SKKN Rèn luyện tư duy học sinh Khối 12 thông qua khai thác các bài toán cực trị hình học không gian Oxyz

r = éuur éuur uuurùù .
Lời giải: Chọn D
n(Q)
êëuD , êëuD , n(P) úûúû
(D) đi qua điểm M (-2;-2; 0) và có vectơ chỉ phương uD =(1; 2;-1) .
có vectơ pháp tuyến n(P) =(1; 2;2) .
Theo kết quả bài toán 5, min((P),(Q)) Û uuur = éuur é uur uuurùù =(-3;-6;-15) =-3(1; 2;5).
n(Q)	êëuD , êëuD , n(P) úûúû
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm M (-2;-2; 0) có vectơ pháp tuyến n(Q) =(1;2;5) có phương
trình: 1(x + 2)+ 2( y + 2)+ 5(z - 0) = 0 Û x + 2 y + 5z + 6 = 0 .
Ví dụ 34. (Mức độ 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
(D) : x -1 = y + 2 = z . Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (D) và tạo với trục Oy một góc
-1	1	2
lớn nhất. Mặt phẳng (Q) đi qua điểm nào trong các điểm sau đây
A. A(6;-3;0) .	B. B(2;-3;0).	C. C (2;1;-1) .	D. D(2;1;1).
Phân tích: Vận dụng bài toán 5, max(Oy,(Q)) Û uuur = é uur é uur uurùù .
Lời giải: Chọn A
n(Q)
êëuD , êëuD , uOy úûúû
(D) đi qua điểm M (1;-2;0)và có vectơ chỉ phương uD =(-1;1; 2) .
Trục Oy có vectơ chỉ phương uOy =(0;1;0) .
max(Oy,(Q)) Û uuur = éuur éuur uurùù =(-1;-5; 2).
n(Q)
êëuD , êëuD , uOy úûúû
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm
M (1;-2;0) có vectơ pháp tuyến n(Q) =(1;5;-2) có phương
trình: 1(x -1)+ 5( y + 2)- 2(z - 0) = 0 Û x + 5y - 2z + 9 = 0 .
Do đó (Q) đi qua điểm A(6;-3;0) .
Ví dụ 35. (Mức độ 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(3;-1;1) ,
đường thẳng (D) : x = y - 2 = z
1	2	2
và mặt phẳng (P) : x - y + z - 5 = 0 . Gọi (d )là đường
thẳng đi qua A nằm trong mặt phẳng (P) và tạo với đường thẳng (D) một góc nhỏ nhất là a . Tính sin a
A.	78 .	B.	3 .	C.	6 .	D.	75 .
9	9	9	9
Phân tích: - Cần tìm góc giữa (d ) và (D): (d ,D) =(d , a) = I·AK = a
- Gv vẽ hình và yêu cầu học sinh so sánh sin a, IH .
IA	a
Hs: sin a = IK ³ IH , từ đó phân tích và tìm lời giải.	I
IA	IA
Lời giải:
Chọn B
Ta có: n	=(1;-1;1) , u

d	H
=(1; 2; 2) .	K	A
(P)
(D)
 P)	
Qua A dựng đường thẳng d song song với đường thẳng D, trên D lấy điểm
I Ï (P) . Gọi H là hình chiếu của I lên (P) . ( A, I , H cố định)
Ta có: (d ,D) =(d , a) = I·AK = a . Mà sin a = IK ³ IH
IA	IA

min a Û H º K

hay d º AH là
hình chiếu của a trên (P) .
Khi đó (d , D)
Û uur = éuuur uuuurù = é uuur éuuur uurùù =(-2;-7;-5) .
min
ud	êën(P), n( AIH ) úû	êën(P), êën(P), uD úûúû
Do đó: cos a =
uur uur
(	)
cos ud , uD =

