Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần hình thành một số năng lực tư duy toán học thông qua dạy học chủ đề hàm số bậc hai

(-¥;1).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là
-4 đạt được khi
x = 1.
Trên cở sở kiến thức đã học về hàm số bậc hai, GV khéo léo dẫn dắt HS xây dựng hệ thống bài tập mới. Trước hết là dạng toán tương giao giữa đường thẳng và
parabol. GV yêu cầu HS dùng phần mềm Geogebra vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) và
một đường thẳng xác định, chẳng hạn
d : y = -x -1. Dựa vào đồ thị yêu cầu HS
chỉ ra tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol ( P) .
Bằng trực quan HS dễ nhận ra 2 giao điểm là (-1;0)

và (2; - 3) . GV đặt
vấn đề cho HS là nếu không dùng đồ thị liệu có tìm được giao điểm hay không? Câu hỏi này sẽ gợi mở và dẫn HS đến việc giải phương trình hoành độ giao điểm.
Tức là quy về giải phương trình dựng bài toán mới.
x2 - 2x - 3 = -x -1. Từ đây GV yêu cầu HS xây
Ví dụ 3.1.1. Tìm tọa độ giao điểm của parabol
y = f ( x) = x2 - 2x - 3
( P)
với	đường	thẳng
y = -x -1.
Trên cách làm như ví dụ 3.1.1. nhưng GV yêu cầu đưa vào tham số m và xây dựng các bài toán tương giao có tham số:
Ví dụ 3.1.2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của
phương trình:
x2 - 2x - 3 = m .
Rõ ràng ví dụ 3.1.2. có hai cách giải quen thuộc
đó là dựa vào đồ thị hoặc quy về xét dấu biệt thức delta. Mỗi cách đều có thể phát triển thành nhiều bài toán mới khác nhau.
Ví dụ 3.1.3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -x + m
cắt
đồ thị hàm số
y = f ( x) = x2 - 2x - 3 ( P)
tại hai điểm phân biệt.
Ở ví dụ 3.1.3 quy về việc tìm điều kiện của m để phương trình hoành độ giao điểm có biệt thức delta dương.
Ví dụ 3.1.4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -x + m có
đúng 1 điểm chung với parabol
y = f ( x) = x2 - 3x - 3.
Ở ví dụ 3.1.4. HS có thể giải bằng cách quy về phương trình hoành độ giao điểm có đúng 1 nghiệm và tìm điều kiện để biệt thức delta bằng 0. Một số HS sẽ thấy có thể biến đổi phương trình hoành độ giao điểm kia về dạng quen thuộc:
x2 - 3x - 3 = -x + m Û x2 - 2x - 3 = m .
Đến đây HS nhận thấy: Số nghiệm của phương trình trên đúng bằng số giao
điểm của parabol
y = f ( x) = x2 - 2x - 3 ( P)
với đường thẳng y = m . Từ đồ thị
cho ngay giá trị của tham số m cần tìm.
Ví dụ 3.1.5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = -x + m

