SKKN Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh Lớp 12 thông qua việc khai thác một bài toán

2m.1+ m + 1 ¹ 0	ï	2
î	ïm ¹- 
Vậy với
î	3
m £ -1 thì g(x) có 5 điểm cực trị
Vì m > -10và mÎ	nên mÎ{-9;- 8;- 7;- 6;- 5;- 4;- 3;- 2;- 1}, có 9 giá trị
m thoả mãn.
Bài 1.6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y = x 3 - (2m+ 1)x2 + 3m x - 5 có 3 điểm cực trị.
Lời giải: Xét hàm số
f (x) = x3 - (2m+ 1)x2 + 3mx - 5
Ta có
f '(x) = 3x2 - 2(2m + 1)x + 3m
Để hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị Û hàm số
y = f ( x) có 2 điểm cực
trị trong đó có đúng 1 điểm cực trị dương Û
chỉ có 1 nghiệm dương
f '(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và
ìém > 1
ìD' > 0
î
Û ía.c £ 0
ìï4m2 - 5m+ 1> 0
Û
í
ïî9m £ 0
ê
ê
ï
Û íêm < 1
ïë	4
Û m£ 0.
Vậy với

m £ 0 thì hàm số
ïîm £ 0
y = x 3 - (2m+ 1)x2 + 3m x - 5 có 3 điểm cực trị.
Nhận xét: Bằng cách thay đổi yêu cầu của bài toán hàm số
y = f ( x )
sang
hàm số y = f ( x + a) ta có bài toán mới sau
Bài toán 2: Cho biết cực trị của hàm số
y = f ( x + a).
Phân tích: Giáo viên cần tổ chức để
y = f ( x). Tìm cực trị của hàm số
- Học sinh phát hiện vấn đề:
+ Chúng ta có thể vẽ đồ thị của hàm số
y = f ( x + a)

không?
+ Chúng ta có thể lập được bảng xét dấu của đạo hàm của hàm số
y = f ( x + a) không?
- Học sinh thu thập và làm rõ thông tin:
+ Giả thiết bài toán cho biết cực trị của hàm số

y = f ( x) bằng cách nào?
Cho biết đồ thị hàm số
y = f ( x).
Cho biết bảng biến thiên của hàm số Cho bảng xét dấu đạo hàm.
Cho công thức đạo hàm.
y = f ( x).
- Học sinh thực hiện giải quyết vấn đề:
Định hướng 1: Sử dụng phép biến đổi đồ thị
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x + a): Từ đồ thị hàm số
y = f ( x), ta tịnh tiến
sang trái a đơn vị nếu a > 0, sang phải a đơn vị nếu
a < 0 ta được (C1)
+ Giữ nguyên phần bên phải trục tung của đồ thị (C1) và bỏ phần bên trái trục
tung của (C1) rồi lấy đối xứng qua trục tung phần ta được đồ thị hàm số
y = f ( x + a).
Từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số y = f ( x + a).
Định hướng 2: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị
x x
x
+ Đặt t = x + a Þ t, =	.
+ Ta có
y = f (t).
Þ y, = t, . f ' = x . f '( x + a)
x	x	t	x
Số điểm cực trị của hàm số
y = f ( x + a)
bằng số nghiệm của phương trình
f '( x + a) = 0 và điểm x = 0.
Định hướng 3: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên
Kết hợp hai bảng biến thiên của hàm số u =
cùng một bảng.
x + a
và hàm số
y = f (u)
trên
Học sinh đánh giá và kết luận: Số điểm cực trị của hàm số
y = f ( x + a)
bằng số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) .
Học sinh đưa ra ý tưởng mới: Nếu thay đổi yêu cầu của bài toán thành hàm
số y = f ( u(x) ) hoặc y = f ( u(x) + a) chúng ta có làm được như trên không?
Từ những phân tích trên ta có thể xây dựng một số dạng toán như sau
Dạng 1: Cho đồ thị hàm số
y = f ( x + a).
y = f ( x). Tìm số cực trị của hàm số
Bài 2.1: Cho hàm số bậc ba
y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số
y = f ( x -1)
có bao nhiêu điểm cực trị?
Phân tích: Bài toán cho đồ thị hàm số
y = f ( x)
nên ta chọn cách suy đồ thị
để tìm cực trị hàm số y = f ( x -1).
Lời giải:
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số
y = f ( x -1)
y = f ( x)
sang phải 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số
+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số
y = f ( x -1)

và lấy đối xứng nó qua trục
tung ta được đồ thị hàm số y = f ( x -1)
Từ đồ thị suy ra hàm số
y = f ( x -1)
có 5 điểm cực trị.
Nhận xét: Nếu thay đổi giả thiết của Bài 2.1 bằng cách cho bảng biến thiên
của hàm số y = f ( x) ta được dạng toán khác như sau
Dạng 2: Cho bảng biến thiên của hàm số
y = f ( x). Tìm số cực trị của hàm
số y = f ( x + a).
Bài 2.2: Cho hàm số
y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ
x
-¥	-1
3	+¥
f ¢( x)
+	0	-	0	+