=	Þ sin a =	.
1.2 + 2.7 + 2.5
12 + 22 + 22 . 22 + 72 + 52
78
3
9	9
Ví dụ 36. (Mức độ 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;0;-2) ,
đường thẳng (D) : x -1 = y +1 = z - 2
và mặt phẳng (P):2 x - y + 2z -1 = 0 . Gọi (d )
3	2	-2
là đường thẳng đi qua A , cắt (D) và tạo với mặt phẳng (P) một góc lớn nhất là a . Tính sin a
A.	357 .	B.	357 .	C.	357 .	D.	357 .
17
Lời giải: Chọn B.
21	9	3
Đường thẳng (d )nằm trong mặt phẳng (Q) chứa A và D.
Đường thẳng D đi qua điểm
AM =(0;-1; 4).
M (1;-1; 2) và có vec tơ chỉ phương là uD =(3; 2;-2) ,
Ta có:
uuur	é uuur uurù
n(Q) = êë AM , uD úû =-(-6;12;3) =-3(-2; 4;1) .
Để (d·,(P))	Û uur = éuuur éuuur uuurùù =(-30;-3;-48) =-3(10;1;16).
max
ud	êën(Q), êën(Q), n(P) úûúû
Khi đó, sin
(d·,(P))=
ud .n(P)
=	10.2 +1.(-1)+16.2	=	.
102 +12 +162 . 22 +(-1)2 + 22
357
21
uur uuur
ud . n(P)
Phân tích: Qua ví dụ 35, 36 ta hoàn toàn xác định được đường thẳng (d ), từ đó bài toán có thể phát triển thành bài toán lập phương trình đường thẳng (d ), thỏa mãn cực trị về góc.
Từ đó, nêu bài toán tổng quát và kết quả.
a
I
d
H
K
 P)	
A
Bài toán 6. Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A và nằm trong mặt phẳng (P) sao cho góc tạo giữa đường thẳng d và đường thẳng D cho trước một góc nhỏ nhât (hoặc tạo với mặt phẳng (Q) cho trước một góc lớn nhất).
Kết quả:
min(d ,D) Û (d ,D)
Û uur = é uuur uuuurù = é uuur éuuur uurùù ;
min
ud	êën(P), n(AIH ) úû	êën(P), êën(P), uD úûúû
max
d ,(Q)
Û uur = é uuur éuuur uuurùù
(	)	ud
êën(Q), êën(Q), n(P) úûúû
Từ bài toán 6, ta sẽ giải quyết được nhiều bài toán liên quan.
Ví dụ 37. (Mức độ 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm

A(1;-1; 2) và
mặt phẳng (P) :2 x - y - z + 3 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d ) đi qua A , song
song với (P) đồng thời tạo với đường thẳng (D): x +1 = y -1 = z một góc nhỏ nhất.
1	-2	2
A. x -1 = y +1 = z - 2 .	B. x -1 = y +1 = z - 2 .
-1	-5	7	1	-5	7
C. x -1 = y +1 = z - 2 .	D. x -1 = y +1 = z - 2 .
1	-5	-7	-1	-5	-7
Phân tích: Vận dụng bài toán 6,
min(d ,D) Û (d , D)
Û uur = éuuur é uuur uurùù . Từ đó,
viết phương trình đường thẳng.

min
ud	êën(P), êën(P), uD úûúû
Lời giải: Chọn B.
Gọi (Q)
là mặt phẳng chứa A và song song với (P) . Suy ra: nQ =(2;-1;-1) .
Khi đó, (d ) nằm trong (Q) sao cho góc giữa (d ) và Dnhỏ nhất.
min(d ,D) Û (d ,D)
Û uur = é uuur é uuur uurùù =-2(1;-5;7).
min
ud	êën(P), êën(P), uD úûúû
Phương trình đường thẳng (d ) là:
x -1 = y +1 = z - 2 .
1	-5	7
Ví dụ 38. (Mức độ 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng D đi qua
điểm
A(1;0;1)
và nằm trong mặt phẳng (P) :2 x + y - z -1 = 0
tạo với đường thẳng
d : x = y -1 = z +1
một góc nhỏ nhất. Biết u =(5; b; c) là một vec tơ chỉ phương của
2	-1	2
đường thẳng D. Tìm b + c
A. -6 .	B. 6 .	C. -3 .	D. 3 .
Phân tích: Vận dụng bài toán 6,
uur = é uuur é uuur uurùù .
Lời giải: Chọn D.
uD	êën(P), êën(P),uD úûúû
Ta có: n(P) =(2;1;-1), u(d ) =(2;-1; 2) .
Để Dtạo với (d ) một góc nhỏ nhất Û uur = éuuur éuuur uurùù =- æç

