SKKN Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh Lớp 12 thông qua dạy học chủ đề tương giao

g BBT như sau
Dòng 1: Xác định các điểm kỳ dị (điểm biên của tập xác định D , các điểm cực
trị của u = u ( x) ) của hàm u = u ( x) , sắp xếp các điểm này theo thứ tăng dần từ
trái qua phải, giả sử như sau: a1
< a2 <	< an-1
< an .
Dòng 2: Điền các giá trị ui = u (ai ) với (i = 1,..., n)
Trên mỗi khoảng (ui;ui+1 ), i =1,n -1cần bổ xung các điểm kỳ dị b1;b2;...;bk
của hàm
y = f (x).(Điểm kỳ dị của
y = f (x) gồm: Các điểm tại đó
f (x) và f ¢(x)
không xác định và các điểm cực trị hàm số
y = f (x)).
Trên mỗi khoảng (ui;ui+1 ), i =1,n -1 cần sắp xếp các điểm ui ;bk theo thứ
tự chẳng hạn:
ui < b1 < b2 < ... < bk < ui+1
hoặc ui > b1 > b2 > ... > bk > ui+1 .
Dòng 3:	Xét chiều biến thiên của hàm g = f (u ( x)) dựa vào BBT của hàm
y = f (x) bằng cách hoán đổi: u đóng vai trò của x ;
f (u) đóng vai trò của
f ( x)
Sau khi hoàn thiện BBT hàm hợp thị hàm này.
g = f (u ( x)) ta thấy được hình dạng đồ
Bước 4: Dùng BBT hàm hợp bài toán và kết luận.
Trở lại Ví dụ 2.3.3.
g = f (u ( x)) giải quyết các yêu cầu đặt ra trong
Cách 2 (Phương pháp ghép bảng biến thiên).
x
é
p
ê
2
=- 
ê	p
ê
Đặt t = sinx; x Î[-p ;2p ]. Ta có t ' = cosx = 0 Û ê x =
ê
2
ê
ê x = 3p
ë	2
Dòng 1: Trên [-p ;2p ] hàm số t = sinx có 5 điểm kỳ dị.
Dòng 2: Ngoài các giá trị ui = u (ai ) với (i = 1,...,5)
Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm
y = f (x) trên đoạn [-1;1] là 0.
Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số
f (u )
Ta có phương trình
2 f (sinx) + 3 = 0 Û
f (sinx) =
f (u) = - 3 .
2
Dựa vào bảng biến thiên. Ta có phương trình đã cho có 6 nghiệm.
Nhận xét: Sau khi học sinh làm quen thao tác ghép bảng biến thiên thì học sinh dễ dàng tìm được số nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2.3.4. [Trích đề minh họa BGD năm 2020 ] Cho hàm số biến thiên như sau:
f ( x)
có bảng
Số nghiệm thuộc đoạn
é0; 5p ù
của phương trình
f (sin x) =1 là:
ëê	2 úû
A. 7 .	B. 4 .	C. 5 .	D. 6 .
Lời giải
Cách 1: Cách giải truyền thống.
Đặt t = sin x ,
x Îé0; 5p ù Þ t Î[-1;1]
ëê	2 úû
Khi đó phương trình f (sin x) =1 trở thành f (t ) =1,"t Î[-1;1]
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số
y = 1.
y = f (t )
và đường thẳng
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
Trường hợp 1: t = a Î(-1;0)
ét = a Î(-1;0)
( ) =	Û	t = b Î(0;1)
f t	1	ê	.
ë
Ứng với mỗi giá trị t Î(-1;0)
mãn p < x1 < x2 < 2p .
Trường hợp 2: t = b Î(0;1) .
thì phương trình sin x = t có 2 nghiệm
x1, x2
thỏa
Ứng với mỗi giá trị t Î(0;1) thì phương trình có 3 nghiệm
x1, x2, x3 thỏa mãn
0 < x < x
< p ; 2p < x
< 5p ;
3	4	5	2
Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau.
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn
é0; 5p ù .
Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên.
ëê	2 úû
5p ù
ú . Ta có: t ' =
ê
cosx = 0 Û ê x =
ê
3p
2

ê
5p

êë
2

é x = p
Đặt t = sin x ,

x Îé0;
êë	2 û
ê	2
ê x =
Dòng 1: Trên
é0; 5p ù
hàm số t = sinx

có 4 điểm kỳ dị.
ëê	2 úû
Dòng 2: Ngoài các giá trị ui = u (ai ) với (i = 1,..., 4)
Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm
y = f (x) trên đoạn [-1;1] là 0.
Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số
f (u )
Dựa vào bảng biến thiên.
Ta có số nghiệm của phương trình f (sin x) =

