SKKN Hướng dẫn học sinh một số kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm phần khảo sát hàm số Lớp 12

oán thường được tiến hành theo trình tự: kiến thức, phương pháp giải toán, luyện tập, thành thạo cho nên chúng tôi đề xuất quy trình rèn luyện kĩ năng giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
Bước 1: Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại các kiến thức, công thức liên quan đến nội dung dạy học.
Bước 2: Giáo viên minh họa qua các ví dụ, chỉ rõ từng bước thực hiện, những lưu ý cần thiết để tránh những sai lầm.
Bước 3: Cho học sinh luyện tập qua một hệ thống các bài toán từ dễ đến khó, đủ các dạng, chú ý sửa các sai lầm học sinh có thể mắc phải.
Bước 4: Luyện tập một số bài tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho học sinh vận dụng phối hợp, linh hoạt các thao tác giải Toán. Các bài tập dạng này thường được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp học sinh hình thành và phát triển các kĩ năng ngày một tốt hơn.
Xây dựng và rèn luyện kĩ năng theo định hướng một số dạng bài cụ
thể

DẠNG 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
*Kiến thức cần nhớ:
Điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng, mối liên
hệ với dấu của đạo hàm
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Quy tắc xét dấu của biểu thức bậc nhất, bậc hai và hàm số liên tục trên từng khoảng.
Lập bảng biến thiên.
* Một số ví dụ:
Sau khi giảng dạy nội dung kiến thức về Sự đồng biến – sự nghịch biến của hàm số, tôi dự kiến đưa ra hệ thống câu hỏi được phân ra theo 3 mức độ nhận thức nhằm kiểm tra, đánh giá kết quả lĩnh hội và vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán liên quan.
Hệ thống câu hỏi mang tính chất tham khảo, trong quá trình giảng dạy, các thầy cô có thể điều chỉnh sao cho phù hợp với đối tượng học sinh của mình.
Mức độ: Nhận biết
Các câu hỏi đưa ra nhằm đánh giá học sinh ở khả năng:
Nhận biết khái niệm cơ bản: định nghĩa sự đồng biến, sự nghịch biến của hàm số; mối liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm cấp 1
Biết xét tính đơn điệu của hàm số theo định nghĩa.
Biết xét tính đơn điệu của một số hàm số đơn giản.
Câu 1. Xét tính đơn diệu hàm số y = 2x -1.
A. Hàm số đồng biến trên B. Hàm số nghich biến trên 
C. Hàm số đồng biến trên æ -¥; 1 ö	C. hàm số đồng biến trên æ 1 ; +¥ ö
ç	2 ÷	ç 2	÷
è	ø	è	ø
Nhận xét: Học sinh có thể đưa ra câu trả lời theo 3 hướng suy nghĩ:
Thứ nhất, dùng định nghĩa: xét tỉ số
f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2
Thứ hai, nhớ kết luận đã học ở lớp 10 về hàm số bậc nhất. Thứ ba, dùng mối liên hệ với đạo hàm vừa học: y’ = 2 > 0. Rõ ràng cách thứ 3 nhanh gọn hơn rất nhiều.
Câu 2. Cho hàm số
y = x +1 . Khẳng định nào sau đây đúng?
1- x
Hàm số nghịch biến trên (-¥;1) È(1; +¥)
Hàm số đồng biến trên (-¥;1) È(1; +¥)
Hàm số nghịch biến trên (-¥;1) và (1; +¥)
Hàm số đồng biến trên(-¥;1) và (1; +¥)
Nhận xét: Với câu hỏi này, đòi hỏi học sinh phải tìm đúng TXĐ, nhớ được
công thức đạo hàm một thương, biết được sự khác nhau giữa "È" và “và”.
Câu 3: Cho hàm số y = x3 +1 Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số nghịch biến trên 
Hàm số đồng biến trên 
Hàm số nghịch biến trên (-¥;0) và (0; +¥)
Hàm số đồng biến trên (-¥;0) và (0; +¥)
Câu 4: Cho hàmsố f (x) có tính chất: Khẳng định nào sai?
f ' ( x) ³ 0"x Î(0;3) và
f ' ( x) = 0 Û x Î[1; 2]
Hàm số f (x) đồng biến trên (0;3)
Hàm số f (x) đồng biến trên (0;1)
Hàm số f (x) đồng biến trên (2;3)
Hàm số f (x) là hàm hằng trên (1; 2)
Nhận xét: Với câu hỏi dạng này, học sinh phải nắm được định lý mở rộng:
Nếu
f ' ( x) £ 0(³ 0),"Ï K và
f ' ( x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến
(đồng biến) trên K.
Câu 5: Cho hàm số

