SKKN Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn

số f (x) liên tục trên éë0; 2ùû và thỏa mãn điều kiện
2
f (x) + f (2 - x) = 2x . Tính tích phân I = ò f (x)dx .
0
Hướng dẫn:
Cách 1:(Dùng công thức)
Với f (x) + f (2 - x) = 2x

ta có

A = 1;

B = 1
Suy ra:

2
I = ò f (x)dx
0
= 1 2	=
1	ò 2xdx+ 1
0
2
x2
2
= 2 .
0
Cách 2: (Dùng phƣơng pháp đổi biến )
2	2	2
Từ f (x) + f (2 - x) = 2x Þò f (x)dx + ò f (2 - x)dx = ò 2xdx = 4 (*)
0	0	0
Đặt u = 2 - x Þ du =- dx ; Với x = 0 Þu = 2 và x = 2 Þ u = 0 .
2	2	2
Suy ra
ò f (2 - x)dx = ò f (u)du = ò f (x)dx .
0	0	0
2	2
Thay vào (*), ta đƣợc 2 ò f (x)dx = 4 Û ò f (x)dx = 2 .
Ví dụ 2. Cho hàm số
0
f (x)

liên tục trên
0
éë0;1ùû thỏa mãn
f (x) = 6x2 f (x3 ) -	6	.
Tính

3x + 1
1
ò f (x)dx.
0
Hướng dẫn:
3x + 1
Cách 1: (Dùng công thức)
Biến đổi
B = -2 .
f (x) = 6x2 f (x3 ) -	6	Û
f (x) - 2.3x2. f (x3 ) = -	6	
với
A = 1,
Áp dụng công thức ta có:

3x + 1
1
ò f (x)dx =
 	1	1	-6	
3x + 1
ò
1 + (-2)
dx = 4 .
0	0
Cách 2: (Dùng công thức biến đổi)
3x + 1
3x + 1
ò	ò	ò
Từ
f (x) = 6x2 f (x3 ) - 	6	 Þ 1 f (x)dx - 21 3x2 f (x3 )dx = -61 	1	 dx
0	0	0
Đặt u = x3 Þ du = 3x2dx
; Với x = 0 Þ u = 0 và
x = 1 Þ u = 1.
Khi đó
ò3x2 f (x3 )dx = ò f (u)du = ò f (x)dx thay vào (* ) , ta đƣợc:
1	1	1
0	0	0
1	1	1	1	
ò f (x)dx - 2ò f (x)dx = -6ò
0	0	0
dx Û ò f (x)dx = 6ò
3x + 1
1	1	1	
0	0
dx = 4 .
3x + 1
Ví dụ 3. Xét hàm số f (x) liên tục trên éë-1; 2ùû và thỏa mãn
2
f (x) + 2xf (x2 - 2) + 3 f (1 - x) = 4x3 . Tính tích phân
ò f (x)dx .
-1
Hướng dẫn:
Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)
Với: f (x) + (2x) f (x2 - 2) + 3 f (1 - x) = 4x3 . Ta có:
ìïu(-1) = -1
í
.
A = 1; B = 1;C = 3 và u = x2 - 2 thỏa mãn
Khi đó áp dụng công thức có:
ïîu(2) = 2
2
I = ò f (x) =
-1
 	1	2
ò 4x3dx =
1 + 1 + 3 -1
2
x4
5
= 3 .
-1
Cách 2: (Dùng phƣơng pháp đổi biến)
Từ f (x) + 2xf (x2 - 2) + 3 f (1 - x) = 4x3 .
2	2	2	2
Þ ò f (x)dx + ò 2x. f (x2 - 2)dx + 3 ò f (1 - x)dx = ò 4x3dx
(* )
-1	-1	-1	-1
+) Đặt u = x2 - 2 Þ du = 2xdx ; với
x = -1 Þ u = -1 và
x = 2 Þ u = 2 .
Khi đó
ò 2x. f (x2 - 2)dx = ò f (u)du = ò f (x)dx
(1)
2	2	2
-1	-1	-1
+) Đặt t = 1- x Þ dt = -dx ; Với x = -1 Þ t = 2
và x = 2 Þ t = -1 .
Khi đó

