Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua khai thác các bài toán hàm số hợp

biến; cực trị, biện
luận tương giao, GTLN_NN  của hàm số hay đồ thị hàm số Phương pháp cơ bản:
g ( x) =
f a ( x) .
Ta tính
g' ( x) = a éë f ( x)ùûa -1 f ' ( x) .
Giải phương trình
g' ( x) = 0.
Lập bảng biến thiên hàm số
y = g ( x) rồi kết luận
Bài toán phát triển mở rộng: Cho hàm số
y = f ( x) ( thỏa mãn một số điều kiện
cho trước), có công thức hoặc đồ thị hoặc bảng biến thiên cho trước.
Xác định tính đồng biến ( nghịch biến); cực trị, biện luận tương giao,  của
hàm số hay đồ thị hàm số
g ( x) =
f a ( x); g ( x) = a. f a (x) + b.
Bài toán gốc. Hàm số
y = f ( x) đƣợc cho bởi đồ thị.
Cho hàm số
y = f ( x) liên tục trên	và có đồ thị như hình vẽ sau
Số điểm cực trị của hàm số
g ( x) =
f 4 ( x) là
A.1.	B. 3.	C. 5.	D. 7.
Giải:
Theo bài ra ta có:
é f ( x) = 0
g' ( x) = 4 f 3 ( x) f ' ( x) = 0 Û ê
êë f ' ( x) = 0
Từ đồ thị hàm số đã cho ta có
+) Phương trình
f ( x) = 0
có 3 nghiệm phân biệt
x1, x2 , x3.
( x1, x2 , x3 ,
là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành).
+) Phương trình
f ' ( x) = 0 có	nghiệm phân biệt
x4 , x5 ( là điểm cực
đại, cực tiểu của hàm số
y = f ( x)), và
x < x < x < x < x .
1	4	2	5	3
Bảng biến thiên của hàm số
y = g ( x)
Bài toán khai thác, mở rộng: Ta có thể thay đổi một số dữ kiện giả thiết ban đầu để tạo ra lớp bài toán tương tự , chẳng hạn thay đổi đồ thị, bảng biến thiên
của hàm số ban đầu, hay là thay đổi sô mũ của hàm số các dạng trên khi cộng vào một hàm số chẳng hạn.
f ( x)
, hay là kết hợp thêm
Bài 1. Cho hàm số
y = f ( x) liên tục trên	và có đồ thị như hình vẽ sau
Số điểm cực trị của hàm số
g ( x) =
f 2022 ( x) là bao nhiêu?
Đáp án:

Giải:

é f ( x) = 0
Theo bài ra ta có:
g' ( x) = 2022 f 2021 ( x) f ' ( x) = 0 Û ê
êë f ' ( x) = 0
Từ đồ thị hàm số đã cho ta có
Phương trình
f ( x) = 0
có 3 nghiệm phân biệt
x1, x2 , x3.
( x1, x2 , x3. là
hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành).
Phương trình
f ' ( x) = 0 có nghiệm phân biệt
x4 , x5 ( là điểm cực đại,
cực tiểu của hàm số y = f ( x)), và x < x < x
< x < x .
Bảng biến thiên của hàm số
1	4	2	5	3
y = g ( x)
Bài 2. Cho hàm số
y = f ( x) liên tục trên	và có đồ thị như hình vẽ sau
Số điểm cực trị của hàm số
g ( x) =
f 5 ( x) + 2022 là
A.13.	B. 5.	C. 3.	D. 2.
Hƣớng dẫn giải:
Theo bài ra ta có:
é f ( x) = 0
g' ( x) = 5 f 4 ( x) f ' ( x) = 0 Û ê
êë f ' ( x) = 0
Từ đồ thị hàm số đã cho ta có
+ Phương trình
f ( x) = 0
có 3 nghiệm phân biệt
x1, x2 , x3.
và các
nghiệm này là nghiệm bội chẵn.
+ Phương trình
f ' ( x) = 0 có nghiệm phân biệt
x4 , x5 ( là điểm cực đại,
cực tiểu của hàm số
y = f ( x)), và các nghiệm này là nghiệm đơn.
Lập bảng biến thiên của hàm số
y = g ( x) và kết luận có hai cực trị.
Nhận xét: Ta có thể khai thác bài toán bằng cách cho hàm số có đồ thị ở dạng khác, hoặc cho các hàm số có bảng biến thiên cho trước. ví dụ như các bài toán sau.
Bài 3. Cho hàm số
y = f ( x) liên tục trên	và có đồ thị như hình vẽ sau
Số điểm cực trị của hàm số
g ( x) =
f 3 ( x) là
A.1.	B. 3.	C. 5.	D. 7.
Hƣớng dẫn giải:
é f ( x) = 0(1)
Ta có
g '( x) = 3 f 2 ( x) f ' ( x) = 0 Û ê	.
êë f ' ( x) = 0(2)
1	1
+ Phương trình (1) có hai nghiệm 0 và nghiệm bội chẵn.
x (x > 0) và các nghiệm này là
+ Phương trình (2)có một nghiệm nghiệm đơn .
Lập bảng biến thiên và kết luận.
Đáp án C.
x2 ( x2 ¹ 0; x2 ¹ x1 )và nghiệm này là
Bài 4. Cho hàm số
y = f ( x) liên tục trên	và có đồ thị như hình vẽ sau
Số điểm cực trị của hàm số
g ( x) =
f 2022 ( x) + 2023 là
A.1.	B. 3.	C. 5.	D. 7.
Hƣớng dẫn giải:
Ta có

