SKKN Phát triển năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn trong dạy học khối đa diện, mặt nón, mặt trụ và mặt cầu hình học 12

 toán thực tế sang bài Toán hình học: Tính thể tích của khối nước ban đầu có trong lyÞ Cần tính thể tích của khối trụ có chiều cao 7,5cm.
- Giả thiết:
+ Hình cầu có bán kính

r = 3cm.
+ Hình trụ lúc đầu có chiều cao 7,5cm,
bán kính r và có thể tích V1.
+ Hình trụ sau khi thả viên bi có chiều cao tăng lên 1cm,
tích V2.
- Kết luận: Tính V1.
Bước 2: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
bán kính r và có thể
+ Theo bài ra, ta có Vcau
= 4 p r3 = 4 p .33 = 36p .
3	3
+ Ta có: V = V +V	Û V -V = V	Û p r2 (h - h ) = 36p Û r = 6.
2	1	cau	2	1	cau	2	1
Suy ra V = p r2h = p .62.7,5 = 848, 23cm3 Þ Chọn B.
1	1
Bài toán 11. (Thông hiểu) Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp là ít nhất. Bán kính đáy vỏ
lon là bao nhiêu khi ta muốn thể tích lon là 314cm3 ?
=
314
r	3 p cm.
314
=
r	3	cm. 2p
C. r = 9423 2p cm.
314
=
D. r	3	cm. 4p
* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thông tin và chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài Toán hình học: Tính bán kính đáy vỏ lon. Vì nguyên liệu làm vỏ hộp ít nhất nên diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất Þ Cần tìm GTLN - GTNN của hàm số diện tích toàn phần theo biến là bán kính đáy của hình trụ.
+ Công thức:
Stp = Sxq + 2Sd
= 2p rl + 2p r2 ,
với r là bán kính đáy của hình trụ,
l là đường sinh của hình trụ.
+ Vì hàm diện tích
Stp có hai biến nên phải biểu diễn công thức tính diện tích
theo một biến. Từ giả thiết thể tích khối hộp ta có: Vtru
= p r2h = p r 2l = 314 Û l = 314 .
p r2
Khi đó: S = S = 2p rl + 2p r 2 = 2p r 314 + 2p r 2 = 628 + 2p r 2.
tp
+ Tìm điều kiện của biến r :
p r2	r
r > 0.
Bước 2: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm diện tích toàn phần
+ Xét hàm số
S = 628 + 2p r 2
r
trên khoảng (0; +¥).
Ta có:
S '(r) = 4p r - 628 ;
r 2
S '(r) = 0 Û 4p r - 628 = 0 Û 2p r3
r2
= 314 Û r =	.
314
3
2p
Bảng biến thiên
r
0
314
3
2p
+¥
S '(r)
0	+

S (r)
+¥

+¥

Sæ 3 314 ö
ç	2p ÷
è	ø


314
3
2p
Quan sát bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại r =	.
Vậy để chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp là ít nhất thì bán kính đáy vỏ lon là
314
3
2p
r =	cm.
Þ Chọn B.
Bài toán 12. (Thông hiểu) Một nhóm học sinh dựng lều khi đi dã ngoại bằng cách gấp đôi tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài 12m, chiều rộng 6m (gấp theo đường như trong hình vẽ) sau đó dùng hai cây gậy có chiều dài bằng nhau chống theo phương thẳng đứng vào hai mép gấp. Hỏi khi dùng chiếc gậy có chiều dài bằng bao nhiêu thì không gian trong lều là lớn nhất?
A.	5m.	B. 3 2 m.
2
C. 1,5m.	D. 1 m.

* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thông tin và chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài Toán hình học: Tính chiều dài chiếc gậy để không gian trong lều là lớn nhất Þ
Tìm GTLN - GTNN của hàm thể tích khối lăng trụ, biến là chiều cao của tam giác đáy lăng trụ.
Gọi x là chiều dài chiếc gậy. Điều kiện 0 < x < 3.
+ Vì đáy là tam giác cân có cạnh bên bằng 3m nên diện tích đáy là
S = x
9 - x2 .
+ Thể tích khối lăng trụ: V = B.h = 12x 9 - x2 .
9 - x2
Bước 2: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm diện tích S
+ Xét hàm số V (x) = 12x
trên khoảng (0;3).
Ta có: V '(x) =
108 - 24x2
9 - x2
;
V '(x) = 0 Û x =	.
3 2
2
Bảng biến thiên
x