2	2	2
ò f (1 - x)dx = ò f (t )dt = ò f (x)dx
(2)
-1	-1	-1
2	2
Thay (1),(2) vào (* ) ta đƣợc: 5 ò f (x)dx = 15 Þ ò f (x)dx = 3 .
-1	-1
Phƣơng pháp:
Lần lƣợt đặt t = u(x) và t = v(x) để giải hệ phƣơng trình hai ẩn (trong đó có ẩn f (x) ) để suy ra hàm số f (x) (nếu u(x) = x thì chỉ cần đặt một lần t = v(x)).
Các kết quả đặc biệt:
Cho A. f (ax + b) + B. f (-ax + c) = g (x) với A2 ¹ B2 ) khi đó
f (x) =
A.g ç
æ x - b ö
è
a
÷
ø
B.g
æ x - c ö
ç
è
-a
÷
A2 - B2
ø (*)
+ Hệ quả 1 của (*): A. f (x) + B. f (-x) = g (x) Þ f (x) =
+ Hệ quả 2 của (*): A. f (x) + B. f (-x) = g (x) Þ f (x) =
chẵn.
A.g (x) - B.g (-x)
A2	2
 g (x)
B
A + B
với g (x) là hàm số
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3:
Ví dụ 1. Cho hàm số
y = f (x)

liên tục trên và
f (x) + 2 f ç	÷ = 3x . Tính
2 f (x)
æ 1 ö
ò

dx .
Hướng dẫn: Đặt, t = 1 Þ x = 1
x	t

khi đó điều kiện trở thành
è x ø	1	x
2
æ 1 ö
ç	÷ + 2 f
3
) + f æ 1 ö = 3 .
ç	÷
è t ø	t	è x ø	x
ay 4 f (x) + 2 f æ 1 ö = 6 , kết hợp với điều kiện f (x) + 2 f æ 1 ö
ç	÷	ç	÷

è x ø	x


è x ø

f	(t ) =	Þ 2 f (x
H

ò x
= 3x . Suy ra :
6	f (x)	2 
2 f (x)
2 æ 2 
ö	æ -2
ö 2	3
1
2	ò
3 f (x) =	- 3x Þ	=	-	Þ
x	x	x	1
dx = ç
x	1 è
2 - 1÷ dx = ç
ø	è x
- x ÷ 1 =	.
ø	2
2	2	2
y = f x
é 1	ù
æ 1 ö	3
f x
Ví dụ 2. Cho hàm số	( )
3 f (x)
liên tục trên ê
ë
; 3ú
3
û
thỏa mãn	( ) + x. f ç	÷ = x
è x ø
x .
1
Tính tích phân I = ò x2 + x dx.
3
Hướng dẫn: + Đặt
x = 1 Þ dx = - 1 dt .
t	t2
+ Đổi cận:
x = 1 Þ t = 3; x = 3 Þ t = 1 .
3	3
1	æ 1 ö	æ 1 ö
3 f (x)
3 f ç t ÷ 1
3 f ç t ÷
1
+ Ta có I =
dx = -
è	ø .	dt =
è	ø dt . Suy ra:
ò x2 + x
ò 1	1 t2
ò t + 1
1
3	+
3	t2	t	3
æ 1 ö	æ 1 ö
2I =
3 f (x)
ò x2 + x
3
dx + ò
f ç	÷	3
x
dx	ò
è	ø	=
x + 1
f (x) + x. f ç	÷
(	)
è x ø dx =
.
x x + 1
1	1	1
3	3	3
= 3 x (x - 1)(x + 1)	3
16	8
ò	dx = ò(x - 1)dx =	Þ I =	.
1	x (x + 1)	1	9	9
3	3
Ví dụ 3. Cho hàm số
p
2
f (x)
liên tục trên thỏa điều kiện
f (x) + f (-x) = 2sin x . Tính
ò f (x)dx.
-p
2
A. -1 .	B. 0 .	C. 1 .	D. 2 .
Hướng dẫn: Chọn B
p
2

p	p	p	p
Giả sử
I = ò
p
f (x)dx . Đặt t = -x
Þ dt = -dx ,
x = -	® t =
2	2
x =	® t = -	.
2	2
-
2
-p	p
2	2
Khi đó
I = - ò
p
f (t )dt = ò
-p
f (t )dt .
Suy ra

