Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh xác định chân đường cao trong bài toán tính thể tích khối đa diện

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh xác định chân đường cao trong bài toán tính thể tích khối đa diện.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo.
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 25 tháng 09 năm 2015 đến ngày 15 tháng 05 năm 2016.
4. Tác giả: 
	Họ và tên: Phạm Cao Thế.
	Năm sinh: 1983.
	Nơi thường trú: Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định.
	Trình độ chuyên môn: Cử nhân toán học.
Nơi làm việc: Trường THPT Xuân Trường.
Địa chỉ liên hệ: Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định.
Điện thoại: 0914.436.388.
Tỉ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 90%.
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến: 
	Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường.
	Địa chỉ: Xã Xuân Hồng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định.
	Điện thoại: 03503.886.167.
BÁO CÁO SÁNG KIẾN 
HƯỚNG DẪN HỌC SINH XÁC ĐỊNH CHÂN ĐƯỜNG CAO TRONG BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
PHẦN I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN 
	Thể tích khối đa diện là một chủ đề rất quan trọng trong các chủ đề toán học ở trường phổ thông. Đặc biệt, trong những năm gần đây, bài toán tính thể tích khối đa diện là không thể thiếu trong các kỳ thi đại học, kỳ thi học sinh giỏi, nó xuất hiện thường xuyên và độ khó cũng ngày càng được nâng lên nên đôi lúc cách giải quyết đối với nhiều học sinh còn gặp nhiều khó khăn. 
	Với mong muốn giúp các em học sinh có kỹ năng tốt, không còn bỡ ngỡ khi gặp câu hỏi tính thể thích khối đa diện, tôi suy nghĩ rằng, cần phải hệ thống lại kiến thức, phân dạng bài tập cụ thể và cần có phân tích đối với lớp các bài toán đó để học sinh hiểu, vận dụng và có tư duy logic những bài tập có dạng tương tự.
PHẦN II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
A. MÔ TẢ GIẢI PHÁP TRƯỚC KHI CÓ SÁNG KIẾN
Đối với bài toán thể tích khối đa diện, SGK Hình học 12 chỉ đưa ra được rất ít ví dụ và một số bài tập cơ bản. Chính vì vậy học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong việc tính thể tích khối đa diện và thậm chí không biết cách giải. Đặc biệt trong các đề thi Đại học - Cao đẳng, đề thi THPT Quốc gia và đề thi học sinh giỏi các em sẽ gặp bài toán về thể tích của khối đa diện ở nhiều dạng khác nhau. Vì vậy, việc giúp cho các em có kĩ năng tốt, cũng như cung cấp thêm các phương pháp tính thể tích khối đa diện là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay. 
Một điều rất quan trọng trong quá trình tính thể tích khối đa diện là đa phần các em học sinh chưa biết cách xác định chiều cao của khối đa diện nên việc tính thể tích khối đa diện là không chính xác. Do đó tôi đã hệ thống lại các cách xác định chân đường cao của một số khối đa diện đặc biệt để các em nắm được và từ đó hoàn toàn tính được thể tích của các khối đa diện cụ thể.
B. MÔ TẢ GIẢI PHÁP SAU KHI CÓ SANG KIÉN
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Các hệ thức lượng trong tam giác
a. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác vuông tại ,khi đó ta có
b'
c'
H
c
b
a
h
C
B
 A
 (1). Định lí Pithago: .
 (2). .
 (3). .
 (4). .
 (5). .
c
b
a
C
B
A
 (6). 
b. Hệ thức lượng trong tam giác:
 Định lí côsin: .
 Định lí sin: .
c. Công thức tính diện tích tam giác:
●.
● (Với ).
d. Diện tích hình vuông cạnh a: .
e. Diện tích hình chữ nhật các kích thước a và b: . 
f. Diện tích hình thang: trong đó a và b là độ dài hai đáy, h là chiều cao của hình thang.
1.2. Quan hệ song song
1.2.1. Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song
a. Phương pháp 1(về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt)
đồng quy
b. Phương pháp 2 (Hệ quả của định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt)
c. Phương pháp 3
 	

d. Phương pháp 4
e. Phương pháp 5 
 	

f. Phương pháp 6
 	

g. Phương pháp 7
 	

1.2.2. Một số phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 
 a. Phương pháp 1
 	

b. Phương pháp 2
 	

1.2.3. Một số phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song 
a. Phương pháp 1
 	

b. Phương pháp 2
 	

c. Phương pháp 3
1.3. Quan hệ vuông góc
1.3.1. Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc
a. Phương pháp 1
Cho hai đường thẳng AB, CD khi đó nếu 
b. Phương pháp 2
Tính góc giữa hai đường thẳng bằng 900.
c. Phương pháp 3(Định lí ba đường vuông góc)
	Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của 
 b lên và . 
 Khi đó 	

d. Phương pháp 4
 	

e. Phương pháp 5
 	

1.3.2. Một số phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
a. Phương pháp 1
 	

b. Phương pháp 2
 	

c. Phương pháp 3
 	

d. Phương pháp 4	
 	

e. Phương pháp 5
1.3.3. Một số phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 
	Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
1.4. Góc 
1.4.1. Góc giữa 2 đường thẳng:
Nếu thì góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’.
1.4.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Gọi là hình chiếu của trên . Góc giữa a và là góc giữa a và a’.
1.4.3. Góc giữa hai mặt phẳng:
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Khi đó, nếu thì là góc giữa a và b.
 
 d
1.5. Khoảng cách
1.5.1. Khoảng cách từ điểm đến một đường thẳng
 với H là hình chiếu vuông góc của A lên .


