Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán bất đẳng thức ba biến có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r

Học sinh giỏi Quốc gia năm 1996)
Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc +ca +abc = 4 . Chứng minh rằng ab + bc +ca £a +b +c.
Bài toán. (Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham gia thi Học sinh giỏi Toán Quốc tế năm 2021) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn
2(a2 + b2 + c2 )+ 3(ab + bc + ca)= 5(a + b + c).
Chứng minh rằng
4(a2 + b2 + c2 )+ 2(ab + bc + ca)+ 7abc £ 25 .
Tôi đã tìm tòi lời giải các bài toán này, nghiên cứu kỹ các lời giải đó và đúc rút ra một số kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình dạy học.
Thực trạng
Bài toán bất đẳng thức dạng này thường hay xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Toán, đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi Học sinh giỏi. Nhưng trong thực tế vấn đề dạy và học bài toán này Giáo viên và Học sinh gặp một số khó khăn và hạn chế như: Học sinh không nắm vững các bất đẳng thức đúng hay sử dụng, Học sinh không biết định hướng để tìm lời giải cho bài toán,; Khi giải xong bài toán Giáo viên không yêu cầu Học sinh nghiên cứu sâu lời giải,
Phương hướng và giải pháp
Một số định hướng để giải bài toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r
Bài toán 1. (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Toán năm học 2020-2021 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội)
Với a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a +b +c +abc = 4 , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + bc +ca .
Lời giải 1.
Ta chứng minh P £ 4 .
Từ giả thiết ta có ab +1> 0 và c = 4 -a -b ×
ab +1
Do đó

P £ 4 Û ab + (a + b)(4 -a -b) £ 4
ab +1
Û ab(ab +1)+(a +b)(4 -a -b)£ 4(ab +1)
Û(a + b- 2)2 ³ ab(ab-3)
(1)
Từ giả thiết ta lại có
ab ³ 0
và a +b £ 4 Þab-3 £ab-a -b +1=(a -1)(b -1)
Þab(ab-3)£ab(a -1)(b -1)
(2)
Ta sẽ chứng minh	(a + b- 2)2 ³ ab(a -1)(b -1)
(3)
Thật vậy:
TH1: Nếu (a -1)(b -1)< 0

thì VT(3) ³ 0 ³VP(3) .
TH2: Nếu (a -1)(b -1)³ 0 , thì
VT(3) =(a -1+ b-1)2 ³ 4(a -1)(b -1)³ VP(3)
(Vì
4ab £(a + b)2 £16 Þ ab £ 4 ).
Từ (2) và (3) suy ra (1) đúng (Điều phải chứng minh).
Suy ra P £ 4 , dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi a = b = 2, c = 0 .
Vậy giá trị lớn nhất của P là 4.
Nhận xét. Định hướng để tìm lời giải này là: “Từ giả thiết rút 1 biến nào đó theo 2 biến còn lại (có thể hạn chế điều kiện hoặc tìm điều kiện liên quan trước khi rút) thế vào bất đẳng thức cần chứng minh để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức 2 biến. Chứng minh bất đẳng thức này (với điều kiện đã tìm được) và kết luận”.
Lời giải 2.
Không mất tính tổng quát, giả sử a £ b £ c (*).
TH1: Nếu bc < 1 thì từ (*) và giả thiết a, b, c là ba số không âm suy ra
P £ 3bc Þ P <3 .
TH2: Nếu bc ³1 thì từ giả thiết suy ra
(a + b)(a +c)
4 = a + b +c +abc ³ a + b +c +a ³ 2
Þ 4 ³(a +b)(a +c)= a2 +ab +bc +ca ³ab +bc +ca
Þ P £ 4 .
Suy ra P £ 4 , dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi a = b = 2, c = 0 .
Vậy giá trị lớn nhất của P là 4.
Nhận xét. Định hướng để tìm lời giải này là: “Phân chia thành các trường hợp một cách hợp lý. Trong các trường hợp đó ta biến đổi một cách thích hợp rồi áp dụng các bất đẳng thức đúng đã biết để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh”.
Lời giải 3.
Đặt p =a +b +c, q =ab +bc+ca, r =abc.
Từ giả thiết ta có p + r = 4	(1) , p£ 4 và
æa +b +cö3
÷
ø
4 = a +b +c +abc £a +b +c +ççè	3	÷
Þ p3 + 27p -108 ³ 0 Þ(p - 3)(p2 + 3p + 36)³ 0
Þp ³3.
Do đó 3£p £4
(2)
Áp dụng bất đẳng thức Schur, ta có
p3 + 9r
p3 + 9r ³ 4pq Þ q £	(3)
4p
Từ (1) và (2) suy ra
p3 + 9r
p3 + 9(4 -p)	(p - 4)(p2 + 4p -9)
=	=	+ 4 £ 4