f ( x)

có đồ thị là đường cong (hình bên dưới). Khi đó ta có:
Hàm số
Hàm số
Hàm số
f ( x) f ( x) f ( x)
đồng biến trên (-¥;1) nghịch biến trên (-¥;1) đồng biến trên (-¥; -1)

và (1; +¥)
Hàm số
f ( x)
nghịch biến trên (-1; +¥)
Nhận xét: Với những câu hỏi như thế này, đòi hỏi học sinh phải nắm được tính chất của đồ thị trên những khoảng đơn điệu (điều này được nêu trong nhận xét trong SGK trang 5)
Mức độ: Thông hiểu
Các câu hỏi đưa ra đòi hỏi học sinh phải nắm chắc được các kiến thức cơ bản và trọng tâm trong bài Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số mới giải quyết được.
Học sinh phải có kỹ năng giải các bài tập thông thường.
Câu 6. Tìm tập xác định hàm số
y =	2x x2 - 9
A. D = B.
D =	C. D =
D. D =
\ {3}
\ {-3}
\ {±3}
Câu hỏi này rèn luyện cho các em kỹ năng tìm TXĐ của hàm số, qua đó có thể lập đúng được BBT của hàm số.
Câu 7. Xét tính đơn điệu hàm số
y =	2x x2 - 9
A. Hàm số đồng biến trên (-¥; -3),(-3;3), (3; +¥)
Hàm số đồng biến trên(-¥; -3), (3; +¥) ; nghịch biến trên (-3;3)
Hàm số nghịch biến trên (-¥; -3),(-3;3), (3; +¥)
\ {±3}
Hàm số nghịch biến trên D =
Câu 8: Cho hàm số
y = x3 + 3x2 - 9x + 25
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hàm số nghịch biến trên (-3;1)
Hàm số đồng biến trên 
Hàm số đồng biến trên (-9; -5)
Hàm số đồng biến trên (5; +¥)
Nhận xét: Với câu hỏi như thế này, học sinh phải nắm được quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số, có kỹ năng xét dấu biểu thức dựa vào các quy tắc xét dấu cơ bản đã biết (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, lập bảng xét dấu...).
Mức độ: Vận dụng
Ở mức độ này, mục đích là đánh giá học sinh ở khả năng:
Áp dụng các kiến thức được trang bị để giải quyết các bài tập phức tạp
hơn.
Sáng tạo, linh hoạt trong các bài toán cụ thể dựa trên cơ sở lý thuyết để giải
quyết nhanh nhất có thể những bài tập liên quan.
Ví dụ: Chứng minh rằng: tan x > x æ 0 < x < p ö
ç	2 ÷
Thật vậy, xét hàm số
è	ø
y = tan x - x, x Îæ 0; p ö ;

y' =

1	-1 = tan2 x > 0"x Îæ 0; p ö

ç	2 ÷
cos2 x
ç	2 ÷
è	ø	è	ø
Ta có BBT:
x
0	p
2
y’
+

y
+¥
0

Từ BBT ta có
y > 0"x Îæ 0; p ö hay tan x > x æ 0 < x < p ö
(đpcm)
ç	2 ÷	ç	2 ÷
è	ø	è	ø
Câu 9: Cho hàm số
f ( x) có đạo hàm trên R và
f ' ( x) > 0,"x > 0 . Biết
f (1) = 2 .
Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?
A. f (2) + f (3) = 4
B. f (-1) = 2
C. f (2) = 1 D.
f (2021) > f (2022)
Nhận xét: Với câu hỏi này, ban đầu học sinh có thể cảm thấy khó khăn trong việc phán đoán câu trả lời vì đây không phải một hàm số cụ thể, tuy nhiên nếu học sinh nắm chắc kiến thức về tính đơn điệu có thể nhận ra sự mâu thuẫn giữa giả thiết với 3 phương án B, C và D, từ đó dễ dàng đưa ra câu trả
Câu 10: Nếu hàm số
f ( x)
đồng biến trên khoảng (-1; 2)
thì hàm số
f ( x + 2)
đồng
biến trên khoảng nào sau đây?
A. (-3; 0)
B. (-2; 4)
C. (-1; 2)
D. (1; 4)
Câu 11: Cho hàm số đúng?
f ( x)
đơn điệu trên khoảng (a;b) . Mệnh đề nào sau đây
A. f ' ( x) ³ 0"x Î(a;b)
B. f ' ( x) > 0"x Î(a;b)
C. f ' ( x) không đổi dấu trên khoảng (a;b)
D. f ' ( x) ¹ 0"x Î(a;b)
DẠNG 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Cực trị của hàm số là một khái niệm có quan hệ mật thiết với tính đơn điệu của hàm số. Đối với định nghĩa cực trị, SGK trình bày còn mang hơi hướng hàn lâm, các em chưa thấy được ý nghĩa của số h > 0 dẫn đến sự thấu hiểu không đầy đủ định nghĩa, kéo theo sự khúc mắc trong nội dung các định lý về cực trị. Điều này đòi hỏi giáo viên phải có sự đơn giản hoá “lân cận của điểm x0”, làm nhẹ nhàng về định nghĩa cực trị.
Kiến thức cần nhớ:
Điều kiện cần để hàm số có cực trị tại x0 là đạo hàm tại x0 bằng 0 hoặc không xác định.
Điều kiện đủ để hàm số có cực trị. (đạo hàm đổi dấu)
Hai quy tắc tìm cực trị, khi nào áp dụng quy tắc 1, quy tắc 2.
Cực trị của hàm bậc ba, hàm bậc bốn trùng phương.
Một số sai lầm học sinh có thể mắc:
Khi tìm cực trị các em thường chỉ giải phương trình

