Sáng kiến kinh nghiệm Tạo hứng thú cho học sinh khi dạy học phép biến hình và ứng dụng vào giải các bài toán trong mặt phẳng tọa độ

 lượt là các điểm nằm trên các cạnh CD, DA sao cho CM = DN. Biết A(1;1) và đường thẳng BN có phương trình x+2y-8=0. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng AM và BN.
Hướng dẫn giải: Theo bài toán trên ta có BN^AM nên AM là đường thẳng qua A(1;1) và vuông góc với đường thẳng BN nên có phương trình 2x-y-1=0.
Tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng AM và BN là nghiệm của hệ
ìx + 2 y - 8 = 0 Þ ìx = 2

. Vậy giao điểm I(2;3).
í2x - y -1 = 0	í y = 3
î	î
Trong bài toàn trên thay đổi giả thiết ta có bài toán sau:
Ví dụ 3.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M,N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh CD, DA sao cho CM = DN. Gọi I là giao điểm của AM và BN. Biết A(1;1) và I(2;3). Viết phương trình đường thẳng BN.
Hướng dẫn giải:
Theo bài toán trên ta có BN^AM nên BN là đường thẳng qua I(2;3) và nhận
AI = (1; 2)
làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình
x + 2y - 8 = 0 .
Trong các bài toán trên chúng ta đã sử dụng phép quay để rút ra tính chất hình học của bài toán rổi mới sử dụng vào giải bài toán trong mặt phẳng tọa độ. Vấn đề đặt ra là ta có thể rút ra mối liên hệ giữa tọa độ của ảnh và tạo ảnh của phép quay đã xác định. Từ đó vận dụng trực tiếp vào giải các bài toán trong mặt phẳng tọa độ sẽ có tầm ứng dụng rộng rãi hơn.
Ví dụ 3.3 (ĐH B- 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2 ;2) và
hai đường thẳng
d1 : x + y - 2 = 0 ;
d2 :
x + y - 8 = 0
Tìm tọa độ hai điểm B, C lần lượt thuộc d1 , d2
cân tại A.
sao cho tam giác ABC vuông
Dưới đây là cách gải mà học sinh thường áp dụng
Vì B Î d1, C Î d2
nên
B (b; 2 - b);
C (c;8 - c)
; AB = (b - 2; -b), AC = (c - 2;6 - c)
Từ giả thiết ta có hệ
ìï AB.AC = 0 Û ìï(b - 2)(c - 2) + (-b)(6 - c) = 0
í AB = AC
í 2 + (b - 2)2 = (c - 2)2 + (6 - c)2
Û ìïbc - 4b - c + 2 = 0
ïî	ïîb
í
Û ìï(b -1)(c - 4) = 2
í
ïîb2
- 2b = (c - 2)
2 + (6 - c)2
ïî(b -1)
2 -(c - 4)2 = 3
Đặt b - 1 = x, c - 4 = y ta được hệ phương trình
ìxy = 2
Û é x = -2, y = -1 Û éb = -1, c = 3
íx2 - y2 = 3	ê x = 2, y = 1	êb = 3, c = 5
î	ë	ë
Vậy B(-1;3) và C(3;5) hoặc B(3;-1)và C(5;3).
*Nhận xét : Trong bài toán trên lời giải chỉ đơn thuần sử dụng một số kiến thức tọa độ trong mặt phẳng để đưa về hệ phương trình đại số. Tuy nhiên việc giải hệ phương trình có được lại khá phức tạp phải thông qua một bước đặt ẩn rồi mới giải được. Trong thực tế khi có hệ phương trình này thì đa số học sinh thường dùng
phương pháp thế để giải như từ phương trình thứ nhất ta có
