SKKN Giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối từ một hoạt động trong sách giáo khoa

= k ( x) + m
cũng có ba điểm cực trị nên hàm số y =
f ( x) - g ( x) + m có
đúng năm điểm cực trị khi phương trình bội lẻ).
k ( x) + m = 0
có đúng hai nghiệm đơn (hoặc
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
y = k ( x) , phương trình
k ( x) + m = 0
có đúng hai
nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) khi và chỉ khi
-m ³ 7 Û m £ - 7 .
Vì m Î	,
m £- 7
4

và m Î(-5;5) nên
4	4
mÎ{-4; -3; -2}.
Bài 1.3.6. Cho f ( x) là hàm số bậc bốn thỏa mãn f (0) =- 1
. Hàm số
f ¢( x) có
ln 2
bảng biến thiên như sau:
Hàm số
g ( x) = ç f (-x2 ) - x2 +
2x2 ö
æ
2
÷
có bao nhiêu điểm cực trị?
Giải:
è
2x2
ln 2 ø
1
Đặt
h ( x) = f -x2 - x2 +	. Ta có
(	)
ln 2
h (0) = f (0) +	= 0 .
ln 2
ë	û
h¢( x) = -2x × f ¢(-x2 ) - 2x + 2x × 2x2 = -2x é f ¢(-x2 ) +1- 2x2 ù ,
é x = 0
ë
h¢( x) = 0 Û ê f ¢(-x2 ) = 2x2 -1 (*) .
Đặt
t = -x2, t £ 0 . Phương trình (*) trở thành:
f ¢(t ) = u (t ) , với u (t ) = 2-t -1
Từ đồ thị ta thấy phương trình
f ¢(t ) = u (t ) Û t = t0 , với t0 < -1.
0
Từ đó, phương trình (*) Bảng biến thiên
Û -x2 = t Û x = ±	.
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số
g ( x) = éëh ( x)ùû2
có 5 điểm cực trị.
Bài toán tìm cực trị của hàm số
y = f (| x |)
Giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề qua bài toán cụ thể.
Bài 2.1.1. Cho hàm số
Cách giải 1:
y = x2 - 4 x + 3 , hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
y ' = 2x - 4
x
| x |
= 0 Û é x = -2
ê x = 2
ë
y ' không xác định tại x = 0
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên hàm số
Cách giải 2:
y = x2 - 4 x + 3 có 3 điểm cực trị.
Xét hàm số f (x) = x2 - 4x + 3 ta có đồ thị hàm số là:
Do đồ thị hàm số
y = x2 - 4x + 3
cắt trục oy tại điểm có tung độ
y = 3
nên ta có đồ
-t0
thị của hàm
y = f (| x |) = x2 - 4 x + 3
là :
Dựa vào đồ thị ta có hàm số
Nhận xét:
y = f (| x |) = x2 - 4 x + 3 có 3 điểm cực trị
Đồ thị của hàm số
y = x2 - 4 x + 3
đối xứng qua trục tung nên số điểm cực trị
là lẻ và bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm
y = x2 - 4x + 3
cộng với 1.
Số điểm cực trị của hàm số
y = x2 - 4 x + 3
bằng hai lần số nghiệm dương của
f '(x) = 0 cộng với 1 ( với f (x) = x2 - 4x + 3 )
Tổng quát: Đồ thị hàm số
y = f ( x )
có bao nhiêu điểm cực trị
f ¢( x ).x
x
Ta có: y = f ( x ) Þ y¢ =
y¢ = 0 Þ f '( x ) = 0(1) ,
y ' không xác định tại điểm
x = 0(2)
Còn số nghiệm của (1)
là hai lần số nghiệm dương của
f '(x) = 0 , (2) chính là một
điểm cực trị của đồ thị trên trục tung.
Vậy tổng hai lần số nghiệm bội lẻ dương của (1) và 1 chính là số cực trị cần tìm.
Suy ra số điểm cực trị của hàm số
f (x) cộng 1.
y = f ( x )
bằng hai lần số điểm cực trị dương của
Vậy để giải bài toán tìm số cực trị hàm số
y = f ( x )
ta tìm số nghiệm dương bội lẻ
của phương trình
f '(x) = 0 , hay tìm số điểm cực trị dương của hàm
y = f ( x)
Bài 2.1.2. Cho hàm số bậc bốn
y = f ( x) . Hàm số
y = f ¢( x)
có đồ thị như hình vẽ
bên. Hàm số
y = f ( x )
có bao nhiêu điểm cực trị?
Giải:
Dựa vào đồ thị có