cắt
parabol
y = f ( x) = x2 - 2x - 3 ( P)
tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Đi theo hướng này, dần dần dẫn HS cần liên tưởng đến các kiến thức đã học về phương trình bậc hai, định lí Vi-et và ứng dụng.
Ví dụ 3.1.6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -x + m
cắt
parabol
y = f ( x) = x2 - 2x - 3 ( P)
tại hai điểm phân biệt
A, B nằm trái phía nhau
so với trục hoành.
Ở ví dụ 3.1.6. rõ ràng các giải mà HS thường nghĩ tới là xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiển để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt. Sau đó dùng các kiến thức về nghiệm của phương
trình, định lí Vi-et để tìm điều kiện để hai điểm nằm trái phía nhau so với trục hoành.
A, B
HS nào khéo léo sẽ nhận thấy có thể giải bài
toán trên bằng phương pháp đồ thị. Quan sát trên đồ
thị chúng ta thấy d : y = -x -1 cắt ( P) tại hai điểm
(-1;0),
(2; - 3) . Do đó để đường thẳng y = -x + m
cắt parabol tại hai điểm phân
biệt
A, B nằm trái phía nhau so với trục hoành thì điều kiện cần tìm là
m > -1.
Ví dụ 3.1.7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m đồ thị hàm số y = -x + m
cắt
parabol
y = f ( x) = x2 - 2x - 3 ( P)
tại hai điểm phân biệt
A, B phân biệt sao cho
AB = 4 2 .
Để giải bài toán 3.1.7. cần HS huy động tổng hợp kiến thức về hàm số, phương trình bậc hai và định lí Vi-et, bên cạnh đó còn có kiến thức về công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ.
Ví dụ 3.1.8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m đồ thị hàm số y = mx - m
cắt
parabol
y = f ( x) = x2 - 2x - 3 ( P)
tại hai điểm phân biệt
A, B phân biệt sao cho
độ dài đoạn thẳng AB bé nhất.
Lời giải
Hoành độ giao điểm của parabol
y = f ( x) = x2 - 2x - 3
và đường thẳng
y = mx - m
là nghiệm phương trình:
x2 - 2x - 3 = mx - m Û x2 - (2 + m) x + m - 3 = 0
(1)
Đường thẳng y = mx - m
cắt ( P)
tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi
D > 0
Û (2 + m)2 - 4(m - 3) > 0 Û m2 + 16 > 0
(đúng với mọi m ).
Giả sử
A( x1 ; mx1 - m),
B ( x2 ; mx2 - m)
là tọa độ giao điểm của hai đồ thị nói trên.
Áp dụng định lí Vi-et ta có: Khi đó ta có:
x1 + x2 = 2 + m;
x1x2 = m - 3
(*)
AB2 = ( x - x )2 + (mx - mx )2 = (1 + m2 )( x - x )2 = (1 + m2 )é( x
+ x )2 - 4x x ù
2	1	2	1	2	1
ë	û
= (1 + m2 )é(2 + m)2 - 4(m - 3)ù = (1 + m2 )(m2 + 16) ³ 16 .
ë	1	2	1 2 û
Vậy min AB = 4
đạt được khi
m = 0 .
Nếu chúng ta gợi ý cho HS phát triển bài toán theo hướng sử dụng đồ thị, sử dụng các phép biến đổi đồ thị, vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối sẽ xây dựng nên các bài toán kiểu như sau:
Ví dụ 3.1.9. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x2 - 2x - 3 = m .
Bài toán 3.1.9. sẽ làm khó những HS khi nghĩ tới việc phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối để đưa về tìm điều kiện của delta. Bởi lẽ HS khó có thể tìm được điều
kiện khi phá bỏ giá trị tuyệt đối thì sinh ra các trường hợp x Î(-¥; -1) È (3; + ¥)
và trường hợp
x Î[-1;3]. GV cần khéo léo dẫn dắt HS tìm con đường giải quyết
bài toán một cách nhẹ nhàng hơn, đơn giản hơn, đó chính là quy về việc biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị.
Ví dụ 3.1.10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng
bốn nghiệm phân biệt:
x2 - 2 x + m = 0 .
Lời giải
Ta có:
x2 - 2 x + m = 0 Û x2 - 2 x - 3 = -m - 3
(*)
Số nghiệm của phương trình (*) đúng bằng số giao điểm của hai đồ thị
y = -m - 3
và y =
f ( x ) = x2 - 2 x - 3 .
Hàm số
y = f ( x )
là hàm số chẵn nên đồ thị của
nó đối xứng qua trục tung. Mặt khác với x ³ 0
thì
f ( x ) = f ( x) nên đồ thị hàm số y = f ( x )
trùng
với đồ thị hàm số
y = f ( x)
ứng với
x ³ 0 . Từ đây
cho chúng ta cách vẽ đồ thị hàm số
y = f ( x ) .
Bước 1. Vẽ đồ thị hàm số
y = f ( x).
Bước 2. Giữ nguyên phần đồ thị đồ thị nằm bên trái trục tung.
y = f ( x)
nằm bên phải trục tung và xóa bỏ phần
Bước 3. Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị nằm bên phải trục tung qua bên
trái ta được đồ thị hàm số y = f ( x ) .
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
-4 < -m - 3 < -3 Û 0 < m < 1.
Nếu kết hợp cả y = f ( x) và y = f ( x ) cho chúng ta bài toán sau:
Ví dụ 3.1.11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nhiều
nghiệm nhất:
x2 - 2 x - 3 = m .
Từ sự phân tích ta bài toán sau:
x2 - 2x - 3 = ( x + 1)( x - 3)
và thêm vào giá trị tuyệt đối cho
Ví dụ 3.1.12. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nhiều nghiệm nhất: ( x + 1) x - 3 = m .
Thoạt nhìn qua, bài toán ở ví dụ 3.1.12. không có mối liên hệ gì với bài toán
3.1. Thực tế giảng dạy cho thấy HS lúng túng khi thực hiện vẽ đồ thị hàm số hợp, hàm số cho bởi nhiều công thức, hàm số chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Do đó GV cần rèn luyện cho HS thật vững chắc kiến thức và kĩ năng vẽ đồ thị dạng này.
Tương tự ví dụ 3.1.12. nhưng biến đổi thêm 1 chút cho ta bài toán mới:
m x - 3
Ví dụ 3.1.13. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 3
nghiệm:
x + 1 =	.
m x + 1
Ví dụ 3.1.14. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 2
nghiệm:
x - 3 =	.
Lời giải
Điều kiện