f (x)
5
+¥
-¥
-3

Số điểm cực trị của hàm số
y = f ( x + 3) là
A. 1.	B. 5.	C. 0.	D. 3.
Nhận xét: Bài toán này cho biết cụ thể các điểm cực trị của hàm số

y = f ( x)
nên chúng ta có thể tìm cụ thể điểm cực trị của hàm số y = f ( x + 3)
Cách 1: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị
+ Ta có
y = f ( x + 3)
Þ y' = x . f '( x + 3)
với
x ¹ 0
x
é x + 3 = -1
+ y' = 0 Þ ê
êë x + 3 = 3

Û x = 0 (loại).
Vậy hàm số có 1 điểm cực trị là
x = 0 (Chọn đáp án A)
Cách 2: Vẽ bảng biến thiên của hàm số đồ thị
y = f ( x + 3)
bằng phép biến đổi
+ Từ bảng biến thiên của hàm số
y = f ( x)
ta vẽ được bảng biến thiên của
hàm số y = f ( x + 3) như sau
x
-¥

-4

0

+¥
f ¢( x)

+
0
-
0
+


f (x)

-¥

5


-3

+¥

+ Từ bảng biến thiên của hàm số
y = f ( x + 3)
ta vẽ được bảng biến thiên của
x
-¥	0	+¥
f ¢(x)
-	0
+

f (x)
+¥	+¥
-3

hàm số y = f ( x + 3) như sau
Từ đó suy ra hàm số
y = f ( x + 3)
có 1 điểm cực trị
Dạng 3: Cho hàm số
y = f ( x), biết
f '(x). Tìm cực trị của hàm số
y = f ( x + a).
Bài 2.3: Cho hàm số như sau
y = f ( x)
liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm
x
-¥	-2	0
3	+¥
f ¢(x)
-	0	+	0	-	0	+

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số điểm cực trị.
y = f ( x + m)
có 7
Phân tích: Bài toán cho biết nghiệm của để hàm số có cực trị.
x
Lời giải:
f '(x)
nên ta sử dụng điều kiện cần
+ Ta có
y = f ( x + m)
Þ y' = x . f '( x + m)
với
x ¹ 0
+ y' = 0 Û
é x + m = -2
ê
ê x + m = 0	Û
ê
êë x + m = 3
é x = -m- 2
ê
ê x = -m
ê
êë x = -m+ 3
Hàm số y = f ( x + m)
có 7 điểm cực trị Û
y' = 0 có 6 nghiệm phân biệt và
khác 0 Û
-m- 2 > 0 Û m< -2.
Vậy với
m< -2 thì đồ thị hàm số
y = f ( x + m)
có 7 điểm cực trị.
Bài 2.4: Cho hàm số
y = f ( x) có đạo hàm f '(x) = x2(x + 1)(x - 2)3, "xÎ	.
Hàm số y = f ( x - 2)
có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải:
+ Ta có y = f ( x - 2)
x
Þ y' = x . f '( x - 2), với
x ¹ 0.
é x - 2 = 0 (keùp)
ê
+ y' = 0Û ê x - 2 = -1
ê
êë x - 2 = 2
Û éx = ±1
êx = ±4
ë
x
-¥
-4

-1
0
1
4
+¥
y'

0
+
0
 +
0
0	+


Ta có bảng xét dấu
Vậy hàm số
y = f ( x - 2)