0
3 2
2

3
V '(x)
+	0

V (x)
54
0	0

Þ max V (x) = 54 khi x
(0;3)
= 3 2 Þ Chọn B.
2
Bài toán 13. (Thông hiểu) Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng
gạo có thể tích không đổi bằng 8m3, thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình
vuông, không nắp. Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là 100000 / m2 và giá tôn
làm thành xung quanh thùng là
50000 / m2.
Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùng
đựng gạo với cạnh đáy bằng bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất ?
A. 3m.
B. 1,5m.
C. 2m.
D. 10m.
* Hướng dẫn giải
Bước 1: Tìm kiếm thông tin và chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài Toán hình học: Tính cạnh đáy của cái thùng đựng gạo để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất Þ Tìm GTLN - GTNN của hàm chi phí mua nguyên vật liệu, biến là cạnh đáy hình hộp.
+ Gọi a là cạnh đáy của hình hộp chữ nhật và b là chiều cao của hình hộp chữ
nhật. Điều kiện
a > 0, b > 0. Đơn vị của
a , b là
m. Ta có: V = a2b = 8 Þ ab = 8 .
a
+ Chi phí làm đáy là: 100000a2 .
+ Chi phí làm mặt xung quanh là: 50000.4ab.
+ Chi phí để làm thùng tôn là: 100000a2 + 50000.4ab = 100000a2 + 1600000 .
a
Bước 2: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm chi phí
+ Xét hàm số
y = 100000a2 + 1600000
a
trên khoảng (0; +¥).
Ta có:
y '(a) = 200000a - 1600000 ; y '(a) = 0 Û a = 2.
a2
Bảng biến thiên
a
0
2

+¥
y '(a)

0
+


y(a)
+¥

1200000

+¥

Quan sát bảng biến thiên ta thấy:
min y(a) = 1200000 tại
(0 ; + ¥)
a = 2 .
Vậy chi phí nhỏ nhất bằng 1200000 đồng khi cạnh đáy hình hộp bằng 2m Þ
Chọn C.
Bài toán 14. (Thông hiểu) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 20(cm). Nếu ta
cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh là x(cm) rồi gập
tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.
* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thông tin và chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài Toán hình học: Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất Þ Cần tìm GTLN - GTNN của hàm số thể tích theo biến là cạnh của hình vuông bị cắt.
+ Công thức: được cắt.
V = B.h = (20 - 2x)2 x = 4x3 - 80x2 + 400x,
x là cạnh của hình vuông
+ Tìm điều kiện của biến x : 0 < x < 10.
Bước 2: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm số thể tích V
+ Xét hàm số V (x) = 4x3 - 80x2 + 400x
Ta có: V '(x) = 12x2 -160x + 400;
é x = 10 Î(0;10)
trên khoảng (0;10).
V '(x) = 0 Û ê	3
ë
ê x = 10 Ï(0;10).
Bảng biến thiên
x
0	10	10
3
V '(x)
+	0	-

V (x)
16000
27
0	0

Quan sát bảng biến thiên ta thấy:
maxV (x) = 16000
khi x = 10 .
(0; 10)
27	3
Vậy thể tích khối hộp lớn nhất khi cạnh của hình vuông bị cắt là
x = 10 .
3
Bài toán 15. (Thông hiểu) Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8dm3 và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là
23 2dm.
2dm.
4dm.
2 2dm.
* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thông tin và chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài Toán hình học: Tính độ dài cạnh đáy của mỗi hộp. Vì diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật nhỏ nhất Þ Cần tìm GTLN - GTNN của hàm số diện tích theo biến là cạnh đáy của hình hộp.
+ Công thức: S = 2x2 + 4xh , x là cạnh đáy của hình hộp, h là chiều cao của hình
hộp.
+ Vì hàm diện tích S có hai biến nên phải biểu diễn công thức tính diện tích
theo một biến. Từ giả thiết, thể tích khối hộp V = B.h = 8 Û x2h = 8 Û h = 8 .
x2
Khi đó:
S = 2x2 + 4xh = 2x2 + 4x 8
x2
= 2x2 + 32 .
x
+ Tìm điều kiện của biến x : x > 0.
Bước 2: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm diện tích toàn phần
+ Xét hàm số
S (x) = 2x2 + 32
x
trên khoảng (0; +¥).
Ta có:
S '(x) = 4x - 32 ;
x2
S '(x) = 0 Û 4x3 = 32 Û x = 2.
Bảng biến thiên
x
0	2	+¥
S '(x)
0	+

