SKKN Khai thác vẻ đẹp toán học trong dạy học chủ đề thể tích khối đa diện góp phần phát triển năng lực và phẩm chất học sinh Lớp 12

thấy ví dụ 1 là nền tảng cơ bản. Nên cuộc sống muốn phát triển thêm cần có nền tảng tốt và biết vận dụng nền tảng đó.
Các năng lực toán học có cơ hội phát huy qua hoạt động Ví dụ 4 này là
Năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực ngôn ngữ được phát huy thông qua làm việc giữa GV với HS, giữa các học sinh với nhau, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy và lập luận toán học thông qua điều ứng chia tứ diện thành 3 khối tứ diện : ABCG, ACDG, ADBG và áp dụng ví dụ 1 để giải, năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán thông qua vẽ hinh không gian.
Ví dụ 5: (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 của tỉnh Nghệ An năm 2010-2011)
Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua trọng
tâm G của tứ diện, cắt các cạnh
SA, SB, SC lần lƣợt tại
A', B', C ' (khác điểm S).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Q =	1	+
SA'.SB '
1	+
SB '.SC '
1
SC '.SA'
GV: Nhìn vào
Q =	1	+
SA'.SB '
1	+
SB '.SC '
S
C'
A'
G
B'
S'
1	là
SC '.SA'
biểu thức hoàn toàn mới lạ, học sinh gặp trở ngại,
không có liên quan đến thể tích và tỉ số các thể tích,	C A
điều ứng xây dựng sơ đồ mới để quy lạ về quen
GV: Làm thế nào để sử dụng bài tập 3? Có cách	B
nào để chia khối tứ diện SABC thành các khối tứ diện thành phần?
HS: Có thể chia tứ diện SABC thành 3 khối tứ diện : SS’AB, SS’BC, SS’CA và áp dụng Ví dụ 1 để giải.
Gọi
S ' là trọng tâm của tam giác ABC suy ra SG đi qua
S ' và
SG = 3 (đây là bài
SS '	4
toán cần được chứng minh)
Gọi V , V '
ABC nên
lần lƣợt là thể tích của
SABC, SA' B'C ' . Vì
S ' là trọng tâm của tam giác
dt(DS ' AB) = dt(DS ' BC) = dt(DS 'CA) Þ V	= V	= V	= V
SS ' AB	SS ' BC	SS 'CA	3
Áp dụng công thức tính tỉ số về thể tích ta có
VSGA' B ' = SG . SA'. SB ' = 3 . SA'. SB ' Þ V
= 3 . SA'. SB '.V
= 1 . SA'. SB' .V
VSS ' AB
SS '
SA SB
SA SB
SGA' B '
4 SA SB
SS ' AB
4 SA SB
tƣơng tự: V
= 1 . SB '. SC '.V ,	V
= 1 . SC '. SA'.V
SGB 'C '
4 SB	SC
SGC ' A'
4 SC	SA
Để	có	đƣợc	thể	tích	V '	ta	phải	cộng	thể	tích	của	3	khối
VSGA' B' ,	VSGB' C' ,
V ' = V	+ V
VSGC' A'
+ V

Þ V ' = 1 æ SA'. SB ' + SB '. SC ' + SC '. SA' ö
   
SGA' B '
SGB 'C '	SGC ' A'
V	4 ç SA SB	SB	SC	SC	SA ÷
è	ø
è	ø
SA'. SB '. SC ' = 1 æ SA'. SB ' + SB '. SC ' + SC '. SA' ö
SA SB	SC	4 ç SA SB	SB	SC	SC	SA ÷
Þ SA +
SA'
SB +
SB '
SC SC '
= 4 Þ
1 +
SA'
1 +
SB '
1	= 4
SC '	a
(SA = SB = SC = a)
GV: Ta chỉ mới có đẳng thức	1 +
SA'
1 +
SB '
1	= 4
SC '	a
không đổi, tiếp tục gặp trở
ngại, làm thế nào để có đƣợc biểu thức
Q =	1	+
SA'.SB '
1	+
SB '.SC '
1	?
SC '.SA'
Liên quan giữa tổng và tích, giáo viên định hƣớng cho học sinh tiếp cận bất đẳng
thức: Với
a,b,c là các số dƣơng. Chứng minh rằng (ab + bc + ca ) £ 1 (a +b +c )2
3
Áp dụng bài toán cho các số	1 ;
SA'
1 ;
SB '
1
SC '
ta đƣợc:
1	1	1	1 æ 1	1	1 ö2	16
Q =	+	+	£	ç	+	+	÷ =	2
SA'.SB '	SB '.SC '	SC '.SA'	3 è SA'	SB '	SC ' ø	3a
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q = 16
3a2