-7 ;13ö÷ .
Suy ra: b + c = 3.
uD	êën(P), êën(P) ,uD úûúû
2 5;
ç
è
2	2 ø÷
Ví	dụ	39.	(Mức	độ	3)	Trong	không	gian	Oxyz ,	cho	mặt	phẳng
(P):8x - 4 y + 3z -12 = 0
và hai điểm
Aæç 2;- 2 ; 5ö÷	çæ	- 4 ;- 5ö÷ . Mặt phẳng (Q) chứa
—	, B 2;
ç
÷	ç
è	2 ø	è
2 ø÷
đường thẳng AB và tạo với (P) một góc nhỏ nhất, khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
bằng
3
2
A.	.	B. 1 .	C. 2 .	D.
Phân tích: Vận dụng bài toán 5,
r = ér ér urùù , từ đó viết phương trình (Q)

và trả
lời bài toán.
Lời giải: Chọn B.
n	êëu; êëu; n1 úûúû
Ta có AB =(4;- 2;- 5). Đặt u = AB =(4 ;- 2;- 5) .
ur
Mặt phẳng (P) có 1 véctơ pháp tuyến n1 =(8;- 4;3).
Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng AB và tạo với (P) một góc nhỏ nhất nên có 1 vectơ
r	-1 ér é r urùù
pháp tuyến n = 130 êëu; êëu; n1úûúû =(2 ;-1;2) .
r
Mặt phẳng (Q) đi qua A và có vectơ pháp tuyến n =(2;-1;2) có phương trình
2x - y + 2z - 3 = 0 .
2.0 - 0 + 2.0 - 3
22 +(-1)2 + 22
Vậy khoảng cách từ O đến (Q) bằng d (O ;(Q)) =	= 1 .
Ví dụ 40. (Mức độ 4) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
=	=	, điểm
d : x	y	z
3	2	2
A(3;-1;-1) và mặt phẳng (P): x + 2 y + 2z - 3 = 0 . Gọi D là đường thẳng đi qua A và tạo với (P) một góc j . Biết khoảng cách giữa d và D bằng 3 , tính giá trị nhỏ nhất của cosj .
A. 1 .	B. 2 .	C. 4 .	D. 5 .
3
Lời giải: Chọn C.
3	9	9
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) , K là giao điểm của D
và (P) .
Dễ thấy d đi qua gốc tọa độ O , gọi (a)là mặt phẳng chứa D và song song với d thì ta có d (d ,D) = d (O,(a)) Þ d (O,(a)) = 3 .
Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên giao tuyến của (a) và (P) .
Vì	1 cos2 j

= 1+ tan2 j

nên cosj nhỏ nhất khi và chỉ khi tan j lớn nhất.
Do AH không đổi và HK ³ IH Þ tan j = AH
KH
lớn nhất khi và chỉ khi HK = HI
Vậy cosj nhỏ nhất khi và chỉ khi K º I . Khi đó góc giữa D và (P) bằng góc giữa hai mặt phẳng (a) và (P) .
(a)	đi	qua	A	nên	có	phương	trình	dạng:
a(x - 3)+ b( y +1)+ c(z +1) = 0, a2 + b2 + c2 ¹ 0 .
(a) // d Û n .u = 0 Û 3a + 2b + 2c = 0 Û b + c = -3a