é x = -1
ê
f ¢( x) = 0 Û ê x = 1
êë x = 3
Bảng biến thiên hàm số
y =
f ( x)

x	-¥

-1

1

3
y '

y '
0
x
0

y '
0
+¥
y







+¥
x
+¥
Ta thấy hàm số
y = f ( x)

có 2 điểm cực trị dương đạt tại

x = 1, x = 3 . Từ nhận xét
suy ra số cực trị hàm số
y = f ( x )
bằng 5.
Bài 2.1.3. Cho hàm số
y = f (x)
đồng biến trên	có đồ thị như hình vẽ. Tìm
số điểm cực trị của hàm số
y = f (2 x - 2)
Giải
x2
g ( x) = f (2 x - 2) Þ g '( x) = (2 x - 2)' f '(2 x - 2) = (2

)
- 2 ' f '(2 x - 2) = x
x

f '(2 x - 2)
x
x
g '( x) = 0 Û	f '(2 x - 2) = 0 Û
f '(2 x - 2) = 0 ( x ¹ 0)
éx = 0
êx = 2
Dựa vào đồ thị ta có
f '(x) = 0 Û ê
êx = 3
ë
êx = 4
é2 x - 2 = 0
ê
ê2 x - 2 = 2
é x = 1
ê
ê x = 2
é x = ±1
ê
ê x = ±2
Þ f '(2 x - 2) = 0 Û ê	Û ê	5 Û ê	5
ê2 x - 2 = 3
êë2 x - 2 = 4
ê x =
ê	2
ë
ê x = 3
ê x = ±
2
ê
êë x = ±3
Ta có bảng xét dấu
Suy ra hàm số
y = f (2 x - 2)
có 9 điểm cực trị.
Nhận xét: Mỗi nghiệm dương của phương trình
f '(2 x - 2) = 0
có một nghiệm âm
tương ứng. Vì thế ta có thể xác định số điểm cực trị hàm số
y = f (2 x - 2)
qua số
nghiệm dương bội lẻ của phương trình	f '(2x - 2) = 0 . Số nghiệm dương bội lẻ của
phương trình là 4 nên số cực trị hàm số
y = f (2 x - 2)
bằng 9.
Bài 2.1.4. Cho hàm số
y = f ( x)
là một hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ
Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x) = f (x2 - x )
Giải
Ta có g ( x) = f (x2 - x ) = f ( x 2 - x ) .
Xét hàm số
h ( x) = f (x2 - x) Þ g(x) = h ( x )
é x = 1	é	1
ê
ê	2	ê x =
Ta có :
h¢( x) = (2x -1) f ¢(x2 - x) = 0 Û êx2 - x = -1 Û ê	2	.
ê x2 - x = 1
ê x = 1± 5
ê
ê	êë	2
ë
Phương trình
h¢( x) = 0
có hai nghiệm bội lẻ dương. Suy ra hàm số
h ( x) =
f (x2 - x)
có 2 điểm cực trị dương, vậy hàm số
g ( x) = f (x2 - x )
có 5 điểm cực trị.
Bài 2.1.5. Cho hàm số
f ( x)
và có
y = f ¢( x)
là hàm số bậc bốn và có đồ thị là
đường cong trong hình bên. Tìm điểm cực trị của hàm số
g(x) = f ( x 3 )- x ?
Giải:
Xét hàm số