(4)
4p	4p	4p
Từ (3) và (4) suy ra q £ 4 hay ab +bc +ca £ 4 .
Suy ra P £ 4 , dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi a = b = 2, c = 0 .
Vậy giá trị lớn nhất của P là 4.
Nhận xét.
+) Định hướng để tìm lời giải này là: “Dùng các bất đẳng thức đúng đã biết để đánh giá các vế của bất đẳng thức cần chứng minh một cách hợp lý để dẫn đến việc cần chứng minh bất đẳng thức một biến (biến p); chứng minh bất đẳng thức này và kết luận (Để chứng minh thì ta phải tìm điều kiện cho p)”.
+) Với giả thiết như trong bài toán trên, ta có thể chứng minh bất đẳng thức chặt hơn là ab + bc +ca £a +b +c. Từ đó ta có bài toán sau (bài toán 2)
Bài toán 2. Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a +b +c +abc = 4 . Chứng minh rằng ab + bc +ca £a +b +c.
Lời giải. Từ giả thiết ta có ab +1> 0 và c = 4 -a -b ×
ab +1
Do đó
ab + bc +ca £a +b +c Û ab + (a + b)(4 -a - b) £ a + b + 4 -a -b
ab +1	ab +1
Û ab(ab +1)+(a +b)(4 -a -b)£(a +b)(ab +1)+ 4 -a -b
Û(a + b- 2)2 ³ ab(a -1)(b -1)
(Bất đẳng thức này đúng theo chứng minh trong lời giải 1).
Nhận xét.
+) Định hướng để tìm lời giải này tương tự ở lời giải 1 của bài toán 1.
+) Kết luận ab + bc +ca £a +b +c vẫn đúng nếu ta thay giả thiết “Cho ba số
thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a +b +c +abc = 4 ” bởi giả thiết “Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc +ca +abc = 4 ”. Do đó ta có bài toán sau (bài toán 3)
Bài toán 3. (Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 1996)
Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc +ca +abc = 4 . Chứng minh rằng ab + bc +ca £a +b +c.
Lời giải 1.
Nếu a +b +ab = 0
thì a = b = 0 Þ ab +bc +ca +abc = 0
(Trái với giả thiết).
Do đó, từ giả thiết ta có a +b +ab > 0 và
c =	4 -ab	×
a + b +ab
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
ab + (a + b)(4 -ab) £ a + b +	4 -ab
a + b +ab	a + b + ab
Û ab(a +b +ab)+(a +b)(4 -ab)£(a +b)(a +b +ab)+ 4 -ab
Û(a + b- 2)2 ³ ab(a -1)(b -1)
(1)
TH1: Nếu (a -1)(b -1)<0
thì VT(1) ³ 0 ³VP(1) .
TH2: Nếu (a -1)(b -1)³ 0 , thì
VT(1) =(a -1+ b-1)2 ³ 4(a -1)(b -1)³ VP(1)
(Vì từ giả thiết suy ra ab £ 4 ).
Nhận xét. Định hướng để tìm lời giải này tương tự ở lời giải 1 của bài toán 1.
Lời giải 2.
Vì a và b là hai số không âm nên luôn tồn tại các số thực không âm x, y, z thỏa
mãn y +z> 0 , z + x > 0 sao cho a =	2x , b =	2y	×
y + z	z + x
Nếu x + y = 0 thì x = y = 0 Þa =b = 0 Þab +bc+ca +abc = 0

(Trái với
giả thiết). Do đó x + y> 0.
Nếu a +b +ab = 0
thì a = b = 0 Þ ab +bc +ca +abc = 0
(Trái với giả thiết).
Do đó, từ giả thiết ta có a +b +ab > 0 và
c = 4 -ab	=
4 -	4xy
(y + z)(z + x)

