thị hàm số y = ƒ(𝑥), dẫn đến phƣơng trình:
ƒ(sin𝑥 + c s𝑥) + 2 = 0 - ƒ (√2sin (𝑥 + π)) = −2 có nghiệm:
4
2
ì	æ	p ö	ì	æ	p ö	a1
ï 2 sin ç x + 4 ÷ = a1 Î(-¥; -2)	ï sin ç x + 4 ÷ =
1
2
ï	è	ø	ï	è	ø
Û	æ	ö
Dựa vào đồ thị ta có ï
2 sin æ x + p ö = -1
ï	p
sin x +	= -
í	ç	4 ÷	í	ç	4 ÷
ï	è	ø	ï	è	ø
2
ï	æ	p ö	ï	æ	p ö	a3
ï	2 sin ç x + 4 ÷ = a3 Î(0;1)	ï sin ç x + 4 ÷ =
î	è	ø	î	è	ø
Ta có
a1 < -1 nên phƣơng trình sin æ x + p ö = a1
vô nghiệm.
2
2
ç	4 ÷
è	ø
Xét đồ thị hàm số
y = sin æ x + p ö
trên đoạn [0; 2p ]
ç	4 ÷
è	ø
1
y
a3
y = 2
5π
4
x
-π
2
-
π
4
O
π