é f ( x) = 0(1)
g '( x) = 2022 f 2021 ( x) f ' ( x) = 0 Û ê	.
êë f ' ( x) = 0(2)
1	1
bội lẻ.
Phương trình (1) có hai nghiệm 0 và
x (x > 0) và các nghiệm này là nghiệm
đơn .
Phương trình (2)có hai nghiệm
x2 ( x2 ¹ 0; x2 ¹ x1 )và nghiệm này là nghiệm
Lập bảng biến thiên.
Vậy hàm số đã cho có 3 cực trị. Đáp án C.
Bài 5. Cho hàm số
y = f ( x) liên tục trên	và có đồ thị như hình vẽ sau
Số điểm cực trị của hàm số
g ( x) =
f 5 ( x) là
A. 2	B. 3	C. 4	D. 5
Hƣớng dẫn giải
é f ( x) = 0(1)
Ta có
g '( x) = 5 f 4 ( x) f ' ( x) = 0 Û ê	.
êë f ' ( x) = 0(2)
Phương trình (1) có hai nghiệm (bội chẵn).
Phương trình (2)có ba nghiệm 0; x1; x2 và nghiệm này là nghiệm đơn. Lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận hàm số đã cho có 3 cực trị.
Bài 6. Cho hàm số
y = f ( x) liên tục trên	và có đồ thị như hình vẽ sau
Số điểm cực trị của hàm số
g ( x) =[f ( x) +1]4 + 2022 là
A. 4.	B. 3.	C. 5.	D. 6.
Hƣớng dẫn giải
é f ( x) = -1(1)
Ta có
g '( x) = 4[f ( x)+1]3 f ' ( x) = 0 Û ê
êë f ' ( x) = 0(2)
Phương trình (1) có ba nghiệm bội chẵn.
x1; x2 ; x3 (x1 < x2 < x3 ), trong đó
x2 là nghiệm
Phương trình (2)có ba nghiệm
x1; x3 và là nghiệm đơn .
0; x2 ; x5 và các nghiệm này khác các nghiệm
Lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận hàm số đã cho có 5 cực trị.
Bài 7. Cho hàm số
y = f ( x) liên tục trên	và bảng biến thiên sau
Số điểm cực trị của hàm số
g ( x) =
f 4 ( x) là
A. 2021.	B. 4043.	C. 1.	D. 7.
Giải:
Theo bài ra ta có:
é f ( x) = 0
g' ( x) = 4 f 3 ( x) f ' ( x) = 0 Û ê	.
êë f ' ( x) = 0
Ta ghép trục
y = 0
vào bảng biến thiên
Ta có

+) Phương trình

f ( x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt

x1, x2 , x3 , x4 thỏa mãn
( x1 < -1< x2 < 0 < x3 <1< x4 )
+) Phương trình
f ' ( x) = 0
có nghiệm 3 phân biệt
-1;0;1.
Suy ra
g' ( x) = 0
có 4 nghiệm bội lẻ (bội 2021)
x1, x2 , x3 , x4 và 3
nghiệm đơn
-1;0;1. Suy ra hàm số
y = g ( x) có 7 điểm cực trị.
Nhận xét: Ở bài toán trên chúng ta đã vận dụng kỹ thuật ghép trục vào bảng biến thiên của hàm số. Các bài toán sau chúng ta cũng giải quyết tương tự.
Bài 8. Cho hàm số
y = f ( x) liên tục trên	và bảng biến thiên sau
Số điểm cực trị của hàm số
g ( x)= éë f ( x) -1ùû2022 + 2023 là
A. 2022.	B. 2021.	C. 5.	D. 7.
Giải:
Theo bài ra ta có
g' ( x) = 2022 éë f ( x) -1ùû

2021
é f ( x) = 1
f ' ( x) = 0 Û ê	.
êë f ' ( x) = 0
Từ bảng biến thiên, ghép trục
y = 0
Ta có

