Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tìm hàm đặc trưng trong giải hệ phương trình bằng công cụ hàm số

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Phương pháp tìm hàm đặc trưng trong giải hệ phương trình bằng công cụ hàm số
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 20 tháng 9 năm 2016 đến ngày 15 tháng 05 năm 2016.
4. Tác giả: 
	Họ và tên: Nguyễn Văn Khoa
	Năm sinh: 1983
	Nơi thường trú: Xã Xuân Thành - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định
	Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ toán học
Chức vụ công tác: Phó Hiệu trưởng
Nơi làm việc: Trường THPT Xuân Trường
Địa chỉ liên hệ: Xóm 2 - Xã Xuân Thành - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định
Điện thoại: 0917.842.399
Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến: 
	Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường
	Địa chỉ: Xã Xuân Hồng-Huyện Xuân Trường-Tỉnh Nam Định
	Điện thoại: 03503.886.167
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Phương pháp tìm hàm đặc trưng trong giải hệ phương trình bằng công cụ hàm số
I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN 
	Hệ phương trình là một chủ đề rất quan trọng trong các chủ đề toán học ở trường trung học phổ thông. Trong những năm gần đây, bài toán hệ phương trình trong các kỳ thi đại học (bây giờ là thi THPT Quốc gia), kỳ thi học sinh giỏi, thi khảo sát chất lượng của các Sở giáo dục, của các trường trên toàn quốc xuất hiện với tần suất rất lớn và ngày càng đa dạng về nội dung và phương pháp giải. Các bài toán được các tác giả ra đề khéo léo giấu đi những tính chất quen thuộc nên học sinh thường gặp nhiều khó khăn để tìm ra cách giải quyết bài toán.
	Hệ phương trình có mặt trong các đề thi toán 12 thường có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải quyết. Người ra đề cũng dựa vào những hàm cơ bản mà biết trước được tính đơn điệu của nó trên hoặc trên một miền nào đó để chọn làm hàm đặc trưng. Khi đã chọn được hàm đặc trưng, người ta chọn tiếp hai biến u, v (với độ phức tạp tùy ý) để gắn vào phương trình dạng và biến đổi đi để được một phương trình mới. Lúc này đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức, thành thục kỹ năng biến đổi mới có thể tìm ra chìa khóa để giải quyết bài toán.
	Nhưng thực tế, với lớp hệ phương trình này, đa số các em lớp 12 đều gặp những trở ngại nhất định, một trong những trở ngại đó là tìm ra hàm đặc trưng của một phương trình trong hệ, dẫn đến gặp bế tắc trong việc tìm ra lời giải. Đấy là chưa kể đến những kỹ năng khác để giải phương trình như biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, nhân liên hợphọc sinh đã quên (do phần này học ở chương trình lớp 10).
Với mong muốn giúp các em học sinh có phương pháp, kỹ năng tốt, nắm bắt được bản chất vấn đề, không còn bỡ ngỡ khi gặp các hệ phương trình dạng này, tôi suy nghĩ rằng, cần phải hệ thống lại kiến thức, phân dạng bài tập cụ thể, hình thành phương pháp và cần có phân tích đối với lớp các bài toán đó để học sinh hiểu, vận dụng và có tư duy logic cho những bài tập có dạng tương tự. Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Phương pháp tìm hàm đặc trưng trong giải hệ phương trình bằng công cụ hàm số” để giúp học sinh có được một phương pháp tốt để giải hệ phương trình, cũng như phương trình và bất phương trình.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Trước đây, khi giảng dạy hay ôn tập cho học sinh lớp 12 phần hệ phương trình, giáo viên thường sẽ giới thiệu cho học sinh một chuyên đề: “phương pháp hàm số giải hệ phương trình”, đi vào giảng dạy cụ thể, giáo viên sẽ nêu ra phương pháp chung chung rồi cho học sinh làm một hệ thống các bài tập liên quan đến hàm số mà không chia nhỏ hơn nữa. 
