SKKN Phát triển năng lực chung thông qua hoạt động xét dấu đạo hàm của hàm hợp để giải quyết một số bài toán về hàm số

ịnh cách thức giải quyết vấn đề.
+. Tự quyết định cách thức trình bày sản phẩm.
Năng lực giao tiếp và hợp tác: Được phát triển và thể hiện thông qua
+. Tăng cường sự tương tác tích cực giữa các thành viên trong nhóm khi thực hiện nhiệm vụ.
+. Tăng cường khả năng trình bày và diễn đạt ý tưởng khi hoàn thành sản phẩm.
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo: Được phát triển và thể hiện thông qua
+. Chủ động đề ra kế hoạch, cách thức thực hiện nhiệm, cách thức xử lý các vấn đề phát sinh một cách sáng tạo nhằm đạt được kết quả tốt nhất.
+. Chủ động, sáng tạo trong việc quyết định hình thức trình bày sản phẩm.
Các nhóm cử đại diện trình bày sản phẩm, các thành viên trong lớp cùng giáo viên sẽ nhận xét, góp ý và chấm điểm cho từng sản phẩm. Sau đó giáo viên cho học sinh đề xuất những dạng toán mà các em còn gặp nhiều khó khăn khi giải quyết để tiến hành hướng dẫn. Qua mỗi dạng toán giáo viên cần giúp thực hiện được 3 vấn đề sau:
Thứ nhất : Giúp học sinh biết cách lựa chọn mục tiêu, lập được kế hoạch học tập, hình thành cách tự học cho mỗi dạng toán, rút kinh nghiệm và điều chỉnh để có thể vận dụng các dạng toán đã học vào tình huống khác trong quá trình học các khái niệm, kiến thức và kỹ năng toán học cũng như khi thực hành luyện tập hoặc tự lực giải toán, giải quyết các vấn đề có ý nghĩa toán học. (Năng lực tự chủ và tự học)
Thứ hai : Giúp học sinh rèn luyện được các kỹ năng nghe hiểu, đọc hiểu, ghi chép, diễn tả được các thông tin toán học cần thiết trong văn bản toán học; thông qua sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường để trao đổi, trình bày nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác, đồng thời thể hiện sự tự tin, tôn trọng người đối thoại khi mô tả, giải thích các nội dung, ý tưởng toán học. (Năng lực giao tiếp và hợp tác)
Thứ ba: Thông qua các dạng toán giúp học sinh nhận biết được tình huống có vấn đề; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác; biết đề xuất, lựa chọn được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề và biết trình bày giải pháp cho vấn đề; biết đánh giá giải pháp đã thực hiện và khái quát hóa cho vấn đề tương tự. ( Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo )
Sau đây là 4 dạng toán mà các em đã đề xuất.
Dạng toán 1: Xét chiều biến thiên của hàm hợp thông qua dấu đạo hàm của hàm liên kết.
Ví dụ 1.1: Cho hàm số y = f(x) có
f ' ( x) = x.( x - 6)2 ( x - 2) . Xét tính đơn điệu
của hàm số:
g(x) = f (x2 + x)
Nhận xét: Để giải quyết được bài toán này học sinh thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính g’(x).
Bước 2: Giải phương trình: g’(x) = 0. Bước 3: Xét dấu g’(x).
Bước 4: Kết luận.
Thực tế khi thực hiện ở bước 1 rất nhiều học sinh tính
g' ( x) = (2x +1)(x2 + x)(x2 + x - 6)2 (x2 + x - 2) điều này sẽ tạo ra khó khăn khi gặp
những bài toán có biểu thức phức tạp hoặc là giả thiết chỉ cho bảng xét dấu của f’(x) . Vì vậy giáo viên cần định hướng cho học sinh xác định đúng mục têu là xét dấu g’(x).
+. Ta có
Hướng dẫn giải
g '(x) = (2x +1) f '(x2 + x)
é x =- 1
é2x +1 = 0
ê	2
ê
ê x = 0
é2x +1 = 0
+. g ' ( x) = 0 Û ê
ê 2 + x = 0
x
ê
Û
ê x = -1
ê
Û ê x = 2
êë f ' (x2 + x) = 0
ê x2 + x = 6
ê
ê x = -3
êë x2 + x = 2
ê
ê x = 1
ê
ê x = -2
êë
Trong đó các nghiệm x = 2; x= -3 là nghiệm bội chẵn (g’(x) không đổi dấu khi qua nghiệm bội chẵn)
+. Ta có
g' (3) = 7. f ' (9) > 0
nên g’(x) > 0 trên (2; +¥) . Do 2 là nghiệm bội
chẵn nên g’(x) > 0 trên (1;2). g’(x) < 0 trên (0;1) ( Do 1 là nghiệm bội lẻ). Tương tự với các khoảng khác ta có bảng xét dấu g '(x) như sau :
x
-¥
-3