=	2z	×
a + b + ab
2x	+	2y	+	4xy
x + y
y + z	z + x	(y + z)(z + x)
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
4xy	+	4yz	+	4zx
£	2x	+	2y	+	2z
(y + z)(z + x)	(z + x)(x + y)	(x + y)(y + z)
y + z	z + x	x + y
Û 2xy(x + y)+ 2yz(y +z)+ 2zx(z + x)£ x(x + y)(x +z)+ y(x + y)(y +z)+z(x +z)(y
Û x3 + y3 +z3 + 3xyz ³ xy(x + y)+ yz(y +z)+zx(z + x)
(1)
Theo bất đẳng thức Schur bậc ba thì bất đẳng thức (1) đúng.
Nhận xét.
+) Định hướng để tìm lời giải này là: “Đặt ẩn phụ để chuyển bài toán về bài toán với 3 ẩn mới đơn giản hơn (có thể chứng minh được) và chứng minh bài toán này”.
+) Ta có thể nghĩ đến cách đặt ẩn phụ như trên vì: Với ba số thực x, y, z thỏa
mãn x + y ¹ 0 , y+z ¹ 0 , z + x ¹ 0
ta có đẳng thức đúng sau
xy(x + y)+ yz(y + z)+ zx(z + x)+ 2xyz =1
(x + y)(y + z)(z + x)
hay	2x	×	2y	+
2z	×	2x
+	2y	×	2z
+	2x	×
2y	×	2z
= 4 .
y + z z + x	x + y y + z	z + x	x + y	y + z z + x	x + y
+) Tương tự phân tích trên, ta có các kết quả sau:
+ Nếu a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện
k > 0 ) thì tồn tại ba số thực dương x, y, z sao cho:
ab + bc +ca + 2 abc = k2
k
(với
a =	kx
, b =
ky	, c =
kz	×
y + z	z + x	x + y
+ Nếu a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện
k > 0 ) thì tồn tại ba số thực dương x, y, z sao cho:

a2 + b2 + c2 + 2 abc = k2
k

(với
(x + y)(x + z)
a =	kx
, b =
ky	, c =	kz
k	yz
(x + y)(x + z)
hoặc a =
, b =	k

(y + x)(y + z)
(z + x)(z + y)
zx
k	xy
(z + x)(z + y)
, c =	×
(y + x)(y + z)
Từ các bài toán và lời giải trên ta có thể rút ra một số định hướng để giải một số bài toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r:
Định hướng 1. Từ giả thiết rút 1 biến nào đó theo 2 biến còn lại (có thể hạn chế điều kiện hoặc tìm điều kiện liên quan trước khi rút) thế vào bất đẳng thức cần chứng minh để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức 2 biến. Chứng minh bất đẳng thức này (với điều kiện đã tìm được) và kết luận.
Định hướng 2. Phân chia thành các trường hợp một cách hợp lý. Trong các trường hợp đó ta biến đổi một cách thích hợp rồi áp dụng các bất đẳng thức đúng đã biết để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Định hướng 3. Dùng các bất đẳng thức đúng đã biết để đánh giá các vế của bất đẳng thức cần chứng minh một cách hợp lý để dẫn đến việc cần chứng minh bất đẳng thức một biến (Thường dùng các bất đẳng thức đúng đã biết liên quan đến p, q, r để đánh giá các vế của bất đẳng thức cần chứng minh theo 1 trong 3 đại lượng p, q, r một cách hợp lý); chứng minh bất đẳng thức này và kết luận (Để chứng minh được thì ta phải tìm điều kiện cho biến này).
Định hướng 4. Đặt ẩn phụ để chuyển bài toán về bài toán với 3 ẩn mới đơn giản hơn (có thể chứng minh được) và chứng minh bài toán này.
Nhận xét. Có một số bài toán ta có thể vận dụng phối hợp các định hướng trên.
Vận dụng các định hướng trên để giải một số bài toán Bài toán 4.
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện minh rằng a + b +c £ 3 .
Lời giải:
Từ giả thiết và các kết quả trên, ta có thể đặt
a2 +b2 +c2 +abc = 4.
Chứng
(x + y)(x + z)
a =	2x
, b =
2y	, c =
2z	×
(y + x)(y + z)
(z + x)(z + y)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
(x + y)(x + z)
(y + x)(y + z)
2x	+	2y
+	2z
£ 3	(1)
(z + x)(z + y)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có
VT(1) £	x
+	x	+
y	+	y	+	z	+	z
=3.
x + y	x + z	y + x	y + z	z + x	z + y
Suy ra (1) đúng.
Bài toán 5. Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn rằng
a2 +b2 +c2 =8. Chứng minh
4(a +b +c- 4)£abc .
Lời giải.
Đặt p =a +b +c, q =ab +bc+ca, r =abc.
(Nguyễn Phi Hùng)
Từ giả thiết ta có
p2 - 2q = 8,
p2 ³ 8 và p > 0.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 4p-16 £r
Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc bốn, ta có
(4q -p2 )(p2 -q)
p4 + 4q2 + 6pr ³ 5p2q Þ r ³	(2)
6p
(1)
Ta sẽ chứng minh
(4q -p2 )(p2 -q) 6p
Thật vậy

³ 4p -16

(3)
(p2 -16)(p2 + 8)
(3) Û	³ 4p -16
6p
(p- 4)2 (p2 +p-8)

(Vì

p2 - 2q = 8 )
Û	³ 0