+ Phương trình

f ( x) = 0

có 3 nghiệm phân biệt

x1,0, x2 thỏa mãn
x < -1< 0 <1< x trong đó
x , x là các nghiệm đơn; 0 là nghiệm bội chẵn.
1	2
+ Phương trình nghiệm đơn.
1	2
f ' ( x) = 0 có	nghiệm 3 phân biệt -1;0;1 là các
Suy ra
g' ( x) = 0
có 5 nghiệm bội lẻ.
Bài 9. Cho hàm số
y = f ( x)
liên tục và có đạo hàm trên , có đồ thị như hình vẽ.
Với	m	là	tham	số	bất	kì	thuộc	[0;1].	Phương	trình
f (x3 - 3x2 ) = 3 m + 4 1- m - 3 có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 2.	B. 3.	C. 5.	D. 9.
Lời giải.
m
Đặt k = 3	+ 4
- 3 Þ 0 £ k £ 2 .
1- m
Đặt t ( x) = x3 - 3x2 ,
ta có
êx = 2
t' ( x) = 3x2 - 6x = 0 Û éx = 0 .
ë
Bảng biến thiên hàm số y = x3 - 3x2 :
Phương trình trở thành
f (t ) = k
với
k Î[0; 2]
Từ đồ thị suy ra
t = a
ét = a Î(-1; 0)
ê
êt = b Î(0; 2) . Từ bảng biến thiên suy ra
êët = c Î(2;3)
phương trình có 3 nghiệm
t = b
t = c
phương trình có 1 nghiệm phương trình có 1 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm.
Bài 10. Cho hàm số
f ( x)
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Số	giá	trị	nguyên	của	tham	số	m	để	phương	trình
f 2 (cos x) +(m - 2020) f (cos x) + m - 2021 = 0
[0; 2p ] là
có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn
A. 1.	B. 2.	C. 3.	D. 5.
Đáp án B.
Bài 11. Cho hàm số
f ( x)
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của
phương trình f éë f (cos 2x)ùû = 0 ?
A. 10 điểm.	B. 9 điểm.	C. 8 điểm.	D. Vô số.
Đáp án A.
Bài 12. Cho hàm số
y = f ( x)
có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Có	bao	nhiêu	giá	trị	nguyên	của	tham	số	m	để	phương	trình
ç 2 ÷
f (2 sin x ) = f æ m ö
è	ø
có 6	nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-p ; 2p ]?
A. 2.	B. 3.	C. 4.	D. 5.
Đáp án B.
Dạng 3: Bài toán tổng quát 3. Cho hàm số
y = f ( x)
có công thức hoặc đồ
thị hoặc bảng biến thiên cho trước. Xác định tính đồng biến, nghịch biến; cực trị,
biện luận tương giao,  của hàm số hay đồ thị hàm số
Phương pháp giải cơ bản:
g ( x) =
f a (u ( x)).
Ta tính
g' ( x) = a é f (u ( x))ùa -1 f ' (u ( x)).u' ( x) .
ë	û
Giải phương trình
g' ( x) = 0.
Lập bảng biến thiên hàm số
y = g ( x) rồi kết luận
Bài toán phát triển mở rộng: Cho hàm số
y = f ( x) ( thỏa mãn một số điều kiện
cho trước), có công thức hoặc đồ thị hoặc bảng biến thiên cho trước.
Xác định tính đồng biến ( nghịch biến), cực trị của hàm số , biện luận sự
tương giao,  của hàm số	y = g ( x) hay đồ thị hàm số	g ( x) = f a (u ( x));
g ( x) =
f a (u ( x) + a) + b ; g ( x) =
f a (u ( x)) + v(x)...
Bài toán gốc. Cho hàm số sau
y = f ( x) xác định trên	và có bảng biến thiên như
Hàm số
g ( x) =
f 3 (x3 + 3x)
đồng biến trên khoảng nào
A. (1;+¥).
B. (-1;0).
C. (0;1).	D. (0;+¥).
Lời giải
Ta có:
g' ( x) = 3(3x2 + 3) f ' (x3 + 3x) f 2 (x3 + 3x).
Ta thấy
3(3x2 + 3) > 0, "x Î	và
f 2 (x3 + 3x) ³ 0,
"x Î	nên dấu của
,
,
g' ( x)
chính là dấu của
f ' (x3 + 3x).
éx3 + 3x = -1
ê
f ' ( x3 + 3x) = 0 Û êx3 + 3x = 0
éx = x1 Î(-1;0)
ê
Û êx = 0

(1).
êx3 + 3x = 1	êx = x Î(0;1)
ë	ë	2
Từ bảng biến thiên của hàm
f ( x)

ta có
f ' ( x) > 0 Û é-1 < x < 0
êx > 1
ë
é-1 < x3 + 3x < 0	éx < x < 0
Do đó
f ' ( x3 + 3x) > 0 Û ê
Û ê 1
ëx3 + 3x > 1	ëx > x
2
Suy ra
g' ( x) > 0 Û x Î( x ;0) È( x ;+¥)
(2).
1	2
Từ (1)
và (2)ta thấy hàm số
y = g ( x) đồng biến trên khoảng ( x2 ;+¥) và
( x2 ;+¥) É (1;+¥).
Đáp án A.
Bài toán mở rộng: Ta có thể thay đổi một số dữ kiện giả thiết ban đầu để tạo ra lớp bài toán tương tự , chẳng hạn thay đổi đồ thị, bảng biến thiên của hàm số
ban đầu, hay là thay đổi sô mũ của hàm số g ( x) , hay là kết hợp thêm các dạng
trên khi cộng vào một hàm số.
Ví dụ thay đổi từ bài toán đơn điệu sang bài toán cực trị bằng cách đổi dữ liệu và câu hỏi ta được bài toán mới như sau
Bài 1. Cho hàm số
y = f ( x) xác định trên	và có bảng biến thiên