-2

-1

-1/2

0

1


2

+¥
y’
_
0
_
0
+
0
_
0
+
0
_
0
+
0
+

Vậy hàm số đồng biên trên các khoảng: (-2; -1), æ- 1 ; 0 ö, (1; 2), (2; +¥) .
ç	2	÷
è	ø
Hàm số nghịch biên trên các khoảng: ¥ (-¥; -3), (-3; -2), æ-1; - 1 ö, (0;1)
ç	2 ÷
è	ø
Bình luận: Đây là dạng toán quen thuộc mà học sinh đã từng giải quyết. Các em thường gặp khó khăn ở bước xét dấu đạo hàm. Giáo viên cần nhắc học sinh xác định rõ nghiệm nào là nghiệm bội chẵn, nghiệm bội lẽ, đặc biệt là kỹ năng chọn một giá trị phù hợp để xét dấu trên một khoảng rồi từ đó suy ra dấu cho các khoảng còn lại dựa vào tính chất nghiệm bội chẵn hay bội lẻ. ( Trong ví dụ
trên tôi đã hướng dẫn học sinh chọn tính : g' (3) = 7. f ' (9) > 0
nên g’(x) > 0 trên
(2; +¥) từ đó suy ra dấu trong các khoảng còn lại)
Ví dụ 1.2: Cho hàm số đạo hàm như sau:
y = f ( x)
có đạo hàm liên tục trên R và bảng xét dấu
Xét khoảng đơn điệu của hàm số:
g ( x) = 3 f (-x4 + 4x2 - 6) + 2x6 - 3x4 -12x2
Nhận xét: Đối với bài toán này học sinh không thể xác định được biểu thức của g’(x) theo x mà phải thông qua f’(x).
Hướng dẫn giải
Ta có: g¢( x) = -12x (x2 - 2)é f ¢(-2 -(x2 - 2)2 )- (x2 +1)ù.
êë
Dựa vào bảng xét dấu, ta có
úû
f ¢( x) < 0,"x Î(-¥; -2) È(2; +¥).
Ta có
-2 -(x2 - 2)2 £ -2 nên Þ f ¢ é-2 -(x2 - 2)2 ù £ 0.
Suy ra
êë	úû
Î
R.
f ¢ é-2 -(x2 - 2)2 ù -(x2 +1) < 0,"x
ëê	úû
Do đó
g¢( x) = 0 Û éx = 0
êx =± 
ë

, cả 3 nghiệm đều là nghiệm bội lẻ.
2
g' (1) = 12.éë f ' (-3) - 2ùû < 0
Ta có báng xét dấu của g’(x).
x
-¥
- 2

0

2

+¥
g’(x)
_
0
+
0
_
0
+


Vậy hàm số đồng biên trên các khoảng: (-
2; 0),(
2; +¥) .
Hàm số nghịch biên trên các khoảng: (-¥; - 2 ), (0; 2 )
Ví dụ 1.3: Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu đạo hàm hình bên dưới.
Hàm số
y = f (1- 2x) đồng biến trên khoảng
A. æ 0; 3 ö .	B. æ - 1 ;1ö .	C. æ -2; 1 ö .	D. æ 3 ;3ö .
ç	2 ÷
ç	2	÷
ç	2 ÷
ç 2	÷
è	ø	è	ø	è	ø	è	ø
Từ bảng xét dấu
Hướng dẫn giải
f ¢( x) ta có
é x = 2
é1- 2x = -3	ê	3
ê
ê1- 2x = -2
y¢ = -2 f ¢(1- 2x) = 0 Û ê1- 2x = 0
ê x =
ê	2
ê
Û ê x = 1

( trong đó nghiệm

x = 1 là
ê	ê	2	2
nghiệm bội chẵn)
ê1- 2x = 1
êë1- 2x = 3
ê x = 0
ê
ê x = -1
êë
Nghiệm
x = 1
2
là nghiệm bội chẵn, dấu của y¢ không đổi khi qua x = 1	và
2
y, (-3) = -2. f ' (-5) > 0
nên ta có bảng xét dấu y¢ như sau :
x
-¥
-1

0

1/2

3/2


2

+¥
y’
+
0
_
0
+
0
+
0
_
0
+


Þ hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-¥; -1) , æ 0; 3 ö
và (3; + ¥) .
ç	2 ÷
Chọn đáp án A
Bài tập dạng 1.
Bài tập 1.1: Cho hàm số