f (u) =1 là 5.
Ví dụ 2.3.5. Cho hàm số
f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn
é0; 9p ù của phương trình
f (2sin x +1) =1là:
ëê	2 úû
A. 7 .	B. 4 .	C. 5 .	D. 6 .
Lời giải
Cách 1: Cách giải truyền thống.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có Như vậy:
éx = -1
ê
f ( x) = 1 Û êx = a Î(1;3)	.
ë
êx = b Î(3;+¥)
ê
é2sin x + 1 = -1
é
êsin x = -1(1)
f (2sin x + 1) = 1 Û ê2sin x + 1 = a Î(1;3)
ë
ê2sin x + 1 = b Î(3; +¥)
ê
Û êsin x =
ê
ê
êsin x =
ë
a -1
2
b -1
2
, a Î(1;3) (2)	.
,b Î(3; +¥) (3)
Trên đoạn
é0; 9p ù phương trình sin x = -1 có 2 nghiệm x = 3p , x = 7p .
ëê	2 úû	2	2
+ Với
1 < a < 3 Þ 0 < a -1 < 2 Þ 0 < a -1 < 1. Do đó
2
sin x = a -1 có 5 nghiệm
2
phân biệt thuộc
é0; 9p ù , các nghiệm này đều khác 3p và 7p .
ëê	2 úû	2	2
+ Với b > 3 Þ b -1 > 2 Û b -1 > 1. Do đó sin x = b -1 vô nghiệm.
2	2
Vậy trên đoạn é0; 9p ù phương trình f (2sin x +1) =1có 7 nghiệm.
ëê	2 úû
ê
3p

é	9p ù
ê
ê
cosx = 0 Û ê x =
2
5p
êë0; 2 úû . Ta có: t ' =
ê
2

Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên.
Đặt t = 2sin x +1, x Î
é x = p
ê
2
ê x =
ê x = 7p
2
ê
ê
ê x = 9p
Dòng 1: Trên
é0; 9p ù

hàm số t = sinx
êë	2
có 6 điểm kỳ dị.
ëê	2 úû
Dòng 2: Ngoài các giá trị ui = u (ai ) với (i = 1,...,6)
Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm
y = f (x) trên đoạn [-1;3] là 1.
Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số
f (u )
x
0	p	3p	5p	7p	9p
2	2	2	2	2
u
1	3	1	-1	1	3	1	-1	1	3
f (u)
2	2	2	2	2
1	1
-2	-2	-2

Dựa vào bảng biến thiên thu gọn ta thấy phương trình nghiệm.
f (2sin x +1) =1
có 7
Nhận xét: Qua 2 cách giải trên chúng ta thấy với cách ghép bảng biến thiên học sinh dễ dàng tìm được số nghiệm phương trình đã cho mà không phải xét nhiều trường hợp khác nhau.
Ví dụ 2.3.5: Cho hàm số
y = f ( x)
có đồ thị được cho như ở hình vẽ bên dưới.
Hỏi phương trình biệt?
f (x3 - 3x +1) - 2 =1
có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân
A. 8.	B. 6.	C. 9.	D. 11.
Lời giải
Cách 1: Cách giải truyền thống.
- Dựa vào đồ thị hàm số
f ( x) , ta có:
( 3	ê)
é f (x3 - 3x + 1) = 1
f	x - 3x + 1 - 2 = 1 Û
éé x3 - 3x + 1 = b (b < -1) (2)
ê
ê
êê x3 - 3x + 1 = c (-1 < c < 3) (3)
Û
ê f	x3 - 3x + 1 = 3
êê x3 - 3x + 1 = d (d > 3) (4)
ë (	)
êêë
ë
ê x3 - 3x + 1 = a (a > d ) (1)
Dựa vào đồ thị hàm số
y = x3 - 3x +1 (hình vẽ dưới đây)
Ta suy ra:
Phương trình (1) có 1 nghiệm
Phương trình (2) có 1 nghiệm
Phương trình (4) có 1 nghiệm
Phương trình (3) có 3 nghiệm và các nghiệm này đều phân biệt. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.
Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên.
Đặt u = x3 - 3x +1. Khi đó u¢( x) = 3x2 - 3;
Ta có u¢( x) = 0 Û x = ±1. BBT của hàm số u ( x) :
x	¥	1	1	+¥
u'	+	0	0	+
u	3	+¥
¥	1
Dòng 1: Trên R hàm số u = x3 - 3x +1 có 4 điểm kỳ dị. Dòng 2: Ngoài các giá trị ui = u (ai ) với (i = 1,..., 4)
Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm
y = f (x)
trên nửa đoạn (-¥;3] là (-1)
trên nửa đoạn [ -1;+¥)
là 3.
Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số
f (u )
x
-¥	-1	1	+¥
u
-¥	-1	3	-1	3	+¥
f (u)
2	2	+¥
-¥	-3	-3