S (x)
+¥	+¥
24

Quan sát bảng biến thiên ta thấy:
min S(x) = 24 khi x = 2.
(0; +¥)
Vậy để diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kết là 2dm Þ Chọn B.
Bài toán 16. (Vận dụng) Ông A dự định sử dụng hết
6,5m2
kính để làm một bể
cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
A. 2, 26m3.
B. 1,61m3.
C. 1,33m3.
D. 1,50m3.
* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thông tin và chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài Toán hình học: Dung tích bể cá lớn nhất Û Thể tích bể cá lớn nhất Þ Tìm GTLN
- GTNN của hàm thể tích biến là chiều rộng hoặc chiều cao của bể.
+ Diện tích toàn phần của bể cá:	=
2 +	+	=	Û	= 6,5 - 2x2
S	2x
2xh
4xh
6,5	h	.
6x
2	2 6,5 - 2x2	6,5x - 2x3
+ Thể tích bể cá: V
= 2. x
.h = 2x .	=	.
6x	3
+ Do
h > 0, x > 0
nên
6,5 - 2x2 > 0 Û 0 < x <
13 .
2
Bước 2: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm thể tích V
6,5x - 2x3
æ	13 ö
+ Xét hàm số V (x) =	trên khoảng ç 0;	÷.
3	2
è	ø
Ta có: V '( x) = 13 - 2x2 ;
6
é
ê x =
39 (TM)
6
V '( x) = 0 Û ê	 	
Bảng biến thiên
ê
ê x =- 
ë
39 (L).
6
x
0
39
6
13
2
V '(x)
+	0

V (x)

13 39
54

0

0

Vậy
max
æ 0 ; 13 ö
V (x) = 13 39 » 1,50 m3 Þ Chọn D.
54
ç	2 ÷
è	ø
Bài toán 17. (Vận dụng) Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có
AD = 60 cm. Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB
và DC trùng nhau, với AN = PD (như hình vẽ dưới đây) để được một hình lăng trụ.
Tìm độ dài đoạn AN để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.
AN = 39cm.
* Hướng dẫn giải
AN = 20cm.
AN = 45 cm.
2
AN = 15cm.
Bước 1: Tìm kiếm thông tin và chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài Toán hình học: Tìm độ dài đoạn AN để thể tích khối lăng trụ lớn nhất Þ Tìm GTLN của hàm thể tích lăng trụ, biến là độ dài cạnh AN.
Đặt AN = PD = x. Suy ra
Tính diện tích SDANP
NP = AD - (AN + PD) = 60 - 2x.
Tam giác ANP cân tại A có AN = x, NP = 60 - 2x nên
SDANP
= 1 .
x2 -
(60 - 2x)2 4
2
.(60 - 2x) =
 	
15x - 225.(60 - 2x).
Vì chiều cao không đổi nên thể tích khối trụ lớn nhất khi diện tích đáy lớn nhất.
Vậy ta đi tìm GTLN của hàm diện tích
(15;30).
S(x) =
15x - 225.(60 - 2x)
trên đoạn
15x - 225
Bước 2: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm diện tích S.
+ Xét hàm số
S ( x) = (60 - 2x)
trên đoạn (15;30).
Ta có:
S '( x) = 900 - 45x ;
S '( x) = 0 Û x = 20.
15x - 225
Bảng biến thiên
x
15
20
30
S '(x)
+	0

S (x)

100 3

0

0

Quan sát bảng biến thiên ta thấy:
max S (x) = 100
(15; 30)
khi x = 20.
3
Vậy độ dài AN = 20 cm Þ Chọn B.
Bài toán 18. Người ta cắt một khối gỗ nhỏ hình lập phương, cạnh 30cm từ một khối gỗ hình hộp chữ nhật với các kích thước như hình vẽ. Tính thể tích phần gỗ còn lại.
A. 57000cm3.
B. 48000cm3.
C. 85000cm3.
D. 96375cm3.
* Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm kiếm thông tin và chuyển đổi từ