y = f ( x)
è	ø
có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số y = -2f(x) + 2021 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. (-4; 2) .	B. (-1; 2) .	C. (-2; -1) .	D. (2; 4) .
Bài tập 1.2: Cho hàm số bậc bốn
y = f ( x)
có đồ thị hàm số
y = f ¢( x)
như hình
vẽ bên. Hàm số
g ( x) = f (x2 + x -1)
đồng biến trên khoảng
A. (0;1) .
B. (-2; -1) .	C.
æ -2; - 1 ö .	D. (-¥; -2) .
ç	2 ÷
è	ø
(Trích đề thi thử Toán học tuổi trẻ lần 5 2020)
Bài tập 1.3: Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
đây?
Hàm số
y = f ( x -1) + x3 -12x + 2019
nghịch biến trên khoảng nào dưới
A. (1; +¥) .	B. (1; 2)	C. (-¥;1) .	D. (3; 4).
(Trích đề thi thử trường chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2)
Bài tập 1.4: Cho hàm số y = f ( x) có f '( x) = ( x -1)2 (x2 - 2x) . Có bao nhiêu
số nguyên m £ 20 để g ( x) = f (x2 - 8x + m)
đồng biến trên (4; +¥) ?
A. 3 .	B. 2.	C.1.	D. 4.
Bài tập 1.5: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm
Î
R
f '( x) = x2 ( x + 4)(x2 + 2mx + 9) với "x	. Số giá trị nguyên âm của m để
hàm số g ( x) = f (x2 + 3x - 4) đồng biến trên (1; + ¥) ?
A. 1.	B. 3 .	C. 2 .	D. 4 .
Dạng toán 2: Xét chiều biến thiên của hàm hợp thông qua đồ thị của hàm liên kết.
Đối với dạng toán này học sinh phải thực hiện được các công việc sau:
Lập kế hoạch tự học và mở rộng cho các bài toán khác.
Thành thạo trong việc đọc đồ thị cũng như lựa chọn giả thiết hợp lý.
Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường để trao đổi, trình bày nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với giáo viên cũng như bạn bè.
Nhận biết được tình huống có vấn đề; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác; biết đề xuất, lựa chọn được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề và biết trình bày giải pháp cho vấn đề; biết đánh giá giải pháp đã thực hiện và khái quát hóa cho vấn đề tương tự.
f x
Ví dụ 2.1: Cho hàm số y	liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ
Xét tính đơn điệu của hàm số
g ( x) = f (1- x - x3 ) .
Nhận xét: Đối với dạng toán này học sinh phải thành thạo trong việc đọc đồ thị, khai thác được giả thiết. Từ đồ thị phải tìm được nghiệm của đạo hàm và xác định được dấu của đạo hàm. Thông thường bài toán được thực hiện thông qua 4 bước sau.
Bước 1: Tính g’(x).
Bước 2: Giải phương trình: g’(x) = 0. Bước 3: Xét dấu g’(x).
Bước 4: Kết luận.
Từ đồ thị ta có:
Hướng dẫn giải
êx = 1
f ' ( x) = 0 Û éx = -1
ë
+. g' ( x) = (-1- 2x2 ) f ' (1- x - x3 )
é-1- 2x2 = 0

é1- x - x3 = 1

éx = 0
' (	3 )
+. g' ( x) = 0 Û ê
êë f	1- x - x	= 0
Û ê	3
ë1- x - x = -1
Û êx = 1
ë
+ . g' (2) = (-9) f ' (-9) < 0
nên ta có bảng xét dấu như sau:
x
-¥
0

1

+¥
g’(x)
_
0
+
0
_

Vậy hàm số đồng biên trên các khoảng (0;1) .Hàm số nghịch biên trên các khoảng:
(-¥;0),(1; +¥)
Ví dụ 2.2: Cho hàm số
f (x)
liên tục trên R và có đồ thị của hàm số đạo hàm như
hình vẽ. Tìm các giá trị của m để hàm số y = f (x2 - 2mx + m2 +1) nghịch biến trên
khoảng
æ 0; 1 ö .
ç	2 ÷
è	ø
( Trích đề thi khảo sát đội tuyển HSG trường chuyên Hà Tĩnh 2021)
Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị ta thấy
f '(x) = 0 Û éx = -1 và
êx = 2
ë

f '(x) > 0 Û x > 2
Ta có: y ' = (2x - 2m) f '(x2 - 2mx + m2 +1) = 2(x - m) f '((x - m)2 +1)
éx - m = 0
éx = m
éx = m
ë
ê	ê
y ' = 0 Û ê f '((x - m)2 +1) = 0
Û ê(x - m)2 +1 = -1 Û êx = m +1.
êë(x - m)2 +1 = 2
êëx = m -1
Như vậy
y ' = 0
có 3 nghiệm đơn là m – 1 ; m ; m+1
Dễ thấy :
y '(m + 2) = 2(m + 2 - m) f '((m + 2 - m)2 +1) = 4. f '(5) > 0
Ta có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
x
-¥
m -1
m
m +1
+¥
y '
-
0
+	0
-	0
+
Để hàm số y = f (x2 - 2mx + m2 +1) nghịch biến trên khoảng
é 1 £ m -1	ém ³ 3
æ 0; 1 ö Û ê 2
Û ê	2	.
ç	2 ÷	ê	1	ê 1
è	ø	êm £ 0 <	£ m +1	ê-	£ m £ 0
ëê	2	ëê 2
Ví dụ 2.3: Cho hàm số
y = f (x) . Hàm số
y = f ¢(x)
có đồ thị như hình vẽ sau:
Xét tính đơn điệu của hàm số
g ( x) =
f ( x) - 1 ( x -1)2
2
+. g' ( x) =
f ' ( x) - x +1
Hướng dẫn giải
+. g, ( x) = 0 Û
f ' (