SKKN Một số biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm đạt kết quả tốt trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh

 lớn hơn.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau
ìï y2 - 3xy = 4(1)
ïî
í x2 - 4xy + y2 = 1(2)
-Phân tích: Phương trình đầu của hệ là phương trình bậc nhất với ẩn x nên ta có thể thực hiện rút x theo y rồi thế vào phương trình sau, mặt khác nếu để ý tính đẳng cấp của các phương trình trong hệ thì ta có thể thực hiện thế cụm từ phương trình dưới lên phương trình trên để cân bằng bậc và đưa về phương trình thuần nhất đẳng cấp bậc hai.
-Lời giải: Thế 1 = x2 - 4xy + y2 vào (1) ta có:
y2 - 3xy = 4.(x2 - 4xy + y2 )
Û ( y2 - 3xy) - (4x2 -16xy + 4 y2 ) = 0
Û -3 y2 - 4x2 +13xy = 0 Û (-3y2 + 12xy) + (xy - 4x2 ) = 0
Û -3 y( y - 4x) + x( y - 4x) = 0
Û ( y - 4x)(x - 3 y) = 0 Û é y - 4x = 0 Û é y = 4x
ê x - 3y = 0	ê x = 3 y
ë	ë
+) TH1: Với y = 4x ta có hệ phương trình:
ì y2 - 3xy = 4 Û ì y = 4x	Û ì y = 4x
í y = 4x
í(4x)2 - 3x.4x = 4
í	2 -12x2 = 4
î	î	î16x
Û ì y = 4x
î
ì y = 4x
í4x2 = 4
í
Û ïé x = 1
îë
ïê x = -1
éì x = 1
êî
Û
êí y = 4
êì x = -1
ëî
êêí y = -4
+) TH2: Với x = 3y ta có hệ phương trình:
ì y2 - 3xy = 4 Û ì x = 3y	Û ìx = 3.y
íx = 3y
í y2 - 3.3y.y = 4
í-8x2 = 4 :VN
î	î	î
+) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (1;4), (-1;-4).
-Đánh giá, rút kinh nghiệm:Với hệ phương trình đẳng cấp thì ta phối hợp 2 phương trình của hệ để cân bằng bậc, từ đó dẫn đến 1 phương trình thuần nhất đẳng cấp biến đổi được về tích và sẽ thực hiện thế từng ẩn được.
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau:
ìï x2 - 3x = 2 y
ïî
í y2 - 3 y = 2x
( Trích bài 46c sách giáo khoa nâng cao đại số 10 trang 100)
-Phân tích: Ta có thể rút y từ phương trình đầu rồi thế xuống phương trình sau, tuy nhiên dựa vào tính chất đối xứng của 2 phương trình trong hệ ta có thể giải bằng cách trừ 2 phương trình để đưa về phương trình tích, sau đó giải bằng phương pháp thế.
-Lời giải:
+) Cách 1: Kiểu thế từng ẩn
ì	x2 - 3x	ì	2
ìïx2 - 3x = 2 y
ï y =	2
ï y = x - 3x
í y2 - 3 y = 2x
Û í	Û í	2
x2 - 3x	x2 - 3x
ïî	ï(	)2 - 3.
= 2x
ïî(x2 - 3x)2 - 2.3.(x2 - 3x) = 4.2x
îï	2	2

ï
ì y =

x2 - 3x 2

éì x = 0
êî
êí y = 0
êì x = -1
ï
ì y =
Û
x2 - 3x
2
ì y =
ï
Û
x2 - 3x
2
ï
ïé x = 0
êí y = 2
êî
Û
í
í	í	íê x = -1
êì x = 5
ïê x = 5
ïî x4 - 6x3 + 3x2 + 10x = 0	ïîx( x3 - 6x2 + 3x +10) = 0 ïê
îë
ïê x = 2
ê
î
ê y = 5
ê
êì x = 2
ëî
êí y = -1
+) Cách 2: Phối hợp 2 phương trình bằng phương pháp cộng đại số, thế Lấy (1) - (2) ta có:
(x2 - 3x) - (y2 - 3y) = 2 y- 2 x Û x2 - y2 - 3x + 3y - 2 y + 2x = 0
Û x2 - y2 - x + y = 0 Û (x - y)(x + y) - (x - y) = 0
ê
Û (x - y)(x + y -1) = 0 Û é x - y = 0
x + y -1 = 0
é y = x
Û
ê y = 1- x
ë	ë
+) TH1: y = x ta có hệ phương trình:
ì y = x
î
í y2 - 3y = 2x