có 5 điểm cực trị.
Nhận xét: Nếu thay đổi yêu cầu của bài toán 1 bằng cách thay hàm số
y = f ( x ) bởi hàm số y = f ( x + a ) ta có bài toán mới như sau
Bài toán 3: Cho biết cực trị của hàm số
y = f ( x + a ).
y = f ( x). Tìm cực trị của hàm số
Phân tích: Giáo viên tổ chức hướng dẫn để
Học sinh phát hiện vấn đề: Cực trị của hàm số y = f ( x + a ) biết nếu ta vẽ
được đồ thị hàm số y = f ( x + a ) hoặc lập được bảng xét dấu đạo hàm của hàm
số y = f ( x + a ).
Học sinh thu thập và làm rõ thông tin: Học sinh phân tích giả thiết của bài
toán, bài toán cho cực trị của hàm số y = f ( x) bằng cách nào? Cho bằng đồ thị;
cho bằng bảng biến thiên; cho bằng công thức đạo hàm của hàm số y = f ( x). Từ
đó chúng ta tìm cực trị của hàm số y = f ( x + a ) bằng cách nào?
Học sinh thực hiện giải quyết vấn đề:
Định hướng 1: Sử dụng phép biến đổi đồ thị
+ Từ đồ thị hàm số y = f ( x) ta suy ra đồ thị hàm số
y = f ( x )
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) theo trục hoành sang trái a đơn vị nếu
a > 0, sang phải a đơn vị nếu a < 0. Ta được đồ thị hàm số
y = f ( x + a ).
Vậy số điểm cực trị của hàm số bằng số y = f ( x + a )
điểm cực trị của hàm
số y = f ( x ) .
Định hướng 2: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị
(x + a)2
x + a x + a
x + a x + a
t
Þ
=
x
+ Đặt t = x + a =	,
+ y = f (t)
Þ y,
= t, . f ' =
. f '( x + a ) với x ¹ -a.
x	x	t
Định hướng 3: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên
Kết hợp hai bảng biến thiên của hàm số u =
cùng một bảng.
x + a
và hàm số
y = f (u)
trên
Học sinh đánh giá và kết luận: Vậy số điểm cực trị của hàm số
y = f ( x + a ) bằng 2 lần số điểm cực trị dương của hàm số y = f ( x ) cộng thêm
điểm x = -a.
Học sinh đưa ra ý tưởng mới: Chúng ta có thể thay bằng hàm số
y = f ( u(x) ) không?
Nhận xét: Từ những định hướng đó chúng ta xây dựng được các dạng toán sau đây
Dạng 1: Cho hàm số
y = f ( x + a ).
y = f ( x), biết đồ thị
y = f ( x). Tìm cực trị của hàm số
Bài 3.1: Cho hàm số bậc ba
y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ.
Tìm số điểm cực trị của hàm số
y = f ( x - 3 ).
Nhận xét: Đối với dạng toán này nên định hướng để học sinh giải bằng hai cách để vừa trực quan vừa suy luận lôgic bản chất của vấn đề.
Lời giải: Cách 1:
+ Từ đồ thị hàm số y = f ( x) ta vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) bằng cách, giữ
nguyên phần bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung và lấy đối xứng phần bên phải qua trục tung.
+ Từ đồ thị hàm số y = f ( x )
ta vẽ đồ thị hàm số y = f ( x - 3 ), bằng cách
tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x )
theo trục hoành sang phải 3 đơn vị.
Từ đồ thị suy ra hàm số
Cách 2:
y = f ( x - 3 )
có 3 điểm cực trị.
+ Ta có
y = f ( x - 3 ) Þ
y' = x - 3 . f '( x - 3)
x - 3
với
x ¹ 3.
y' = 0 Û
é x - 3 = 1
ê
x - 3 = x

< 0(loaïi)
éx = 4
Û
êx = 2
êë	0	ë
Ta có bảng xét dấu
x
-¥	2
3
4	+¥
y '
-	0	+	 -	0	+

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số
Nhận xét:
y = f ( x - 3 )
có 3 điểm cực trị.
+ Nếu bài toán yêu cầu trắc nghiệm khách quan thì ta chọn cách 1 để trả lời nhanh.
+ Nếu thay giả thiết bài toán băng cách cho bảng biến thiên của hàm số
y = f ( x) ta có dạng toán mới như sau
Dạng 2: Cho hàm số y = f ( x), biết bảng biến thiên của hàm số
y = f ( x).
Tìm cực trị của hàm số y = f ( x + a ).
x
-¥	-2
2	+¥
f ¢(x)
-	0	+
0	-
f (x)
+¥
3
-1
-¥

Bài 3.2: Cho hàm số
y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số
y = f ( x + 1) có bao nhiêu điểm cực trị?
Phân tích: Bài toán cho bảng biên thiên, biết các điểm cực trị cụ thể và yêu cầu tự luận nên ta chọn cách 2 để trình bày.
Lời giải:
+ Ta có
y = f ( x + 1)
Þ y' = x + 1 . f ' x + 1
(	)
x + 1
với
x ¹ -1.
y' = 0 Û
é x + 1 = -2 (voânghieäm)
ê
êë x + 1 = 2
é x = 1
ë
Û ê x = -3
Ta có bảng xét dâu
x
-¥	-3
-1
1	+¥
y '
+	0
-	
+	0
-
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.
Nhận xét: Nếu thay đổi giả thiết của bài toán bằng cách cho dạng toán mới sau:
f '(x), ta được
Dạng 3: Cho hàm số
y = f ( x + a ).
y = f ( x), biết đạo hàm
f '( x) . Tìm cực trị của hàm số
Bài 3.3: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm
f '( x) = x2(x -1)(x2 - 9),
với
.
"xÎ	Tìm số điểm cực trị của hàm số Lời giải:
2	2
y = f ( x +1 ).
é x = 0(Keùp)
ê x = 1
+ Ta có
f '(x) = x
(x -1)(x
-