h( x) =
f (x3 ) - x Þ g(x) = h( x )
Ta có
h¢( x) = 3x2 f ¢(x3 ) -1,
h¢( x) = 0 Û
f ¢ x3 = 1 
3 t
3 t 2
(	)
3x2
( x ¹ 0)
(1)
Đặt
x3 = t Þ x =	Þ x2 =	.
Khi đó (1)
trở thành:
f ¢(t ) =	1
(2)
33 t 2
33 x2
Vẽ đồ thị hàm số y =
1	, y =
f ¢( x)
trên cùng hệ trục tọa độ Oxy , ta được:
3 a
3 b
Từ đồ thị suy ra phương trình (2) có hai nghiệm
t1 = a > 0 và t2 = b < 0 .
Þ (1)
có hai nghiệm
x =	> 0 và
x =	< 0 .
Bảng biến thiên của
h( x),
g ( x) = h ( x ) .
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số
g ( x) = h( x ) =
f ( x 3 )- x
có ba điểm cực trị.
Nhận xét: Để giải bài toán tìm số điểm cực trị dạng hàm ẩn g ( x) = f (u( x )) + v( x ) ta
tìm số điểm cực trị dương hàm số
h(x) = f (u(x)) + v(x)
và sử dụng phương pháp
biến đổi đồ thị hàm trị tuyệt đối để tìm số cực trị hàm
g ( x) = h ( x ) = f (u( x )) + v( x ) .
Qua các bước ta tìm nghiệm
h '( x) = 0 (bằng phương pháp hàm số , bằng xét tính
chất hàm số, , hay từ các dạng đồ thị hàm số đã được nêu trong sách thì có thể xác định số nghiệm dễ dàng để giải nhanh những bài toán trắc nghiệm như trên).
Sau đó lập bảng biến thiên hàm số h ( x) suy ra bảng biến thiên hàm số h ( x ) . Hay
có thể kết luận số điểm cực trị
g ( x) = h ( x ) = f (u( x )) + v( x )
bằng hai lần số nghiệm
điểm cực trị dương của
h ( x)
cộng với một.
Bài 2.1.6. Cho
f ( x)
là hàm số bậc bốn . Hàm số
f '( x)
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số
g ( x) = f ( x 3 )+ x

có bao nhiêu điểm cực trị?
Hướng dẫn: Xét hàm
h ( x) = f (x3 ) + x
Þ h '( x) = 3x2 f '(x3 ) +1 = 0 Û
f '(x3 ) = -
1
3x2
(*).
Dùng đồ thị thấy
cực trị.
h '( x) = 0
có một nghiệm dương duy nhất, suy ra
g ( x)
có ba điểm
Bài 2.1.7. Cho hàm số
y = f ( x)
có đạo hàm
f ¢( x) = ( x - 2)2 (x2 - 4x + 3) với "x Î	.
Hàm số
g(x) = f ( x2 - 2x )
có bao nhiêu điểm cực trị?
Cách giải 1:
x2 - 2x
f ¢( x) = ( x - 2)2 (x2 - 4x + 3) Þ g '(x) = (2x - 2).(x2 - 2x) .( x2 - 2x - 2)2 ( x2 - 2x 2 - 4 x2 - 2x + 3)
é x = 1
é x = 1
é
2
ê	ê x = 1
ê	1± 
g '(x) = 0 Û ê( x2 - 2x - 2)2 = 0(nghiemkep) Û ê x2 - 2x = 1 Û ê x =

