Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp hàm số đại diện để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
 TRƯỜNG THPT TRỰC NINH
BÁO CÁO SÁNG KIẾN
ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐẠI DIỆN ĐỂ GIẢI 
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tác giả 1: Nguyễn Văn Diễn 
Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Toán học
Chức vụ: Giáo viên 
Tác giả 2: Nguyễn Đình Dùng 
Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Toán học
Chức vụ: Phó hiệu trưởng
Nơi công tác: Trường THPT Trực Ninh 
 Nam Định, ngày 20 tháng 05 năm 2016
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến: Phương pháp hàm số đại diện để giải phương trình, bất phương 
 trình và hệ phương trình.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 10/10/2015 đến ngày 10/05/2016
4. Tác giả: 
	Họ và tên: Nguyễn Văn Diễn
	Năm sinh: 13/03/1985
	Nơi thường trú: Xã Liêm Hải, Huyện Trực Ninh, Tỉnh Nam Định.
	Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Toán học
Chức vụ công tác: Giáo viên dạy bộ môn Toán
Nơi làm việc: Trường THPT Trực Ninh A
Điện thoại: 0918254492
Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 50%
5. Đồng tác giả 
Họ và tên: Nguyễn Đình Dùng
	Năm sinh: 12/08/1975
	Nơi thường trú: Xã Trực Thanh, Huyện Trực Ninh, Tỉnh Nam Định.
 Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Toán học
Chức vụ công tác: Phó hiệu trưởng.
Nơi làm việc: Trường THPT Trực Ninh A
Điện thoại: 0917493236
Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 50%
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến: 
	Tên đơn vị: Trường THPT Trực Ninh A	
 Địa chỉ: TT Cát Thành-huyện Trực Ninh-tỉnh Nam Định
	Điện thoại:03503883099
 BÁO CÁO SÁNG KIẾN
ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
 Phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình là chuyên đề mang nội dụng quan trọng, phổ biến với nhiều dạng toán xuyên suốt các cấp học mà chúng ta thường gặp trong các kì thi kiểm tra chất lượng học kì, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, đặc biệt là kì thi THPT Quốc Gia hay kì thi học sinh giỏi các cấp, chúng rất đa dạng và phong phú về đề bài và lời giải. Ngày nay với sự sáng tạo không ngừng của người học toán thì phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình ngày càng xuất hiện rất nhiều trên các diễn đàn Toán học với những hình thức, ý tưởng mới mẻ và đặc sắc. Mặc dù đây là một đề tài quen thuộc, chính thống nhưng không vì thế mà giảm đi phần thú vị, nhiều bài toán cơ bản tăng dần lên mức độ khó, thậm chí rất khó, với các biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kĩ năng vẫn làm khó học sinh THCS, THPT. Một phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau. Tuy nhiên đối với các em học sinh có học lực trung bình, khá thì việc tìm ra được lời giải cho bài toán còn nhiều khó khăn.
 Thực trạng trường THPT Trực Ninh còn nhiều em chưa cảm thấy có hứng thú nhiều với việc học giải toán liện quan đến phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình. Chỉ những em học sinh có học lực khá, giỏi của trường mới có sự quan tâm và có niềm đam mê chinh phục nội dung Toán học này. Các em học sinh khá, giỏi quan tâm đến phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình bởi nội dung của chuyên đề này thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia và ở mức độ khó. Các em học sinh phải chiếm lĩnh được chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình thì mới có cơ hội đạt điểm cao môn Toán và cơ hội trúng tuyển những trường Đại học tốp đầu mà các em đang mơ ước. Với mong muốn ngày càng có nhiều em học sinh cảm thấy có hứng thú và có niềm đam mê chinh phục những nội dung Toán học đỉnh cao này, tôi đã xây dựng chuyên đề về sử dụng hàm số đại diện để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.
 MÔ TẢ GIẢI PHÁP
Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến 
 Trước khi học sinh được học đạo hàm, học sinh đã được tiếp cận và sử dụng các phương pháp cơ bản để giải phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình.
Các phương pháp rất mạnh đã được khẳng định thương hiệu như phương pháp đặt ẩn phụ hay phương pháp đưa về dạng tích. Tuy nhiên trong nhiều bài toán các phương pháp đó lại không phát huy được hiệu quả, đặc biệt đối với những phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình có hình thức cồng kềnh, phức tạp. Chính vì thế với mong muốn học sinh có nhiều phương pháp hơn, có nhiều sự lựa chọn hơn để giải quyết được nhiều bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương, tôi đã xây dựng chuyên đề về phương pháp hàm số đại diện.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
 Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm gồm 4 Chương, trong mỗi Chương lại gồm các bài khác nhau, trong mỗi bài lại gồm các ví dụ cụ thể, mỗi một ví dụ được trình bày theo cấu trúc Phân tích- Lời giải-Bình luận. Việc đưa ra những phân tích giúp cho học sinh có những định hướng lời giải của bài toán một cách tự nhiên dựa trên hình thức của bài toán, giúp cho học sinh có những dự báo về những thuận lợi và khó khăn khi mà học sinh quyết định lựa chọn một hướng giải nào đó để giải quyết bài toán. Còn việc đưa ra lời giải của bài toán là lời giải chính thức mang tính chính xác và chuẩn mực nhất dựa trên những phân tích ở trên. Đặc biệt trong mỗi ví dụ bằng những bình luận sắc bén nhằm nhấn mạnh những điểm mấu chốt của bài toán và đưa ra các cách giải khác để so sánh ưu điểm, nhược điểm với phương pháp hàm số đại diện và làm tăng thêm sự phong phú đa dạng cho lời giải của bài toán. Học sinh thấy được những dấu hiện nổi bật của bài toán để lựa chọn phương pháp giải toán cho phù hợp. Như vậy phần bình luận nhằm tổng kết lại phương pháp đã sử dụng và đưa ra những phương hướng mới cho lời giải bài toán hay phát triển bài toán thành một lớp bài toán rộng hơn để thấy được sự thành công của phương pháp hàm số đại diện. Sau đây tôi trình bày những nội dung cụ thể của giải pháp trong sáng kiến.