Với cách giảng dạy đưa ra một hệ thống các bài tập như thế, học sinh không nắm được cách thức để tìm ra hàm đặc trưng. Không phân biệt được sự giống và khác nhau giữa các cách đó. Do đó, hiệu quả giảng dạy không cao.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
2.1. Các kiến thức cơ bản
2.1.1. Các định lý
Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng .
a) Nều với mọi , dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên .
b) Nếu với mọi , dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên .
2.1.2. Các tính chất
Tính chất 1: Giả sử hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng và , khi đó 
Tính chất 2: Nếu hàm số đồng biến trên và là hàm hằng hoặc là một hàm số nghịch biến trên thì phương trình có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng .
Nếu có sao cho thì phương trình có nghiệm duy nhất trên .
Chú ý: Khoảng nêu trong tính chất có thể thay bởi các miền
.
2.2. Giải pháp cụ thể
2.2.1. Hệ chứa một phương trình có luôn dạng 
	Khi đó, ta chỉ cần xét luôn hàm đặc trưng với , chứng minh hàm luôn đơn điệu trên D, từ đó có được u = v, tức là tìm được mối liên hệ đơn giản hơn giữa x và y. Thực hiện thế vào phương trình còn lại đưa về phương trình một ẩn. Vận dụng các phương pháp: biến đổi tương tương, nhân lượng liên hợp, đặt ẩn phụ, đánh giá.để giải phương trình này.
Giải hệ phương trình: 
Giải. Ta có , với .
Xét hàm số với .
Có đồng biến trên .
Do đó 
Thế vào (2) ta được .
Vậy, hệ đã cho có nghiệm .
Giải hệ phương trình: 
Giải. 
Điều kiện: 
Xét hàm số 
có 
suy ra hàm số đồng biến trên .
Phương trình (1) có dạng 
Thay vào phương trình (2) ta được:
Đặt 
Phương trình (5) trở thành
Với ta có 	
Vậy hệ đã cho có nghiệm là: .
Giải hệ phương trình 
Phân tích: Ta dễ dàng nhận thấy phương trình (1) có luôn dạng , thậy vậy .
Đến đây ta thực hiện xét hàm đặc trưng .
Ta có chưa xác định được dấu.
Để ý rằng, miền D của t là hợp miền của và y, nếu ta chặn được biến thì với việc xét hàm số trên thì .
Từ (1) ta khó chặn được biến y, xét đến (2), ta coi đây là phương trình bâc 2 ẩn x, tham số y, dựa vào điều kiện có nghiệm ta sẽ chặn được biến y.
Giải. Điều kiện 
Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn x, điều kiện để tồn tại x là
Đặt suy ra Phương trình (1) trở thành: 
Xét với Ta có 
Do đó phương trình (3) tương đương với , nghĩa là 
Thay vào phương trình (2) ta được: 
Hàm có với .
Mà nên (4) có hai nghiệm không âm là và 
Với ta được nghiệm ; với ta được nghiệm 
Vậy nghiệm của hệ đã cho là và .
	Nhận xét: Phương trình chỉ khi hàm số đơn điệu trên và . Nếu hàm đặc trưng có đạo hàm chưa xác định một dấu (luôn dương hoặc luôn âm) trên thì ta phải tìm cách chặn biến để và đơn điệu trên . Để chặn biến ta có thể dựa vào điều kiện xác định của hệ phương trình, điều kiện để phương trình bậc hai ẩn tham số (hoặc ẩn tham số ) có nghiệm, hoặc nhận xét điều kiện của biểu thức để hệ có nghiệm (chẳng hạn: ; ,.)
Giải hệ phương trình: 
Giải. Ta có , với 
Từ phương trình (2) suy ra .
Xét hàm số với , ta có 
Suy ra nghịch biến trên , do đó .
Thay vào (2) ta được:
Vậy, hệ đã cho có nghiệm 
2.2.2. Phương pháp nhân liên hợp tìm hàm đặc trưng
 Hệ chứa dạng liên hợp 
Phương pháp: Nhận xét 
Nên 
Bằng cách xét hàm đặc trưng , ta chứng minh được đồng biến trên , do đó phương trình trên .
	Ngoài phương pháp trên, ta có thể sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để tìm ra mối liên hệ giữa x và y.