(
ê
ê
ê x2 - 2x 2
ë
- 4 x2 - 2x + 3) = 0
ê
x
ë
ê 2 - 2x = 3
ê	2
ê
ê x = -1
êë x = 3
g '(x)
không xác định tại
x2 - 2x = 0 Û é x = 0
ê x = 2
ë
g '(x) = 0
có 5 nghiệm bội lẻ và 2 điểm ko xác định đổi dấu nên hàm số
g(x) = f ( x2 - 2x )có 7 điểm cực trị.
Cách giải 2:
Xét nghiệm bội lẻ của
f ¢( x) = ( x - 2)2 (x2 - 4x + 3) = 0 Û éx = 1
êx = 3
ë
f '( x2 - 2x = 0 Û ê)
é x = 1
g '(x) =
(2x - 2).(x2 - 2x)
x2 - 2x
é x = 1
êë f '( x2 - 2x ) = 0
ê
Û ê x2 - 2x = 1(1)
ê
ë
ê x2 - 2x = 3(2)
g '(x)

không xác định tại
x2 - 2x = 0 Û é x = 0
ê x = 2
ë
Ta tìm số nghiệm (1) và (2) qua đồ thị hay bảng biến thiên hàm x2 - 2x
Dựa vào đồ thị phương trình (1) , (2) có 4 nghiệm đơn. Vậy
g '(x) = 0
có 5 nghiệm bội
lẻ, 2 điểm không xác định đổi dấu nên hàm số
g(x) = f ( x2 - 2x )
có 7 điểm cực trị.
Nhận xét: Khi gặp bài toán chứa tham số thì việc biện luận số nghiệm từ nhiều phương trình là không đơn giản nên có thể dùng cách giải 2 để biện luận số nghiệm dễ dàng hơn.
Bài toán phát triển có chứa tham số và dạng hàm ẩn chứa tham số.
Bài 2.2.1. Cho hàm số
f ( x) = x4 -12x3 + 30x2 + (4 - m) x
với m là tham số thực. Có
bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số
A. 27 .	B. 31.
g ( x) = f ( x )
có đúng 7 điểm cực trị?
C. 28 .	D. 30 .
( Câu 50 mã 101 đề thi TN THPT đợt 2 năm 2021 – 2022)
Giải:
Xét hàm số
f ( x) = x4 -12x3 + 30x2 + (4 - m) x
Þ f ¢( x) = 4x3 - 36x2 + 60x + 4 - m .
f ¢( x) = 0 Û m = 4x3 - 36x2 + 60x + 4 .
Hàm số
g ( x) = f ( x )
có đúng 7 điểm cực trị
Û Hàm số
f ( x)
có đúng 3 điểm cực trị dương
Û Phương trình
Û Phương trình
f ¢( x) = 0 có 3 nghiệm dương phân biệt
m = 4x3 - 36x2 + 60x + 4 có 3 nghiệm dương phân biệt. (*)
Xét hàm số
h ( x) = 4x3 - 36x2 + 60x + 4 .
Ta có:
h¢( x) = 12x2 - 72x + 60 ;
h¢( x) = 0 Û é x = 1 .
ê x = 5
ë
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có (*) Û 4 < m < 32 .
Vì m Î nên
m Î{5; 6; 7;...;31}. Vậy có 27 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận xét: Đối với dạng bài toán tìm m để hàm
g ( x) = f ( x )
có số điểm cực trị cho
trước ta đưa về tìm theo m số nghiệm dương của phương trình
f ¢( x) = 0 . Theo các
cách giải đã có như: Dùng đồ thị hay bảng biến thiên hàm số, cũng có thể biện luận nghiệm theo định lí về dấu của tam thức nếu có.
Bài 2.2.2. Cho hàm số
f ( x) có
f ¢( x) = x4 -(4m + 3) x3 + (12m +10) x2 - (24 + 8m) x +16
với mọi x Î . Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số
m Î(-2021;10)
để hàm
số g ( x) = f ( x )
có 9 điểm cực trị. Tính tích các giá trị của S ?
Giải:
Ta có

f ¢( x) = x4 -(4m + 3) x3 + (12m +10) x2 - (24 + 8m) x +16 = ( x -1)( x - 2)(x2 - 4mx + 8)
é x = 1
ê
f ¢( x) = 0 Û êx = 2
êë x2 - 4mx + 8 = 0
Để hàm số
g ( x) = f ( x )
có 9 điểm cực trị thì hàm số
f ( x)
có 4 điểm cực trị
dương hay phương trình
f ¢( x) = 0 có 4 ngh