2I =
2	2
p
2
ò éë f (x) + f (-x)ùû dx =
-p
2
p
2
ò 2 sin xdx = 0 Þ 2I = 0 Þ I = 0
-p
2
π 4
Ví dụ 4. Cho hàm số
f ( x) liên tục trên	và 3 f (-x) - 2 f ( x) = tan2 x . Tính
ò f ( x)dx .
π
4
A. 1- π .	B.
2
π -1 .	C.
2
1+ π .	D.
4
2 - π .
2
Hướng dẫn: Chọn D
π
4

p
4 æ	1	ö

π	π	æ	π ö	π
Cách 1: Ta có	tan2 xdx =	-1 dx
= (tan x - x) 4 = 1-	- -1+	= 2 -
ò	ò ç cos2 x	÷
-π	4	ç	4 ÷	2
π	-
4
π
4
Þ	π
p è	ø
4
4	è	ø
2
2 -	= ò éë3 f (-x) - 2 f ( x)ùû dx .
π 4
Đặt t = -x Þ dt = -dx , đổi cận
x = - π Þ t = π ,
4	4
x = π Þ t = - π .
4	4
π	π	π
4	4	4
ò ëé3 f (-x) - 2 f ( x)ùû dx = ò éë3 f (t ) - 2 f (-t )ùû dt = ò éë3 f ( x) - 2 f (-x)ùû dx
π	- π	- π
4	4	4
π	π	π	π
4	4	π	4	π	4
Suy ra, ò f ( x)dx = ò f (-x)dx Þ 2 - 2 = ò éë3 f ( x) - 2 f ( x)ùû dx Û 2 - 2 = ò
f ( x)dx
π	- π	- π	- π
Vậy
4	4	4	4
π
4
ò
f ( x)dx = 2 - π
π	2
-
4
Cách 2: (Trắc nghiệm)
Chọn f ( x) = f (-x) = tan2 x
(Thỏa mãn giả thiết). Khi đó
π	π	π
4	4	2	4 æ	1	ö	p
ò f ( x)dx = ò tan x dx = ò ç cos2 x -1÷dx = 2 - 2
π	π	π è	ø
-	-	-
4	4	4
Bài toán: Cho f
( )
x . f a + b - x =
(
)
k , khi đó I =
2
b
ò
a
 	dx	b - a
k + f (x)	2k
=
Chứng minh:
Đặt t = a + b - x Þ ï
ìdt = -dx
í f (x) =
và x = a Þ t - b ; x = b Þ t = a .
ï
î
k2
f (t )
Khi đó I =
ò
a
b	dx	b	dx	
k + f x
( )
=
ò
a k +
1 b f (x)dx 
k2
f (t )
=
k	k + f x
ò
.
a
( )
2I = ò
a
b	dx	
k + f (x)	k	k + f (x)	k
+
1 b f (x)dx 
ò
=	òdx =	(b - a) Þ I =
1 b
1
b - a
2k
.
a
a
k
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4:
Ví dụ 1. Cho hàm số
f (x)
liên tục và nhận giá trị dƣơng trên
éë0;1ùû . Biết
1	dx	
1 + f (x)
f (x). f (1 - x) = 1 với "x Î éë0;1ùû . Tính tích phân I = ò	.
0
Hướng dẫn: Ta có: 1 + f (x) = f (x) f (1 - x) + f (x) Þ
1	dx	

 f (x) 
1 + f (x)=

 	1	
f (1 - x) + 1
0
Xét I = ò 1 + f (x) .
Đặt t = 1- x Û x = 1- t
Þ dx = -dt . Đổi cận:
x = 0 Þ t = 1 ;
x = 1 Þ t = 0 .
1	0	0	0
0	dt	
1	dt	
1	dx	
1 f (x)dx
Khi đó
I = -ò 1 + f (1 - t) = ò 1 + f (1 - t) = ò 1 + f (1 - x) = ò 1 + f (x)
1	dx	
1 f (x)dx
1 1 + f (x)	1	1
0	0	0	0
Mặt khác ò 1 + f (x) + ò 1 + f (x) = ò 1 + f (t) dx = òdx = 1 hay 2I = 1 . Vậy
I =	.
2
Ví dụ 2. Cho hàm số
f (x)
liên tục trên , ta có
f (x) > 0 và
f (0). f (2022 - x) = 1.
2022	dx	
.
Giá trị của tích phân I =
ò 1 + f (x)
0
A. I = 2022 .	B.
I = 0.
C. I = 1011.
D. 4044.
Hướng dẫn: Chọn C
2022
 	1	2022 - 0
( )
ta có I = ò
0
dx =
1 + f x
2.1
= 1011.
Ví dụ 3. Cho hàm số
y = f (x)
có đạo hàm, liên tục trên và
f (x) > 0
khi x Î éë0; 5ùû .
Biết
f (x). f (5 - x) = 1,
tính tích phân
5	dx	
I = ò	.
0 1 + f (x)
I = 5 .	B.
4
I = 5 .	C.
3
I = 5 .	D.
2
I = 10 .
Hướng dẫn: Chọn C
Đặt x = 5 - t Þ dx = -dt .