Û ì y =x
íx2 - 3x = 2x
î

Û ì y = x
î

ì y = x
íx2 - 5x = 0
í
Û ïé x = 0
îë
ïê x = 5
éì x = 0
êî
Û
êí y = 0
êì x = 5
ëî
êí y = 5
+) TH2: y = 1- x ta có hệ phương trình:
éì x = -1
ì y = 1- x
î
í x2 - 3x = 2 y
Û ì y = 1 - x
í x2 - 3x = 2 - 2x
î
Û ì y = 1 - x
î
ì y = 1 - x
í x2 - x - 2 =0
í
Û ïé x = -1
îë
ïê x = 2
êí y = 2
êî
Û
êì x = 2
ëî
êí y = -1
+) Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) là: (0;0), (5;5), (-1;2), (2;-1)
15
-Đánh giá, so sánh lời giải, rút kinh nghiệm:Với hệ phương trình mà có một phương trình là phương trình bậc nhất đối với một ẩn nào đó ta có thể thực hiện kiểu
thế từng ẩn, Với hệ phương trình mà khi đổi vai trò các ẩn cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia (Hệ phương trình đối xứng loại II) ta trừ 2 phương trình cho nhau sẽ đưa về phương trình tích sau đó giải các trường hợp bằng phương pháp thế.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau:
ìxy - x - y = 1 (1)
î
í4x3 + y3 -12x2 + 9x - 6 y = 7 (2)
-Phân tích: Quan sát hệ phương trình ta thấy: phương trình (2) là phương trình bậc cao với cả 2 ẩn x và y. Phương trình (1) là phương trình bậc nhất với riêng ẩn x và ẩn y. Do đó để giải quyết bài toán này ta có thể thực hiện theo một trong 2 hướng:
Hướng 1: Từ phương trình (1) rút ẩn x theo y hoặc y theo x rồi thế vào phương trình (2). Với hướng giải quyết này thì phép biến đổi cồng kềnh phức tạp có thể dẫn tới phương trình bậc cao nghiệm lẻ, khó giải.
Hướng 2: Kết hợp 2 phương trình của hệ để được một phương trình có thể biến đổi về dạng tích. Tuy nhiên nếu cộng hoặc trừ đơn thuần 2 phương trình theo vế thì ta vẫn không giải được. (Đây chính là tình huống có vấn đề).
-Lời giải: Quan sát các hệ số và bậc của các hạng tử có trong phương trình (2) ta cần nhân 2 vế phương trình (1) với -3 rồi cộng với phương trình (2) theo vế ta được:
ìxy - x - y = 1 (1)
î
í4x3 + y3 -12x2 + 9x - 6 y = 7 (2)
Û ìxy - x - y = 1
Û ìxy - x - y = 1
í-3.(1) + (2)
î
Û ìxy - x - y = 1
í4x3 -12x2 +12x + y3 - 3xy - 3y = 4	í4(x -1)3 + y3 - 3xy - 3y = 0
î	î
Û
ìxy - x - y = 1
í4(x -1)3 + y3 - 3xy - 3y(xy - x - y) = 0
ìxy - x - y = 1
Û
í4(x -1)3 + y3 - 3y2 (x -1) = 0
î	î
éì xy - x - y = 1