* Với hệ chứa biểu thức dạng , , khi phân tích, tìm tòi lời giải ta cũng nên thử nhân liên hợp cho các dạng thức trên để tìm lời giải bài toán.
Giải hệ phương trình 
Giải. Điều kiện: 
Ta có 
Nên 
Xét hàm số trên có: 
Nên hàm số đồng biến trên .
Do đó, .
Thế vào phương trình (1), ta được:
+ Với 
+ Với 
Phương trình vô nghiệm do thì 
Với . Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ đã cho có nghiệm 
Giải hệ phương trình 
Giải. Điều kiện: 
Do 
Nên nhân hai vế của phương trình (1) với ta được
	(3)
Xét hàm số 
Ta có 
Suy ra hàm số đồng biến trên .
Do đó .
Thay vào phương trình (2) ta được: 
Nhẩm được nghiệm, thực hiện nhân liên hợp ta thu được nghiệm và phương trình: (*)
đặt ;
Ta có: và 
 với .
Suy ra nghịch biến, đồng biến trên 
Mà suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất 
Vậy nghiệm của hệ đã cho: 
Giải hệ phương trình 
Giải. Ta có , thế vào (2) ta được:
Hàm số với , ta có: 
Phương trình (4) có duy nhất nghiệm 
Vậy hệ có nghiệm .
Giải hệ phương trình: 
Giải. Ta có 
(*), với 
Xét hàm số với , ta có 
(Vì )
nên hàm số đồng biến trên .
Do đó 
Thế vào phương trình (2) ta được: 
, với .
Xét hàm số với , ta có nên ĐB trên .
Do vậy, 
Vậy, hệ đã cho có nghiệm là: 
Giải hệ phương trình: 
Giải. Do không thỏa mãn hệ phương trình nên với , nhân hai vế với ta được:
Với .
Xét hàm số , ta có với , suy ra đồng biến trên .
Do đó , thế vào (2) ta được:
Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm .
(HSG tỉnh Nam Định 2013) Giải hệ phương trình: 
	Phân tích: Ta thấy phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất ẩn y nên ta sẽ rút y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai của hệ.
Giải. ĐKXĐ: . 
Ta có 
Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có :
.
 (*)
Xét hàm số với . Ta có đồng biến trên . 
Mặt khác, phương trình (*) có dạng .
Vậy hệ đã cho có nghiệm là .
2.2.3. Tìm hàm đặc trưng dạng bậc ba dạng 
2.2.3.1. Hệ chứa một phương trình có dạng 
Phương pháp: Ta tìm cách biến đổi phương trình trên về dạng:
Đến đây, ta xét hàm số và chứng minh hàm luôn đồng biến (nghịch biến) trên D.
Suy ra: và thế vào phương trình còn lại.
	Lưu ý: miền với là miền của và .
 (Đại học khối A năm 2012) Giải hệ phương trình: 
Phân tích: Hai vế của phương trình đầu đều có dạng bậc 3 (với hai biến x, y), nên ta định hướng đưa phương trình đầu về dạng , tuy nhiên hàm đặc trưng lúc đó không đơn điệu trên do đó ta phải chặn biến. Nhìn vào phương trình thứ 2 ta thấy đưa được về suy ra .
Giải. HPT 
Từ (2), suy ra 
Xét hàm số trên , ta có suy ra nghịch biến.
Do đó 
Thay vào (2), ta được: 
Thay vào (3), ta được nghiệm của hệ là ; 
Giải hệ phương trình 
Giải. Điều kiện .
Ta có 
Do 
Xét hàm số với , có nên hàm số đồng biến trên .
Do đó hay 
Thế vào (2) ta được 
Với (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất .
Giải hệ phương trình 
Giải. Điều kiện: .
Phương trình 	(3)
Xét hàm số với 
Ta có nên đồng biến trên 
Khi đó: (3) có dạng 
Thế vào (2) ta được: 	(4)
Đặt khi đó (4) trở thành: 
Nếu thì không thỏa mãn (4)
Nếu chia hai vế cho ta được: 
Với ta có 
Với , ta có 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: và 
Giải hệ phương trình 
Giải. Điều kiện . 
	(3)
Xét hàm số có nên hàm số đồng biến trên 
D