khi
SA' = SB ' = SC ' = 3a
4

. Khi đó (P) đi
qua G và song song với mặt phẳng (ABC).
Đây là bài toán hoàn toàn xa lạ với học sinh, nhƣng GV điều ứng để đƣa về sử dụng bài toán quen thuộc (Ví dụ 1). Để giải đƣợc bài toán này HS cần có KT và KN vững vàng, vì cần huy động một số bài toán cơ bản
Các năng lực toán học có cơ hội phát huy qua hoạt động Ví dụ 5 này là
Năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực ngôn ngữ được phát huy thông qua làm việc giữa GV với HS, giữa các học sinh với nhau, đặc biệt năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy và lập luận toán học đƣợc phát huy thông qua điều ứng chia tứ diện SABC thành 3 khối tứ diện : SS’AB, SS’BC, SS’CA áp dụng Ví dụ 1, sự phân
tích, lập luận, tính toán và rút ra hệ thức	1 +
SA'
1 +
SB '
1
SC '
= 4 , sau đó áp dụng bất
a
đẳng thức, năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán thông qua vẽ hình không gian bằng phần mềm toán hoc sketchpad.
Một sự vận dụng khác của Ví dụ 1 mở rộng cho hính chóp tứ giác
Ví dụ 6: (Sách bài tập hình học năng cao 12 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình bình hành. Mặt phảng (P) cắt Chứng minh rằng:
SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại
K, L, M , N .
1/	SA + SC = SB + SD
SK	SM	SL	SN
2/ Nếu S.ABCD là hình chóp tứ giác ( đáy là tứ giác lồi). Chứng minh rằng:
dt (DBCD). SA + dt (DABD). SC = dt (DACD). SB + dt (DABC ). SD
SK	SM	SL	SN
GV hƣớng dẫn học sinh cách làm
N
M
K
L
D
- Làm thế nào để sử dụng Ví dụ 1?	S
HS: Có thể chia hình chóp S.ABCD thành các
hình chóp S.ABC; S.ACD; S.ABD; S.BCD và áp
dụng bài toán 3 để giải.
GV: Điều ứng và hƣớng dẫn để học sinh biết cách	C
giải quyết vấn đề (dùng máy chiếu trình chiếu các
bƣớc giải quyết vấn đề) tạo ra sơ đồ nhận thức mới
- H1? So sánh diện tích các tam giác	A	B
ABC; ACD; ABD; BCD ?
Các tam giác ABC; ACD; ABD; BCD có diện tích bằng nhau và bằng nửa diện
tích của hình bình hành ABCD .
- H2? So sánh thể tích các hình chóp

S.ABC;

S.ACD;

BD;