(1)
a d	2
-3a + b + c
a2 + b2 + c2
d (O,(a)) = 3 Û
= 3 Û 3
= -3a - 3a Û 3	=
a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
9 a
2	2
Khi đó cosj =
cos
uur uur
(	)
na , nP =
=	= 4 .
a + 2b + 2c
3 a2 + b2 + c2
a - 3a
9
a


9
2
Bài tập tham khảo
Ví dụ 41. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) :2 x - y - 2z - 2 = 0
và đường thẳng D: x = y +1 = z - 2 . Gọi (Q) là mặt phẳng chứa Dvà tạo với (P)
-1	2	1
một góc nhỏ nhất. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) ?
A. a =(1;1;-1) . B. b =(1;-1;-1) .	C.
c =(2;1;-1) .	D.
d =(2;-1;-1).
Ví	dụ	42.	(Mức	độ	3)	Trong	không	gian	Oxyz ,	cho	mặt	cầu
(S ) : x2 + y2 + z2 - 2x - 2 y - 2z -1 = 0 có tâm I và mặt phẳng (P) : x + 2 y + 2z + 4 = 0 .
Gọi M (a; b; c) trên (S ) sao cho góc tạo bởi IM với mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất.
Tính giá trị biểu thức T = b + c - a biết rằng c < 0 ?
A. -1.	B. 3 .	C. 1 .	D. -2 .
d : x - 2	y	z - 4
Ví dụ 43. (Mức độ 3) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
=	=
-3	2	-2
và đường thẳngD: x -1 = y - 2 = z +1 . Biết rằng trong tất cả các mặt phẳng chứa D
3	1	2
thì mặt phẳng (P) : ax + by + cz + 25 = 0 tạo với d góc lớn nhất. Tính T = a + b + c .
A. T = 9 .	B. T =-8 .	C. T = 5 .	D. T =-7 .
D : x	y	z
Ví dụ 44. (Mức độ 3) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
=	=	và
2	2	1
mặt phẳng (P) : x + 2 y - 2z = 0 . Gọi (Q) là mặt phẳng chứa D sao cho góc giữa hai
mặt phẳng (P) và (Q) là nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng (Q) là
A. x - 2 y + z = 0 .	B.
C. x - 2 y - z = 0 .	D.
x + 22 y +10z = 0 .
x +10 y - 22z = 0 .
Ví dụ 45. (Mức độ 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
d : x = y +1 = 2 - z . Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng
1	-2	1
: 2 x - y - 2z - 2 = 0 một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm một khoảng bằng:
A(1; 2;3) cách mặt phẳng (P)
3
.
C. 7 11 .	D. 4 3 .
B. 5
3 .
3	11	3
Ví dụ 46. (Mức độ 3) Đường thẳng D đi qua điểm M (3;1;1), nằm trong mặt phẳng
(a): x + y - z - 3 = 0

và tạo với đường thẳng
ìïx = 1
í
d : ï y = 4 + 3t
î
ïz = -3- 2t

một góc nhỏ nhất thì
phương trình của D là
ìïx = 1
ï

ìïx = 8 + 5t¢
ï

ìïx = 1 + 2t¢
ï

ìïx = 1 + 5t¢
ï
î
î
î
A. ïí y =-t¢ .	B. ïí y =-3- 4t¢ .	C. ïí y = 1- t¢ .	D. ïí y = 1- 4t¢ .
î
ïz = 2t¢
ïz = 2 + t¢
ïz = 3- 2t¢
ïz = 3 + 2t¢
Ví dụ 47. (Mức độ 3) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz,
cho đường thẳng
d :	x
= y +1 = z - 2
và mặt phẳng (P) : 2 x - y - 2z - 2 = 0 . (Q) là mặt phẳng chứa d
-1	2	1
và tạo với mp(P)
một góc nhỏ nhất. Gọi
nQ =(a; b; 1)
là một vectơ pháp tuyến của
(Q) . Đẳng thức nào đúng?
A. a - b =-1.

B. a + b =