éì y = 1- x

éì
ï
ê x =
êí

5 + 17
4
êí	êí
êï y = 1+ 17
ìxy - x - y= 1
êî x + y -1 = 0	êîx2 - x + 2 = 0(VN )
êïî	2
Û í	Û	Û	Û ê
î(x + y -1)(2 x- 2 - y)2 = 0
êì xy - x - y = 1
êí2 x- 2 - y = 0
êì y = 2x - 2
êí
2x2 -	+1 = 0
êì
êïx =
5 - 17
4
êëî
êëî	5x
êí
1- 17
êï
ë
êïî y =	2
-Đánh giá, rút kinh nghiệm: Từ kết quả bài toán ta thấy việc rút thế từng ẩn trong bài này là không tối ưu.
1.2.1.3. Hệ phương phương trình có một phương trình giải được
* Hệ phương trình có 1 phương trình biến đổi được về dạng tích
ìïx3 + 4 x2 = yx + 4 y
Ví dụ 6:Giải hệ phương trình sau:
í
10 -y
ïî(x + 3)
= y - x -12
- Phân tích: Quan sát hệ phương trình ta thấy: phương trình đầu là phương trình bậc cao với cả 2 ẩn x và y. Phương trình sau là phương trình bậc có chứa căn thức và hai ẩn x, y . Do đó để giải quyết bài toán này ta xuất phát từ phương trình đầu và làm giảm bậc của nó bằng cách biến đổi về dạng tích.
-Lời giải: ĐK: 10 - y ³ 0
Ta có x3 + 4 x2 = yx + 4 y Û (x3 - xy) + (4 x2 - 4y) = 0 Û (x + 4)(x2 - y) = 0
+)TH1: x=-4 thay vào phương trình sau ta có:
10 -y
10 -y
ì8 - y ³ 0
2
(-4 + 3)
= y - (-4) -12 Û
= 8 - y Û í
î10 - y = (8 - y)
Û y = 6
10 - x2
+) TH2:
y = x2
thay vào phương trình sau ta có:

é x = -3
10 - x2
(x + 3)
= x2 - x -12 Û (x + 3)
= (x - 4)(x + 3) Û ê
êë
10 - x2 = x - 4(VN )
Khi x=-3 ta có y=9
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (-3;9) và (-4;6)
-Đánh giá,rút kinh nghiệm: Bài toán này việc biến đổi về tích phương trình đầu không khó, tuy nhiên do chủ quan và kiến thức cơ bản không chắc nên nhiều em khi giải quên đặt điều kiện xác định, điều kiện khi thực hiện bình phương hai vế của phương trình.
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau:
ìïx2 + 3 x+ 2 + 2 y(2x + 2 y + 3) = 0
ïî
íxy + y2 + 3y +1 = 0
( Chế từ bài 3.51b sách bài tập nâng cao đại số 10 trang 66)
-Phân tích: Quan sát hệ phương trình ta thấy: phương trình đầu là phương trình bậc cao với cả 2 ẩn x và y. Phương trình sau là phương trình bậc nhất với ẩn x. Do đó để giải quyết bài toán này ta có thể thực hiện theo một trong 2 hướng:
Hướng 1: Từ phương trình sau rút ẩn x theo y rồi thế vào phương trình đầu. Với hướng giải quyết này thì phép biến đổi cồng kềnh phức tạp có thể dẫn tới phương trình bậc cao nghiệm lẻ, khó giải.
Hướng 2: Từ phương trình thứ nhất biển đổi về dạng tích của 2 biểu thức bậc nhất với cả x và y. Với hướng giải quyết này ta có thể chuyển hệ phương trình đã cho trở về hệ cơ bản và thực hiện thế được.
íï xy + y2 + 3 y +1 = 0
-Lời giải:Ta có ïì x2 + 3 x+ 2 + 2 y(2x + 2 y + 3) = 0
î
ìïx2 + 3 x+ 2 + 4xy + 4 y2 + 6 y = 0
ïî
Û íxy + y2 + 3y +1 = 0
ìï(x + 2 y)2 + 3(x+ 2 y) + 2 = 0
Û í
ïîxy + y2 + 3y +1 = 0