x ¹ -1. Ta có
m x + 1
x - 3 =	Û ( x - 3) x + 1 = m
(*)
Xét hàm số
g ( x) = ( x - 3) x + 1
trên R có
ïx	2x	3	khi
ì 2 -	-
g ( x) = ( x - 3) x + 1 = í
x ³ 3
.
ïî-(x2 - 2x - 3)
khi
x < 3
Đồ thị hàm số
y = g ( x)
là sự lắp ghép của hai đồ
thị
y = f ( x)
ứng với
x ³ 3
và đồ thị
y = - f ( x)
với
x < 3 với
f ( x) = x2 - 2x - 3 .
Dựa vào đồ thị chúng ta thấy phương trình (*) có
hai nghiệm khi và chỉ khi
m = 0
hoặc
m = -4 .
Tuy nhiên với
m = 0
thì phương trình có hai nghiệm là
x = 3;
x = -1 (loại).
Vậy điều kiện để phương trình đã cho có 2 nghiệm là
m = -4 .
Trong quá trình dạy học, một thực tế cho thấy, nhiều HS nắm không vững kiến thức về đồng biến và nghịch biến, không hiểu rõ bản chất và ý nghĩa của bảng biến thiên. Do đó nhằm giúp HS hiểu sâu sắc hơn về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số bậc hai, GV nên gợi ý để HS xây dựng nên hệ thống bài tập liên quan đến tính đồng biến, nghịch biến, liên quan đến bảng biến thiên và đặc biệt ứng ụng tính đồng biến, nghịch biến để giải toán.
Ví dụ 3.1.15. Cho hàm số
y = f ( x) = x2 - 2x - 3. Hãy so sánh:
a) f (2),
f (5) ;	b)
f (22022 ),
f (22023 );	c)
f (2 - 20222023 ),
f (22023 ) .
Ở câu a) nhiều HS sẽ dùng máy tính cầm tay để tính giá trị
f (2),
f (5)
rồi
so sánh hai giá trị tìm được. Tuy nhiên, cách làm đó là không thể ở câu b) vì số quá lớn nên máy tính cầm tay không thực hiện được phép tính. Khi đó buộc HS cần huy động kiến thức để giải quyết bài toán.
Lời giải
Ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho:
x
-¥
1
+ ¥
f ( x)
+¥

- 4
+ ¥
Dựa vào bảng biến thiên ta có: Hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ¥) , nghịch biến trên khoảng (-¥;1).
Vì hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ¥)
Vì hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ¥)
mà 1 < 2 < 5 nên
,
f (2) <
f (5) .
mà 1 < 22022 < 22023
nên
f (22022 ) <
f (22023 ).
Ở câu c) HS gặp một khó khăn nhỏ là giá trị số đó không cùng nằm trong khoảng (1; + ¥)
2 - 20222023 < 1 < 22023 . Tức là hai hoặc (-¥;1). Bài toán được giải
quyết nhờ vào tính đối xứng của đồ thị hàm số qua đường thẳng
(2 - 20222023 ) + 20222023
x = 1.
Ta có
= 1 nên hai điểm
2
A(2 - 20222023 ; f (2 - 20222023 ))
và B (20222023 ; f (20222023 ))
đối xứng nhau qua đường thẳng
x = 1 là trục đối xứng
của đồ thị hàm số
y = f ( x) = x2 - 2x - 3. Từ đây suy ra
f (2 - 20222023 ) =
f (2 - 20222023 ) =
f (20222023 )
f (20222023 ) >
f (22023 ) .
Vì hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ¥)
và 1 < 22023 < 20222023
nên
f (2 - 20222023 ) = f (20222023 ).
9 - x2
Một trong những ứng dụng của bảng biến thiên chính là tìm điều kiện