SKKN Phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học hình học ở trường THPT

 2b2 + 2c2 - a2
4
m
=
2	2a2 + 2c2 - b2
b	4
2	2a2 + 2b2 - c2
m
=
c	4
b
c
Vì	m2 +
m2 =
5m2 Û
2a2 + 2c2 - b2 + 2a2 + 2b2 - c2
4
= 10b2 +10c2 - 5a2
4
a
Û 4a2 + b2 + c2 = 10b2 +10c2 - 5a2 Û 9a2 = 9b2 + 9c2 Û a2 = b2 + c2
Þ Tam giác ABC vuông tại A.
Nhận xét:
Nếu nhìn nhận kết quả trên theo kiểu:
Tam giác ABC vuông tại A Û b	^	c	Û

b	c	a
m2 + m2 = 5m2
Khi thay trung tuyến bằng cạnh, thay cạnh bằng trung tuyến ta cũng được một mệnh đề đúng. Ta có bài toán sau đây:
Bài toán 2.1. Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c. Các trung tuyến
tương ứng là
ma , mb , mc . Chứng minh rằng:
mb ^
mc	Û
b2 + c2 = 5a2
Hướng dẫn giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
m
=
2	2a2 + 2c2 - b2
b	4
2	2a2 + 2b2 - c2
m
=
c	4
Ta có:	1
2	1	2	2	1	2
1 2a2 + 2c2 - b2
NG =	BN Û NG
3
=	BN
9
Û NG
= 9 mb = 9 .	4
GC =
2 CE Û GC2
= 4 CE2
4 2a2 + 2b2 - c2
=	.
3	9	9	4
Û	2	2	2	b2
2a2 + 2c2 - b2
8a2 + 8b2 - 4c2	b2
mb ^ mc
NG + GC
= NC =	Û
4
+
9.4
=
9.4	4
Û 10a2 + 7b2 - 2c2 = 9b2 Û b2 + c2 = 5a2 (đpcm)
Nhận xét: Vận dụng bài toán 2.1, ta có thể hướng dẫn học sinh chứng minh bài toán sau:
Bài toán 2.2. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, các trung tuyến tương ứng với các cạnh AB, AC vuông góc với nhau thì cos A ³ 4
5
Hướng dẫn giải: Ta có
mb ^
mc Û
b2 + c2 = 5a2
(Bài toán 2.1)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: b2 + c2 ³ 2bc
Vì cos A =
b2 + c2 - a2
2bc
³ b2 + c2 - a2
b2 + c2
= 5a2 - a2 =
5a2
4a2 = 4
5a2	5
Nhận xét: Ta viết bài toán 2.2 ở dạng sau:
Chứng minh rằng trong tam giác ABC nếu m ^ m thì cos(b, c) ³ 4
b	c	5
Nếu thay cạnh bằng trung tuyến, trung tuyến bằng cạnh, ta có bài toán sau đây:
Bài toán 2.3. Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, hai đường trung
tuyến thuộc hai cạnh cắt nhau theo một góc nhọn có cosin không nhỏ hơn 4 .
5
(Ta viết bài toán ở dạng sau: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nếu b ^	c thì
cos(mb , mc )
≥ 4 )
5
Hướng dẫn giải: Vì tam giác ABC vuông tại A nên: a2 = b2 + c2
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
BG = 2 BM ;GN = 1 CN
3	3
BG = 2
3
=	; GN = 1	=
2a2 + 2c2 - b2
4
b2 + 4c2
2a2 + 2b2 - c2
4
4b2 + c2
3	3	6
Áp dụng định lý Côsin trong tam giác BNG, ta có:
cos BNG =
BG2 + GN 2 - BN 2 =
b2 + 4c2 . 4b2 + c2
2.BG.GN
2(b2 + c2 )
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương
b2 + 4c2
và c2 + 4b2 , ta có:
(b2 + 4c2 ) + (4b2 + c2 ) ³
2
Û 5(b2 + c2 ) ³
b2 + 4c2 . 4b2 + c2
b2 + 4c2 . 4b2 + c2
2
Û cos BNG ³
2(b2 + c2 )
5(b2 + c2 ) ³
2
4	(đpcm)
5
Nhận xét: Từ các công thức đã học, giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng
các công thức: cot A =
b2 + c2 - a2
4S
; cot B =
a2 + c2 - b2
4S
; cot C =
a2 + b2 - c2
4S
Trong đó a, b, c là các cạnh tương ứng với các góc A, B, C. S là diện tích tam giác ABC.