Û ì(x + 2 y +1)(x+ 2 y+ 2) = 0
íxy + 2y + 3y +1 = 0
î
éìx + 2 y +1 = 0
êî
Û
êíxy + y2 + 3y +1 = 0
êìx+ 2 y+ 2 = 0
ëî
êêíxy + y2 + 3y +1 = 0
éìx = -1- 2 y
êî
Û
êí(-1- 2 y) y + y2 + 3y +1 = 0
êìx = -2 - 2 y
ëî
êí(-2 - 2 y) y + y2 + 3y +1 = 0

éìx = -1- 2 y
êî
Û
êí- y2 + 2 y +1 = 0
êìx = -2 - 2 y
ëî
êêí- y2 + y +1 = 0
éìïx = -3 + 2
2
2
êí
êïî y = 1-
2
êï
êìx = -3 - 2
2
êí
êïî y = 1+
5
êï
Û êìx = -3 +
1- 5
êí
êï y =
êî	2
5
ê
ï
êìx = -3 -
1+ 5
êí
êï y =
êëî	2
-Đánh giá, rút kinh nghiệm:Trong bài này nếu thực hiện giải theo hướng 1 thì sẽ khó hơn vì dẫn tới phương trình bậc bốn có 4 nghiệm lẻ. Ngoài ra để làm giảm bậc của một phương trình trong hệ ta biến đổi nó về dàng tích bằng cách biến đổi hằng đẳng thức, tách nhóm thêm bớt hoặc xem phương trình đó là phương trình bậc 2 một ẩn rồi tính đen ta( đen ta có dạng bình phương).
* Hệ phương trình có 1 phương trình biến đổi được về dạng tích nhờ kỹ năng Delta chính phương
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình sau:
ìï3x2 - 3 x y + 3 y2 - 9x + 3y + 4 = 0 (1)
í
ïî3 y2
– 6xy + 2x -10 y + 3 = 0 (2)
-Phân tích: Ta nhận thấy phương trình (1) bậc hai với x và y, nhưng phương trình
(2) là bậc nhất với ẩn x nên ta có thể có các hướng giải sau:
Hướng 1: Rút x từ phương trình (2) thế vào phương trình (1), hướng này biến đổi phức tạp, mất thời gian, dễ nhầm lẫn và dẫn tới phương trình bậc cao nghiệm lẻ.
Hướng 2: Từ một trong 2 phương trình ta biến đổi về dạng tích để làm giảm bậc để việc thế đơn giản và tránh dẫn tới phương trình bậc cao. Nhưng vấn đề là biến đổi phương trình nào về tích? Để trả lời cho câu hỏi này ta sử dụng kỹ năng ''đặc biệt hóa''. Nhận thấy nếu một trong hai phương trình đưa được về tích thì nó phải đúng
với mọi x, y. Nên ta đặc biệt hóa nó với x=0 thì (1) trở thành 3y2 + 3y + 4 = 0 (VN),
(2) trở thành 3y2 -10y + 3 = 0 Û (3y -1)( y - 3) = 0 . Vì vậy ta có thể biến đổi (2) thành
tích nhờ kỹ năng Delta chính phương.
-Lời giải:
3y2 - 6xy + 2x -10 y + 3 = 0 Û 3y2 - 2(3x + 5) y + (2x + 3) = 0
x
D = 9x2 + 24x +16 = (3x + 4)2
é y = 3x + 5 - (3x + 4) = 1
ê
Do đó 3 y2 - 2(3x + 5) y + (2x + 3) = 0 Û ê
3	3
3x + 5 + (3x + 4)
ê y =	= 2x + 3
ëê	3
é x = 2
+) Với
y = 1 thay vào (1) ta có 3x2 -10x + 16 = 0 Û ê	3
ê
ê
3	3	ê x = 8
ë	3
+) Với y= 3x+3 thay vào (1) ta có: 15x2 + 27x + 31 = 0 (