Phương trình
f (x3 - 3x +1) - 2 =1 trở thành:
é f (u ) = 3
f (u ) - 2 = 1 Û ê
êë f (u ) = 1
Từ bảng biến thiên thu gọn ta thấy:
Phương trình
Phương trình
f (u) = 1 có 5 nghiệm
f (u) = 3 có 1 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm.
Ví dụ 2.3.6: [Trích đề thi chuyên Phan bội châu năm 2020]: Cho hàm số
y = f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) có đồ thị như hình vẽ.
Phương trình
f ( f ( x)) = 0
có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?
A. 8.	B. 6.	C. 7.	D. 9.
Cách 1: Cách giải truyền thống.
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
é f ( x) = a Î(-2;-1)(1) f ( f ( x)) = 0 Û ê f ( x) = b Î(0;1)	(2)
ê
ë
ê f ( x) = c Î(1;2)	(3)
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và
đường thẳng y = a với
a Î(-2;-1) , do đó phương trình (1) có 1 nghiệm.
Tương tự ta có:
Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt. Phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt. Nhận thấy các nghiệm của 3 phương trình (1), (2), (3) đôi một phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt.
Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên.
Đặt u =
f (x). Ta có u¢( x) =
f '(x) ; u¢( x) = 0 Û x = ±1.
BBT của hàm số u ( x) :
x	¥	1	1	+¥
u'	+	0	0	+
u	3	+¥
¥	1
Dòng 1: Trên R hàm số u =
f (x) có 4 điểm kỳ dị.
Dòng 2: Ngoài các giá trị ui = u (ai ) với (i = 1,..., 4)
Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm
y = f (x) trên nửa đoạn (-¥;3] là (-1) và 1;
trên đoạn [3; -1] là 1. Trên nửa đoạn (-1;+¥] là 1.
Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số
f (u )
x
-¥	-1	1	+¥
u
-¥	-1	1	3	1	-1	1	+¥
f (u)
3	c	3	+¥
-¥	-1	-1	-1
Trong đó ta có c = f (3) > 3.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình biệt.
f ( f ( x)) = 0
có 7 nghiệm phân
Ví dụ 2.3.7. Cho hàm số bậc ba
y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm
thực của phương trình
f (x4 - 2x2 ) = 2 là:
A. 8 .	B. 9 .	C. 7 .	D. 10 .
Lời giải
Cách 1: Cách giải truyền thống.

ê ( 4	2 )
é f (x4 - 2x2 ) = 2
Phương trình
f (x4 - 2x2 ) = 2 Û ê	.
ë f	x - 2x	= -2
* Phương trình
éx4 - 2x2 = b,(-1 < b < 0)
ê
f (x4 - 2x2 ) = 2 Û êx4 - 2x2 = c,(0 < c < 1)	.
ë
êx4 - 2x2 = d ,(2 < d < 3)
* Phương trình
f (x4 - 2x2 ) = -2 Û x4 - 2x2 = a,(-2 < a < -1) .
Đồ thị hàm số
y = x4 - 2x2
như hình vẽ sau:
Dựa vào đồ thị trên ta có:
Phương trình
x4 - 2x2 = a,(-2 < a < -1)
không có nghiệm thực.
Phương trình
Phương trình
x4 - 2x2 = b,(-1 < b < 0) có 4 nghiệm thực phân biệt.
x4 - 2x2 = c,(0 < c <1) có 2 nghiệm thực phân biệt.
Phương trình
x4 - 2x2 = d,(2 < d < 3)
có 2 nghiệm thực phân biệt.
Vậy phương trình
f (x4 - 2x2 ) = 2 có 8 nghiệm thực phân biệt.
Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên.
êx = ±1
Đặt u = x4 - 2x2 .Ta có u¢( x) = 4x3 - 4x ; u¢( x) = 0 Û é x = 0 .
ë
BBT của hàm số u ( x) :
x
-¥	-1	0	1	+¥
u '
-	0	+	0	-	0	+
u
+¥	0	+¥
-1	-1

Dòng 1: Trên R hàm số u = x4 - 2x2
có 5 điểm kỳ dị.
Dòng 2: Ngoài các giá trị ui = u (ai ) với (i = 1,...,5)
Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm
y = f (x) trên nửa đoạn [ -1;+¥)
là 0 và 2.
Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số
f (u )
x
-¥	-1	0	1	+¥
u
+¥	2	0	-1	0	-1	0	2	+¥
f (u)
+¥	3	3	3	+¥
y = 2
-1	-1	-1	-1

Ta có phương trình
f (x4 - 2x2 ) = 2 Û é
f (u) = 2	(1)
ë
ê f (u) = -2 (2)
Dựa vào BBT ta thấy: phương trình (1) có 8 nghiệm; phương trình (2) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 8 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2.3.8. Cho hàm số
f ( x)
xác định và liên tục trên R, có bảng biến thiên:
x
-¥	-2

2
2
2
+¥
f ¢( x)
0
+
0
0
+
f ( x)
+¥


3

+¥




0



-1




Số nghiệm của phương trình
f (x +
) = 1 bằng:
4 - x2
A. 4.	B. 5.	C. 3.	D. 2.
Cách giải: Phương pháp ghép bảng biến thiên.
Điều kiện:
Đặt u = x +
-2 £ x £ 2
4 - x2