c = 4b - 2
b -1
rồi thế vào
phương trình thứ hai ta được
æ 4b - 2 ö2
b2 - 2b + 2 = ç	÷
- 8 4b - 2
+ 20
(1). Tiếp tục biến
è b -1 ø	b -1
đổi sẽ đưa về phương trình bậc bốn rồi giải như sau :
(1) Û (b2 - 2b -18)(b -1)2 = 16b2 -16b + 4 - 8(4b2 - 6b + 2)
Û b4 - 2b3 + b2 - 2b3 + 4b2 - 2b -18b2 + 36b -18 = -16b2 + 32b -12
Û b4 - 4b3 + 3b2 + 2b - 6 = 0
Û (b +1)(b3 - 5b2 + 8b - 6) = 0
êb = 3
Û (b +1)(b - 3)(b2 - 2b + 2) = 0 Û éb = -1
ë
Việc biến đổi này khá phức tạp, dễ sai sót dẫn đến nhiều em sẽ lúng túng và mất nhiều thời gian bất lợi cho quá trình làm bài. Hơn nữa nếu kết quả tọa độ các điểm B và C là phân số khó nhẩm nghiệm thì việc giải theo phương pháp này sẽ không thể đi đến kết quả.
Nếu cũng với bài toán này chúng ta sử dụng phép biến hình để giải thì sẽ rất đơn giản, ngắn gọn và khắc phục được việc giải hệ quá phức tạp như trên :
Lời giải : Do
B Î d1 Þ B (b;2 - b). Ta có
AB = (b - 2; -b) . Đặt
AC = ( x '; y ')
Theo bài ra tam giác ABC vuông cân tại A nên C là ảnh của B qua phép quay tâm A góc quay a =90 0 hoặca = -90 0
+ TH1: a =90 0 . Áp dụng công thức (II) ta có
ìx ' = b	Þ ìxc - 2 = b
Þ C (b + 2;b)
í y ' = b - 2	í y - 2 = b - 2
î	î c
Mặt khác , C thuộc d2
nên ta có
xc + yc - 8 = 0
Û b + 2 + b -8 = 0 Þ b = 3
Nên
B (3; -1)
và C (5;3) .
+ TH2: a = -90 0 . Áp dụng công thức (III) ta có
ìx ' = -b	Þ ìxc - 2 = -b
Þ C (2 - b; 4 - b)
í y ' = 2 - b	í y - 2 = 2 - b
î	î c
Mặt khác , C thuộc d2
nên ta có
xc + yc - 8 = 0 Û 2 - b + 4 - b -8 = 0 Þ b = -1
Nên B(-1;3) và C(3;5) .
Vậy B(-1;3) và C(3;5) hoặc B(3;-1)và C(5;3
*Nhận xét: Từ bài toán trên ta thấy với các bài toán xuất hiện quan hệ tam giác vuông cân thì ta có thể nghĩ đến sử dụng phép quay góc quay a =90 0 hoặc a
= -90 0 . Mặt khác từ bài toán trên ta có thể thay việc cho B, C lần lượt nằm trên
hai đường thẳng
d1 , d1
bởi một đường thẳng và một đường tròn hoặc hai đường
tròn ta sẽ được một số bài toán khác với cách giải tương tự như sau
Ví dụ 3.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(2 ;2) và hai đường
thẳng
d1 : x + y - 2 = 0
và đường tròn (C):
x2 + y2 - 8x - 8y + 30 = 0 . Tìm tọa độ hai
điểm B, C lần lượt thuộc đường thẳng vuông cân tại A.
d1 và đường tròn (C) sao cho tam giác ABC
Lời giải :	Do
B Î d1 Þ B (b;2 - b). Ta có
AB = (b - 2; -b) . Đặt
AC = ( x '; y ')
Theo bài ra tam giác ABC vuông cân tại A nên C là ảnh của B qua phép quay tâm A góc quay a =90 0 hoặca = -90 0
+ TH1: a =90 0 . Áp dụng công thức (II) ta có
ìx ' = b	Þ ìxc - 2 = b
Þ C (b + 2;b) .
í y ' = b - 2	í y - 2 = b - 2
î	î c
Mặt khác, C Î(C)
nên (b + 2)2 + b2 - 8(b + 2) - 8b + 30 = 0