CD ?
Các hình chóp
S.ABC;
S.ACD;
BD;
CD có chiều cao bằng nhau và
bằng chiều cao của hình chóp S.ABCD
Do đó V	= V	= V	= V
= 1V	= V
BC	S.ACD	S.ABD	S.BCD
- Áp dụng kiến thức với Ví dụ 1 ta có:
2 S.ABCD	2
VSKLM
= SK . SL . SM ;
VSKMN
= SK . SM . SN ;
VSABC
SA SB SC	VSACD
SA SC SD
Þ VSKLM
VSKMN
= SK . SL . SM + SK . SM . SN ;
VSABC
VSACD
SA SB SC	SA SC SD
Þ VSKLMN
= SK . SL . SM
SK . SM . SN
(1) .Tƣơng tự ta có
V	SA SB SC	SA SC	SD
2
Þ VSKLMN
= SK . SL . SN
SL . SM . SN ;	(2)
V	SA SB SD	SB SC	SD
2
Từ (1) và (2) suy ra
SK . SL . SM
SK . SM . SN
= SK . SL . SN
SL . SM . SN (3)
SA SB SC	SA SC SD	SA SB SD	SB SC SD
- H3? Để làm xuất hiện đẳng thức cần chứng minh ta cần nhân 2 vế đẳng thức với lƣợng nào?
Nhân 2 vế của đẳng thức (3) với tích
SA . SB . SC . SD ta đƣợc đẳng thức cần
SK SL SM SN
chứng minh: SA + SC
= SB + SD
SK	SM	SL	SN
2/ Bằng cách cộng thể tích thành phần ta có:
VS.KLM
+VS.KMN
= VS.KLN +VS.LMN
(4)
Áp dụng kiến thức với bài tập 3 ta có:
VSKLM
= SK . SL . SM Þ V
= SK . SL . SM .V
;	Tƣơng tự ta có:
VSABC
SA SB SC
SKLM
SA SB SC
SABC
V	= SK . SM . SN .V	;V
= SK . SL . SN .V	;V
= SL . SM . SN .V
SKMN
SA SC SD
SACD	SKLN
SA SB SD
SABD	SLMN
SB SC SD
SBCD
Thay vào (4) rồi nhân 2 vế của đẳng thức vừa nhận đƣợc với
SA . SB . SC . SD ta
SK SL SM SN
đƣợc đẳng thức V	. SA + V
. SC = V	. SB + V
. SD
CD SK
S.ABD SM	S.ACD SL
S.ABC SN
Þ dt (DBCD). SA + dt (DABD). SC = dt (DACD). SB + dt (DABC ). SD
ta có điều
SK	SM	SL	SN
cần chứng minh.
- Đặc biệt hóa các trƣờng hợp
- Nếu ABCD là hình bình hành thì các tam giác ABC; ACD; ABD; BCD có diện
tích bằng nhau từ đó ta có đẳng thức: SA + SC
= SB + SD
SK	SM	SL	SN
Nhƣ thế ý 1 là trƣờng hợp đặp biệt của ý 2
- Nếu
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ta lại có đẳng thức:	1 +	1
= 1 + 1
SK	SM	SL	SN
Sự thể hiện phong phú, đa dạngcủa các bài toán, là tổng quát hóa bài toán, đặc biệt hóa bài toán.
Các năng lực toán học có cơ hội phát huy qua hoạt động Ví dụ 6 này là
Năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy và lập luận toán học thông qua phân
tích, so sánh diện tích các tam giác ABC; ACD; ABD; BCD , phân tích so sánh thể
tích các hình chóp
S.ABC;
S.ACD;
BD;
CD, Điều ứng và đồng hóa
kiến thức với Ví dụ 1, năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán thông qua vẽ hình không gian, năng lực tự học, tự làm việc độc lập, tự giải quyết vấn đề thông qua việc làm bài tập đƣợc giao, năng lực sáng tạo thông qua hoạt động tổng quát hóa và đặc biệt hóa.
Ví dụ 7. (Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12) Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm cạnh SC, mặt phẳng (P) qua AM, song song với BD chia khối chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
S
M
E
D
I
F
O
C
A	B
Gọi O = AC Ç BD
AM cắt SO tại I, kẻ qua I đƣờng thẳng song song với BD cắt SB và SD tại F và E. Thiết diện mà (P) cắt khối đa diện là tứ giác AEMF.
Gọi: V = V	,V = V
,V = V	,V = V	= V
= V . Vì M là trung điểm của SC
1	S .AEF	2
S.EF
S. ABCD	0
SABD	S.CBD	2
cho nên I là trọng tâm của tam giác SAC suy ra:
SE = 2
(1)
SE	SF	SI	2
SO	3
Nếu EF // BD thì ta có tỉ số:	=	=	=	do (1). Áp dụng kiến Ví dụ 1, ta có:
V1 = SA . SE . SF =
2 2	4
=
1. .
SD	SB	SO	3
(2)
. .	=
V0	SA SD SB
3 3	9
Và:
V2 = SE . SF . SM
= 2 2 1	4 = 2
(2)
V0	SD SB SC
3 3 2	18	9
Lấy (1) + (2) vế với vế:
V1 +V2 = 4 + 2 = 6 = 2 Û V
= V +V
= 2 V
= 1V
V0	9	9	9	3
S .AEMF
1	2	3 0	3
Do đó thể tích phần còn lại là: V - V
= 2 V . Tỉ số hai thể tích là:
VS .AEMF
= 1 3 = 1
3	3	VAEMF A.BCD
3 2	2
Các năng lực toán học có cơ hội phát huy qua ví dụ 7 này là
Năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giao tiếp thông qua thảo luận và tranh luận, diễn đạt, viết tỉ số thể tích các hình chóp thành công thức tính toán, năng lực giải quyết vấn đề toán học bằng cách lựa chọn đề xuất đƣợc phƣơng án giải quyết mới là phân chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác để giải quyết, năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán thông qua vẽ hình không gian.
Tăng cƣờng khai thác tính thực tiễn của Toán học thông qua các mô hình Toán học những bài toán có nội dung thực tế.
Cơ sở và mục đích của biện pháp
dụng.
Môn Toán có tính trìu tƣợng cao độ, tính logic, tính TN và thực tiễn phổ
Tác giả Trần Kiều [15] cho rằng: “Học Toán trong nhà trƣờng phổ thông
không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức định lý, phƣơng pháp thuần túy mang tính lý thuyết,  cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải đạt tới là hiểu nguồn gốc thực tiễn của toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen ứng dụng toán học vào cuộc sống.
Theo tâm lý học sƣ phạm, trong thực tiễn DH việc dạy cho HS có khả năng mô hình hóa các mối quan hệ đã phát hiện, cũng nhƣ có khả năng sử dụng mô hình đó để tiếp tục phân tích đối tƣợng là việc làm cần thiết nhằm phát triển trí tuệ cho học sinh, phát triển năng lực mô hình hóa Toán học và năng lực giải quyết vấn đề.
Việc học toán ở THPT cần rèn luyện các khả năng ứng dụng