x = 0 Þ t = 5 ;

x = 5 Þ t = 0
0	dt	5 f (t)dt
I = -ò	= ò

(do
f (5 - t ) = 1 )
5 1 + f (5 - t)	0 1 + f (t )
f (t )
ò
Þ 2I = 5 dt = 5
0
Þ I = 5 .
2
Ví dụ 4. Cho
f (x)

là hàm liên tục trên đoạn

é0; aù
ìï
thỏa mãn
f (x). f (a - x) = 1
và
ë	û	í f (x) > 0,"x Î é0; aù
a	dx	ba
îï	ë	û
b
0
ò 1 + f (x) =
, trong đó b , c là hai số nguyên dƣơng và
c
là phân số tối giản. Khi đó
c
b + c có giá trị thuộc khoảng nào dƣới đây?
A. (11; 22).	B. (0; 9).	C. (7; 21).	D. (2017; 2022).
Hướng dẫn: Chọn B
Cách 1. Đặt t = a - x Þ dt = -dx . Đổi cận x = 0 Þ t = a;x = a Þ t = 0.
a	dx	0	-dt	a	dx	a	dx	
a f (x)dx
Lúc đó
I = ò 1 + f (x) = ò 1 + f (a - t ) = ò 1 + f (a - x) = ò
 1	= ò 1 + f (x)
0
0	a	0	0 1 +
f (x)
a	dx	
a f (x)dx	a
Suy ra
Do đó
2I = I + I = ò 1 + f (x) + ò 1 + f (x) = ò1dx = a
0	0	0
I = 1 a Þ b = 1; c = 2 Þ b + c = 3.
2
Cách 2. Chọn
f (x) = 1 là một hàm thỏa mãn các giả thiết.
Dễ dàng tính đƣợc
I = 1 a Þ b = 1; c = 2 Þ b + c = 3.
2
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5: CÓ HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, CÓ CẬN ĐỐI XỨNG.
Phƣơng pháp:	Để giải các bài toán tích phân liên quan đến hàm số chẵn hàm lẻ, ta thƣờng sử dụng phép đổi biến t = -x và kết hợp tính chất của hàm số chẵn (lẻ):
f (x)là hàm số chẵn trên D khi và chỉ khi "x Î D thì f (x) = f (-x);
f (x)là hàm số lẻ trên D khi và chỉ khi "x Î D thì f (x) = - f (-x) .
Ngoài ta cũng hay sử dụng một số tính chất tích phân hàm số chẵn và hàm số lẻ:
Nếu hàm số f x liên tục và lẻ trên đoạn é-a; a
( )
ë
ù thì
û
a
ò
f x dx =0
( )
Nếu hàm số f (x)liên tục và chẵn trên đoạn éë-a; aùû thì
- a
a
0
a
-a
ò f (x)dx =2 ò f (x)dx =2ò f (x)dx
Nếu hàm số f (x)liên tục và chẵn trên đoạn éë-a; aùû và b > 0,b ¹ 1 thì
-a
0
a f (x)
1 a
-a 1 + b
ò
x dx =
2 -a
ò
f x dx = f x dx
0
( )
ò
a
( )
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f (x)
2	4
là hàm lẻ và liên tục trên
éë-4; 4ùû biết

0
ò f (-x)dx = 2 và
-2
ò f (-2x)dx = 4 . Tính
1
I = ò f (x)dx .
0
Hướng dẫn:
Cách 1: Sử dụng công thức:

x2
ò f (ax + b)dx =
x

1 x2
ò (	)
f ax dx
a x

và tính chất

a
ò f (x)dx = 0
-a
1	1
với
f (x)
là hàm số lẻ trên đoạn éë-a; aùû .
Áp dụng, ta có:
2
ò
4 =	f (-2x)dx = - 1
1	2
-4 f (x)dx = 1
ò-
2
2

-2 f (x)dx Û
-2 f (x)dx = 8 .
ò-
ò-
4
4
0	0	2	Û	2
2 = ò f (-x)dx = -ò f (x) = ò f (x)	ò f (x) = 2
-2
Suy ra:
2	0	0
4
0 = ò f (x)dx = ò-2 f (x)dx + ò0 f (x)dx + ò4 f (x)dx
-4	-4	-2	0
Û 0 = 8 + (ò2 f (x)dx - ò2 f (x)dx)+ I Û 0 = 8 + (0 - 2) + I Û I = -6 .
-2	0
0
Cách 2: Xét tích phân
ò f (-x)dx = 2 .
-2
Đặt -x = t Þ dx = -dt .
0	0
Đổi cận: khi x = -2 thì t = 2 ; khi