Þ b = 3
Nên
B (3; -1)
và C (5;3)
+ TH2: a = -90 0 . Áp dụng công thức (III) ta có
ìx ' = -b	Þ ìxc - 2 = -b
Þ C (2 - b; 4 - b) .
í y ' = 2 - b	í y - 2 = 2 - b
î	î c
Mặt khác,

C Î(C)
nên ta có (2 - b)2 + (4 - b)2 - 8(2 - b) - 8(4 - b) + 30 = 0 Þ b = -1
Nên
B (-1;3)
và C (3;5)
Vậy B(-1;3) và C(3;5) hoặc B(3;-1)và C(5;3)
Ví dụ 3.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(2 ;2) và hai đường tròn
1
(C ) : x2 + y2 - 2x - 2 y - 6 = 0
và đường tròn (C2 ) :
x2 + y2 - 8x - 8y + 30 = 0 . Tìm tọa độ
hai điểm B, C lần lượt thuộc đường tròn (C1 )
ABC vuông cân tại A.
và đường tròn (C2 )
sao cho tam giác
Lời giải :Gọi B ( x ; y ) , do B thuộc (C )
nên ta có x 2 + y2 - 2x - 2y
- 6 = 0 .
0	0
Ta có AB = ( x0 - 2; y0 - 2)
1	0	0	0	0
Theo bài ra tam giác ABC vuông cân tại A nên C là ảnh của B qua phép quay tâm A góc quay a =90 0 hoặca = -90 0
+ TH1: a =90 0 , đặt
AC = ( x '; y ')

. Áp dụng công thức (II) ta có
ìx ' = 2 - y0
í y ' = x - 2
î	0
Þ AC = (2 - y0 ; x0 - 2) Þ C(4 - y0 ; x0 )
Mặt khác , C thuộc (C ) nên ta có
x2 + y2 -8x -8y + 30 = 0
2	c	c	c	c
Suy ra (4 - y )2 + x 2 - 8(4 - y ) - 8x + 30 = 0 Û x 2 + y2 - 8x

+14 = 0
0	0	0	0	0	0	0
ìïx 2 + y2 - 2x
2 y
- 6 = 0
é x0 = 3, y0 = -1
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ í
0	0	0	0
Þ ê	19	7
ïx2 + y2 - 8x
+14 = 0
ê x0 =	, y0 =

î 0	0	0
êë	5	5
Nên
B (3; -1)
và C (5;3)
hoặc
B æ 19 ; 7 ö
ç 5 5 ÷
è	ø
và C æ 13 ;19 ö .
ç 5	5 ÷
è	ø
+ TH2: a = -90 0 , đặt
AC = ( x '; y ') . Áp dụng công thức (III) ta có
ìx ' = y0 - 2 Þ
- 2; 2 - x ) Þ C( y ; 4 - y )
í y ' = 2 - x

AC = ( y0
0	0	0
î	0
Mặt khác C thuộc (C ) nên ta có
x2 + y2 -8x -8y + 30 = 0
2	c	c	c	c
Suy ra	y2 + (4 - x )2 - 8 y - 8(4 - x ) + 30 = 0 Û x2 + y2 - 8 y

+14 = 0
0	0	0	0	0	0	0
ìïx2 + y2 - 2x
2 y
- 6 = 0
éx0 = -1, y0 = 3
Tọa độ B là nghiệm của hệ í
0	0	0	0
Þ ê	7	19
ïx2 + y2 - 8 y
+14 = 0
êx0 =	, y0 =