1.5.2. Khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng 
 với H là hình chiếu vuông góc của A lên . 	

1.5.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song với nhau 
 

1.5.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
 	

1.5.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b 
 trong đó là mặt phẳng chứa b và song song với a.
 	

CHƯƠNG 2. NỘI DUNG 
Về thể tích khối đa diện, trong chương trình toán trung học phổ thông ta chủ yếu xét đến thể tích của khối chóp và khối lăng trụ. Các công thức tính thể tích của khối chóp và khối lăng trụ như sau
 Thể tích khối chóp: V =B.h (1)	Thể tích khối lăng trụ: V = B.h (2)
(trong đó B, h lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của khối chóp hoặc khối lăng trụ)
Có ba phương pháp chính để tính thể tích khối đa diện 
1) Tính trực tiếp theo công thức
2) Tính gián tiếp thông qua phân chia khối đa diện hoặc sử dụng tỉ số thể tích
3) Áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian để tính thể tích.
Tuy nhiên xu hướng ra đề thi trong các năm gần đây người ta chú trọng vào việc tính thể tích một cách trực tiếp hoặc gián tiếp, còn việc sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để tính thể tích được hạn chế rất nhiều. Do vậy trong bản báo cáo này tôi chỉ đưa ra hai phương pháp tính thể tích đầu tiên. 
2.1. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRỰC TIẾP THEO CÔNG THỨC
	Phương pháp của dạng này là áp dụng công thức (1) và (2) đã nêu ở trên để tính. Về diện tích thì học sinh đã tính toán quen thuộc, chủ yếu của loại này là ta đi xác định chiều cao của các khối đa diện. Với khối chóp chiều cao của nó là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy, muốn xác định được khoảng cách này thì ta phải đi tìm hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy. Còn với khối lăng trụ thì chiều cao là khoảng cách giữa hai mặt đáy và cũng là khoảng cách từ một đỉnh thuộc đáy này đến đáy kia, như vậy với khối lăng trụ ta có thể tìm chiều cao giống như khối chóp. Từ đó ta sẽ chia loại này theo các dạng toán như sau
2.1.1. DẠNG TOÁN CHO SẴN CHIỀU CAO
	Đối với dạng này ta đã biết sẵn đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy. Chủ yếu ta xét các loại đa diện sau:
	- Khối chóp đều thì chiều cao là đoạn thẳng nối đỉnh với tâm của đa giác đáy.
- Khối lăng trụ đứng thì chiều cao là cạnh bên của lăng trụ. 
	- Khối chóp có một đường thẳng qua đỉnh vuông góc với mặt đáy(Chiều cao là đoạn thẳng nối đỉnh với giao điểm của đường thẳng đó với mặt đáy) hoặc có hai mặt chứa đỉnh cùng vuông góc với đáy(Chiều cao là đoạn thẳng nối đỉnh với điểm chung của ba mặt phẳng là hai mặt phẳng đó cùng với mặt đáy).
	- Khối đa diện biết hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy.
Ví dụ 1. Tính theo a thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc .
Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh chân đường cao chính là tâm của đa giác đáy. 
Giải:
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên nếu gọi O là tâm đa giác đáy thì .
Ta có: SABCD = a2.
Gọi M là trung điểm AB, do SAB là tam giác cân đỉnh S nên SM là đường cao và là trung tuyến.
 Ta có: 
 
Nhận xét: Mục tiêu là tính chiều cao nên ta có thể thay đổi giả thiết góc bởi góc giữa cạnh bên và mặt đáy hoặc góc giữa mặt bên và mặt đáy. Bài toán này ta có thể cho biết thể tích và cạnh đáy rồi yêu cầu tính chiều cao.
Ví dụ 2. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o. Tính thể tích khối lăng trụ đó theo a. 
Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh chiều cao chính là các cạnh bên của lăng trụ.
Giải:
Gọi O là tâm của ABCD . 
Ta có hai tam giác CBD, C’BD lần lượt cân tại C và C’ nên do đó góc giữa hai mặt (BDC') và (ABCD) bằng 
Khi đó CC' = OC.tan60o = 
Mà SABCD = a2
Vậy VABCD.A’B’C’D’ = 

Nhận xét: Mục tiêu ở bài này là tính chiều cao do đó ta có thể thay giả thiết góc giữa hai mặt bởi góc giữa đường và mặt đáy để tìm chiều cao. Bài toán này ta có thể cho biết thể tích và cạnh đáy rồi yêu cầu tính chiều cao.
Ví dụ 3. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. 
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 
b. Chứng minh SC vuông góc với (AB’C’). 
c. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’ theo a.
Phân tích: Tính thể tích khối chóp S.ABC là đơn giản. Muốn tính thể tích của khối chóp S.AB’C’ thì ta phải dựa vào câu b) mới xác định được chiều cao.
Giải:
a) Ta có 
b)
. 
Suy ra 
Mà nên 
c) Vì nên chiều cao của khối chóp S.AB’C’ là SC’.
 Ta có 

Trong ta có: 
Tam giác AB’C’ vuông tại B’ nên . Khi đó 
Mà . Từ đó ta có .
Nhận xét:. Ở bài này ta có thể tính thể tích SAB’C’ dựa vào công thức tỉ số thể tích sẽ được trình bày ở phần sau.
Ví dụ 4(B 2006). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. 
a. Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SMB). 	
b. Tính thể tích khối tứ diện AINB theo a.
Phân tích: Chiều cao của hình chóp S.ABCD chính là SA nên ta có thể tính được thể tí