Nếu biết vận dụng nhóm công thức này và bài toán 2, ta giải được các bài toán sau đây:
Bài toán 2.4. Cho tam giác ABC. Kẻ hai trung tuyến BN và CE. Chứng
minh rằng: BN ^ CE	Û	1
tan A
=	2
tan B
+	2
tan C
(1)
Hướng dẫn giải: (1) Û	cot A = 2cot B + 2cot C
Û	b2 + c2 - a2
4S
= 2.
a2 + c2 - b2
4S
+ 2.
a2 + b2 - c2
4S
Û b2 + c2 - a2 = 2a2 + 2b2 - 2c2 + 2a2 + 2c2 - 2b2
Û b2 + c2 - a2 = 4a2 Û b2 + c2 = 5a2 Û BN ^ CE
Nhận xét: Ta có thể thay các hệ số
a, b, c trong đẳng thức
b2 + c2 = 5a2
bằng
những số thực khác để được bài toán tổng quát sau:
Bài toán 2.5.	Cho tam giác ABC có các cạnh là

a, b, c . Các trung tuyến
tương ứng là
ma , mb , mc . a ; b ; g là những số thực bất kỳ. Chứng minh rằng:
a a2
= b b2
+ g c2
Û (a +2 b + 2g ) m2
= ( b +2a -2 g ) m2
+ ( g +2a -2 b ) m2
a
b
c
Hướng dẫn giải: Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến, ta có:
m
=
2	b2 + c2
a	2
- a2
4
= 2b2 + 2c2 - a2
4
m
=
2	2a2 + 2c2 - b2
b	4
2	2a2 + 2b2 - c2
m
=
c	4
a	b	c
(a + 2b + 2g )m2 = (b + 2a - 2g )m2 + (g + 2a - 2b )m2
Û (a + 2b + 2g )(2b2 + 2c2 - a2 ) = (b + 2a - 2g )(2a2 + 2c2 - b2) + (l + 2a - 2b )(2a2 + 2b2 - c2)
Khai triển đẳng thức này và rút gọn, ta được: aa2 = bb2 + g c2
Nhận xét: Nếu thay cạnh bằng trung tuyến, trung tuyến bằng cạnh, ta có bài toán tương tự sau đây:
Bài toán 2.6. Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c . Các trung tuyến
m
c
tương ứng là
ma , mb , mc . a ; b ; g là những số thực bất kỳ. Chứng minh rằng:
m
b
a
a
2 = b
m2 + g
2 Û (a + 2b + 2g )a2 = (b + 2a - 2g )b2 + (g + 2a - 2b )c2
Hướng dẫn giải: Việc chứng minh bài toán này ta sử dụng các công thức:
a2 = 4 ( 2m2 + 2m2 - m2 )
b2 = 4 ( 2m2 + 2m2 - m2 )
c2 = 4 ( 2m2 + 2m2 - m2 )
9	b	c	a
9	c	a	b
9	a	b	c
Nhận xét:
Trong bài toán 2.5, nếu thay a = b = g	= 1 ta có lại bài toán 2 Trong bài toán 2.6, nếu thay a = b = g	= 1 ta có lại bài toán 2.1
m
m
Nếu đặt câu hỏi: Có khi nào từ đẳng thức a a2
= b b2
+ g c2
ta suy ra được
đẳng thức a
2 = b
m2 + g
2 hay không ?
b
a
c
Để trả lời câu hỏi này, ta xét hệ thức ở bài toán 2.5:
m
m
a a2
= b b2
+ g c2
Û (a +2 b + 2 g ) m2
= ( b +2a -2g ) m2
+ ( g +2a -2 b ) m2
a
b
c
m
a
Để có được yêu cầu nói trên thì các hệ số của
2 và
a2 ,
2 và
b2 ,
2 và c2
phải bằng nhau. Ta lập được hệ phương trình:
ìa + 2b + 2g = ka
í
b
c
ïb + 2a - 2g = kb
î
ïg + 2a - 2b = kg
Từ 2 phương trình đầu thu được
k = 3
Þ a = b + g
Từ nhận xét này, ta có bài toán sau đây:
Bài toán 2.7. Cho tam giác ABC có các cạnh là

a, b, c . Các trung tuyến
tương ứng là
ma , mb , mc . Chứng minh rằng:
( b + g
) a2
= bb2 + g c2 Û (b + g )m2 = b m2 + g m2
a	b	c
Trong đó b ,g là các số thực bất kỳ.
Ví dụ 3: Chủ đề phép biến hình
Bài toán 1. Cho đường tròn (O), dây cung BC cố định. A là một điểm di động trên (O). Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC.
Đây là bài toán cơ bản, đơn giản. Chỉ cần hướng dẫn các em tỉ số
IG = 1
IA	3
1
BC cố định Þ I cố định Þ	Phép vị tự V I : A ® G
3
1
Vì A thuộc (O) Þ G thuộc (O’) là ảnh của (O) qua V I .
3
Nhận xét: Ở bài toán 1, hai điểm B, C cố định, chỉ một điểm A di động. Bây giờ cho hai điểm B, C di động, điểm A cố định. Ta có bài toán sau:
Bài toán 1.1. Cho điểm A cố định. Hai điểm B, C di động trên đường thẳng d không đi qua A. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC.
Lời giải bài toán này tương tự bài toán 1 nhưng khó hơn một chút ở chỗ tập hợp tạo ảnh I của G ẩn sau 2 điểm di động B, C.