î 0	0	0
êë	5	5
Nên
B (-1;3)
và C (3;5)
hoặc
B æ 7 ;19 ö
ç 5 5 ÷
è	ø
và C æ 19 ;13 ö .
ç 5	5 ÷
è	ø
Bên cạnh những bài toán xuất hiện tường minh yếu tố tam giác vuông cân thì ta cũng có thể sử dụng phương pháp này qua một số bước suy luận đơn giản để làm xuất hiện tam giác vuông cân như bài toán dưới đây.
Ví dụ 3.6 ( ĐH A-2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN =
2ND. Giả sử độ điểm A.
M æ 11; 1 ö
ç 2 2 ÷
è	ø
và đường thẳng AN có phương trình 2x - y - 3 = 0 . Tìm tọa
Hướng dẫn giải:
+ Bài toán cho phương trình đường thẳng AN và tọa độ điểm M. Để tìm tọa độ điểm A ta phải tìm được mối liên hệ giữa điểm A và điểm M.
+ Bây giờ từ tọa độ điểm M và phương trình đường thẳng AN ta có thể tìm được tọa độ của điểm nào khác không?
+ Câu trả lời là ta có thể tìm được tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng AN.
+ Khi đã có điểm H được xác định chúng ta sẽ nghĩ đến mối liên hệ giữa ba, M, A có quan hệ gì đặc biệt nữa không?
+ Bằng kiến thức hình học phẳng ta dễ dàng chứng minh được AH = MH hay tam giác AHM vuông cân ở H. Vậy A là ảnh của điểm M qua phép quay tâm H
góc quay
900
hoặc
-900 .
Lời giải:
Ta có
A + A + A
= 900 nên
cot A = tan( A + A )	A	j B
1	2	3
2	1	3
1 + 1
tan A + tan A	3	2
Þ A = 450	M
2
cot A =	1	3 =	= 1	2
1- tan A1 tan A3
1- 1 . 1
3 2
1
2
3
H
k	C
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng	D	N
AN thì tam giác AHM	vuông cân tại H. Ta tìm tọa độ điểm H.
Phương trình đường thẳng MH đi qua
1.æ x - 11 ö + 2æ y - 1 ö = 0
M æ 11; 1 ö
ç 2 2 ÷
è	ø
và vuông góc với đường thẳng AN
là	ç
2 ÷	ç	2 ÷
è	ø	è	ø
Û 3x + 4 y -13 = 0
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình
ì2x + 4 y = 13 Þ H æ 5 ;2ö
í2x - y = 3	ç 2	÷
î	è	ø
Do tam giác AHM vuông cân ở H nên A là ảnh của điểm M qua phép quay
tâm H góc quay 900
hoặc
-900 .
+ Trường hợp 1: A là ảnh của M qua phép quay tâm H góc quay 900 .
Đặt
HA = ( x '; y ')
, ta có
HM = æ 3; - 3 ö
. Áp dụng công thức (II) ta được
ç	2 ÷
è	ø
ìx ' = 3	ìx - x	= 3
ï	2 Þ ï A	H
2 Þ A(4;5)
í	í
ïî y ' = 3	ïî yA - yH = 3
+ Trường hợp 2: A là ảnh của M qua phép quay tâm H góc quay - 900 .
Đặt
HA = ( x '; y ')
, ta có
HM = æ 3; - 3 ö
. Áp dụng công thức (III) ta được
ç	2 ÷
ìx ' =- 3	ìx - x
è	ø
= - 3
ï	2 Þ ï A	H
2 Þ A(1; -1) .Vậy A(1;-1) hoặc A(4;5).
í	í
ïî y ' = -3	îï yA - yH = -3
Dưới đây là một cách giải khác
Gọi H là giao điểm của AN và BD.	A	j B
Qua H kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC lần lượt tại P và Q. Ký hiệu độ dài đoạn HP bằng x. Do
1	1	M
DN=
DC =	AD
3	3
suy ra AP=3x, QC=PD=HP=x suy ra	H
P	l	Q
MQ=x, DAHP = DHMQ , do đó AH vuông góc với HM và
k	C
2
AH=HM suy ra AM=	D	N
2
MH=
d(M;AN)=
=	11- 7 = 3
2 2xM - yM - 3
22 +12
2
5
2	2
10 .
Điểm A thuộc đường thẳng AN nên tọa độ c