y' = 0

mà không xét
0
điều kiện đủ là đạo hàm phải đổi dấu, tức là nhầm lẫn điều kiện cần với điều kiện cần và đủ.
Áp dụng quy tắc 2 chưa đúng: chưa kiểm tra
y'' ( x
) ¹ 0 .
Với đạo hàm đưa về tam thức bậc hai thì đổi dấu với D> 0 . Một số em còn
nhầm lẫn thành D³ 0 .
Nhầm lẫn cực đại (CĐ), cực tiểu (CT) với yCĐ, yCT.
*Lưu ý: Một số câu có thể giải nhanh bằng cách thử trực tiếp giá trị ở đáp án, ví dụ thử với dấu bằng , ghi nhớ những trường hợp đặc biệt (hàm số
y = ax4 + bx2 + c, a ¹ 0
có 3 cực trị khi và chỉ khi
ab < 0 , có một cực trị khi và chỉ khi
ab ³ 0 , hàm bậc ba thì hai điểm cực trị đối xứng nhau qua điểm uốn)
Ví dụ 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số
y = f ¢( x). Số
điểm cực trị của hàm số
y = f ( x) là
A. 2.	B. 3.	C. 4.	D. 5.
Lời giải.
Ta thấy đồ thị hàm số
f ¢( x)
có 4 điểm chung với trục hoành
x1; 0; x2 ; x3
nhưng
chỉ cắt thực sự tại hai điểm là 0 và Bảng biến thiên
x3.
Vậy hàm số
y = f ( x)
có 2 điểm cực trị. Chọn A.
Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của
f '( x)
có 4 điểm chung với trục hoành
nhưng cắt và "băng qua" luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị.
Cắt và "băng qua" trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.
Cắt và "băng qua" trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.
Ví dụ 2. Cho hàm số
y = f ( x). Đồ thị hàm số
y = f ¢( x)
như
hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số
g ( x) =
f (x2 - 3).
A. 2.	B. 3.
C. 4.	D. 5.
Lời giải.
Ta có g¢( x) = 2xf ¢(x2 - 3);
é x = 0

é x = 0

é x = 0
g¢( x) = 0 Û ê
¬¾theo¾do t¾hi f '¾( x)® ê x2 - 3 = -2
Û ê x = ±1	.
ê f ¢(x2 - 3) = 0	ê	ê
ë
ë
ë	ê x2 - 3 = 1 (nghiem kep)
ê x = ±2
(nghiem kep)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của
= x Î(2; +¥) ® x > 0.
g¢( x)
được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2; +¥)
(1)
= x Î(2; +¥) ® x2 > 4 ¾¾® x2 - 3 > 1¾t¾heo ¾do th¾i f '(¾x)® f ¢(x2 - 3) > 0.
(2)
Từ (1) và (2), suy ra mang dấu + .
g¢( x) = 2xf ¢(x2 - 3) > 0
trên khoảng (2; +¥)
nên
g¢( x)
Nhận thấy các nghiệm
x = ±1 và
x = 0
là các nghiệm bội lẻ nên
g¢( x)
qua
nghiệm đổi dấu; các nghiệm x = ±2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta
thấy
f ¢( x)
tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 nên qua nghiệm
không đổi dấu.
Mức độ: Nhận biết
Ở mức độ này, các câu hỏi đưa ra nhằm đánh giá học sinh ở các khả năng:
Hiểu khái niệm điểm cực trị, giá trị cực trị.
Chỉ ra được cực trị khi quan sát bảng biến thiên.
Bước đầu biết tìm cực trị của các hàm số đơn giản.
Câu 1: Gi