Hướng dẫn giải:
V A : I ® G
2
3
2
Þ Tập hợp G là đường thẳng d’ - ảnh của đường thẳng d qua V A .
3
Nhận xét: Vẫn với giả thiết như bài toán 1, song B, C di động trên đường tròn sao cho dây BC có độ dài không đổi, ta có bài toán sau:
Bài toán 1.2. Cho điểm A cố định trên đường tròn (O). B, C là hai điểm di động trên (O) sao cho dây BC có độ dài không đổi. Tìm tập hợp trong tâm G của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải: Cũng với cách giải như bài toán 1.1, song bài toán 1.2 khó hơn ở chỗ cần phải tìm tập hợp điểm I (tạo ảnh của G). Để tìm được tập hợp điểm I, học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức như: Đường kính đi qua trung điểm của dây, định lý Pitago cùng với giả thiết của bài toán, suy ra OI có độ dài không đổi để kết luận tập hợp điểm I.
Bài toán 1.3. Cho đường tròn (O) và một điểm P cố định ngoài đường tròn (O). Từ P kẻ tiếp tuyến PA và cát tuyến PBC tới đường tròn. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC khi cát tuyến PBC thay đổi.
Bài toán này tương tự bài toán 1.1: một điểm A cố định, hai điểm B, C thay đổi. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC. Ở bài này, trung điểm I của BC thay đổi và ta phải tìm tập hợp điểm I.
Hướng dẫn giải:
V A : I ® G
AG = 2 AI Þ
2
3	3
A cố định, ta tìm tập hợp điểm I. Vì I là trung điểm của dây BC nên OI ^ BC. O, P cố định nên I nhìn OP dưới một góc vuông	Þ I thuộc (O’) đường kính PO
2
Þ G thuộc (O’’) là ảnh của (O’) qua V A .
3
Một khó khăn mới nảy sinh của bài toán này mà các bài toán trước không có đó là việc hạn chế tập hợp điểm. Nếu học sinh cứ suy nghĩ rập khuôn theo các bài toán trước thì kết luận của bài toán này sẽ sai ngay. Để hạn chế tập hợp điểm, học sinh phải để ý trung điểm của dây BC chỉ nằm trong (O). Điều này học sinh cũng không dễ nhận ra ngay.
Ta có: I thuộc cung A’OA (A’ là giao điểm thứ 2 của (O) và (O’))
2
Þ G thuộc cung AAO với AO là ảnh của A’ qua phép vị tự V A .
3
Qua bài toán này giúp học sinh thấy được rằng không thể cứ máy móc áp dụng các bài toán như nhau, mà phải có sự nhạy cảm tinh tế đối với mỗi bài toán. Từ đó, các em thấy được sự đa dạng, phong phú của các bài toán, thấy được vẻ đẹp của Toán học, các em thêm yêu thích môn Toán hơn.
Bài toán 1.4. Cho đường tròn (O), dây cung AB cố định và M là một điểm di động trên đường tròn. P là điểm sao cho AMPB là hình bình hành. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác BMP.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Tam giác ABC có điểm B cố định, 2 điểm M, P di động. Do đó lời giải bài toán này giống lời giải bài toán 1.1, chỉ khác ở chỗ tập hợp điểm I trung
điểm của MP, cụ thể là :
Þ	I là ảnh của M qua phép tịnh tiến T1
MI = 1 AB
2
AB
2
2
Mặt khác G là ảnh của I qua phép vị tự V B . Từ đó suy ra tập hợp điểm G
3
AB
Cách 2: Xét điểm A cố định. MP = AB Þ P là ảnh của M qua phép tịnh tiến T
Mặt khác:
( Điều này học sinh khó nhận ra)
AG = 2 AP
3
2
Þ G là ảnh của P qua phép vị tự V A
3
Þ Tập hợp điểm G
Bài toán 1.5. Cho đường tròn (O) và điểm P cố định ngoài (O). M là điểm di động trên (O). H là hình chiếu của O trên PM.
Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác PMO.
Tìm tập hợp trung điểm I của PH
Tìm tập hợp trọng tâm G’ của tam giác PHO
Hướng dẫn giải:
1
OP cố định Þ Trung điểm K của OP cố định Þ	G là ảnh của M qua phép vị tự V K .
3
H nhìn P dưới một góc vuông Þ Tập hợp điểm H là đường tròn đường kính PO.
Chú ý việc giới hạn tập hợp điểm vì H chỉ nằm trong (O). Qua P vẽ 2 tiếp tuyến PT1 và PT2 . H thuộc cung T1OT2. Trung điểm I của PH là ảnh của H qua
1
phép vị tự V P
2
Þ Tập hợp điểm I là hình biến của cung T1OT2 qua V P
1
2
1
Trọng tâm G’ của tam giác OPH là ảnh của H qua V K
3
Nhận xét: Các bài toán trên đều đã có tỉ số k (dễ thấy do tính chất trọng tâm hay trung điểm). B