CHƯƠNG 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG 
 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐẠI DIỆN
Bài 1. Kiến thức cơ sở
 Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng nào đó của và hàm số 
 liên tục trên miền K. Khi đó ta có một số kết quả sau đây 
Cho hàm số đơn điệu trên K. Khi đó với mọi thuộc tập K thỏa mãn phương trình khi và chỉ khi .
Cho hàm số đồng biến trên K. Khi đó với mọi thuộc tập K thỏa mãn bất phương trình khi và chỉ khi .
Cho hàm số nghịch biến trên K. Khi đó với mọi thuộc tập K thỏa mãn bất phương trình khi và chỉ khi .
Cho hàm số đơn điệu trên K thì trên K, phương trình có nhiều nhất một nghiệm. Điều đó cũng có nghĩa là trên K, phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng Nếu trên khoảng phương trình có nghiệm phân biệt thì trên khoảng phương trình có không quá nghiệm phân biệt. Cần lưu ý là kết quả này khi sử dụng phải chứng minh, chúng ta nên dùng nó như một dấu hiệu để nhận biết, còn khi trình bày vào bài làm thì nên lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng 
Giải phương trình bằng phương pháp hàm số đại diện có nghĩa là chúng ta biến đổi phương trình đã cho về dạng . Trong đó hàm số là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng và các biểu thức Khi đó phương trình 
Giải bất phương trình bằng phương pháp hàm số đại diện có nghĩa là ta biến đổi bất phương trình đã cho về dạng Trong đó hàm số là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng và các biểu thức Khi đó
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng thì bất phương trình 
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng thì bất phương trình 
Bài 2. Kỹ thuật tìm hàm số đại diện dựa vào cấu trúc của hai vế trong phương trình hay bất phương trình
 Đặt vấn đề. Tìm kiếm hàm số đại diện trực tiếp bằng những suy luận về cấu trúc của hai vế trong phương trình hay bất phương trình là thao tác chúng ta quan sát trực tiếp hai vế của phương trình hay bất phương trình đã cho, quan sát về mặt cấu trúc của hai vế xem giống hệt nhau chưa. Nếu chưa giống thì chúng ta thực hiện các phép biến đổi cần thiết. Cần chú ý có thể một trong hai vế của phương trình hay bất phương trình đã làm nền, làm mẫu để là gợi ý chúng ta biến đổi vế còn lại theo cái nền, cái mẫu đó. Trường hợp khác là không có vế nào của phương trình, bất phương trình có khả năng làm mẫu thì chúng ta phải biến đổi phương trình, bất phương trình đó để tìm một đại lượng trung gian để thay mặt, để đại diện cho cả hai vế. Đại lượng trung gian đó được gọi là biểu thức của hàm số đại diện hay hàm số đặc trưng cần tìm. Giải phương trình hay bất phương trình theo định hướng này phải trải qua hai công đoạn, trước hết ta phải dự đoán các biểu thức và sau đó ta đi thiết kế hàm số diện thỏa mãn và việc tìm kiếm , đóng vai trò then chốt.
Ví dụ 1.2.1. Giải phương trình 
 Phân tích. Vế trái của phương trình là một đa thức bậc ba với ẩn là x. Trong vế phải của phương trình xuất hiện biểu thức 5-3x lặp lại nhiều lần. Mặt khác, ta có thể biến đổi là một biểu thức bậc 3 đối với đại lượng . Khi đó vế phải của phương trình trở thành , đây là một đa thức bậc ba đối với đại lượng . Đến đây cấu trúc của vế trái giống hệt cấu trúc của vế phải (đều có dạng đa thức bậc ba và các hệ số tương ứng bằng nhau), từ đây ta có thể đề xuất một hàm số , được gọi là hàm số đại diện (hay hàm số đặc trưng) để lột tả nên sự giống nhau về cấu trúc của hai vế trong phương trình. Ta có các biểu thức Khi ta thay t=x thì ta có được vế trái của phương trình là biểu thức còn thay ta thu được vế phải của phương trình là biểu thức Khi đó phương trình trở thành , đến đây bài toán được giải quyết.
 Lời giải. Điều kiện xác định Phương trình tương đương với 
+) Ta có hàm số liên tục trên Có suy ra hàm số đồng biến trên . Khi đó phương trình (*) có dạng 
+) Kết luận. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 
 Bình luận. Để chứng minh hàm số đồng biến trên chúng ta đã sử dụng công cụ đạo hàm của lớp 12, còn khi dạy bài toán này với đối tượng là học sinh lớp 10 (học sinh lớp 10 chưa được học đạo hàm) thì chúng ta có thể chứng minh hàm số đại diện đồng biến bằng cách chỉ ra hàm số đó thỏa mãn định nghĩa của hàm số đồng biến hoặc công cụ xét tỉ số. Cụ thể là với mọi giả sử ta có Tuy nhiên công cụ này chỉ phù hợp với hàm số có cấu trúc đơn giản, vì thế đối với học sinh lớp 10 chúng ta chỉ giới thiệu các bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình giải bằng phương pháp hàm số đại diện mà hàm số đại diện có cấu trúc đơn giả