Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh phát triển tư duy bài toán truy ngược hàm

	ø
ln 3	ln 3	ç	÷
Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số
y = f (3log x - 2) :
x
1	5
0	103	10	103	+¥
h' ( x)

+	0	-	0	+	0	-

h ( x)



Đồ thị hàm số
y = h ( x ) =
f (3log x - 2) có được bằng cách lấy đối xứng qua trục OY phần đồ thị
hàm số
y = h( x) = f (3log x - 2)bên phải trục OY.
Do đó ta có BBT của hàm số
y = h ( x ) =
f (3log x - 2) như sau:
x
-¥

5
-103

-10

1
-103

0

1
103


10

5
103
+¥
éh ( x )ù'
ë	û
+
0
-
0
+
0
-
+
0
-
0
+
0
-
æ	5 ö
Dựa vào BBT ta có: Hàm số
y = h ( x ) =
f (3log x - 2) đồng biến trên khoảng ç10;103 ÷ .
è	ø
Câu 17. Cho hàm số
f ( x) có đạo hàm liên tục trên	. Hàm số
y = f '(1- 2x)
có đồ thị sau đây
Hỏi hàm số
y = h ( x ) = 2022 f 3 (3 x -2)-2 f 2 (3 x -2)+3 f (3 x -2) đồng
biến trên khoảng nào?
A. (-¥;1)
Lời giải:
B. (-¥; -1)
C. (-1;1)
D. (3; +¥)
Dựa vào đồ thị của hàm số
y = g ( x) = f '(1- 2x) ta có:

ê
éx = -1
g (-1) = g (0) = g (1) = 0
Þ f ' (3) = f ' (1) = f ' (-1) = 0 . Þ f ' ( x) = 0 Û êx = 1 .
êëx = 3
Xét hàm số k ( x) = f (3x - 2) ta có: k ' ( x) = éë f (3x - 2)ùû' = (3x - 2)' . f ' (3x - 2) = 3. f ' (3x - 2)
é x = 1
é3x - 2 = -1	ê	3
ê
Do đó k' (x) = 0 Û f ' (3x - 2) = 0 Û ê3x - 2 = 1
êë3x - 2 = 3
Û ê x = 1
ê
ê	5
ê x =
ç 3 ÷
Mặt khác k ' æ 2 ö = 3.
è	ø
ë	3
ç 2 ÷
f ' (0) = 3.g æ 1 ö < 0
è	ø
Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số k ( x) = f (3x - 2):
x
-¥

1
3

1

5
3

+¥
k' ( x)
+
0
-
0
+
0
-

Xét hàm số
y = h ( x) = 2022 f 3 (3x-2)-2 f 2 (3x-2)+3 f (3x-2) ta có:
ë	û
h' ( x) = 3 f ' (3x - 2).é3 f 2 (3x - 2) - 4. f (3x - 2) + 3ù.2022 f 3 (3x-2)-2 f 2 (3x-2)+3 f (3x-2).ln 2022
ë	û
Do é3 f 2 (3x - 2) - 4. f (3x - 2) + 3ù.2022 f 3 (3x-2)-2 f 2 (3x-2)+3 f (3x-2).ln 2022 > 0"x nên dấu của h' ( x)
cũng chính là dấu của
f ' (3x - 2) .
Do đó ta có BBT của hàm số
y = h ( x) = 2022 f 3 (3x-2)-2 f 2 (3x-2)+3 f (3x-2) :
x
-¥

1
3

1

5
3

+¥
h' ( x)
+
0
-
0
+
0
-

Đồ thị hàm số
y = h ( x ) = 2022 f 3 (3 x -2)-2 f 2 (3 x -2)+3 f (3 x -2) có được bằng cách lấy đối xứng qua
trục OY phần đồ thị hàm số Do đó ta có BBT của hàm số
y = h ( x) = 2022 f 3 (3x-2)-2 f 2 (3x-2)+3 f (3x-2) bên phải trục OY.
x
-¥
+¥
é
ë
h x
(	)
ù
'
û
éëh ( x )ùû
- 5
-1
- 1
0
1
1
5
3

3



3


3
+	0	-
0	+
0
-
0
+
0
-
0
+	0 -

y = h ( x ) = 2022 f 3 (3 x -2)-2 f 2 (3 x -2)+3 f (3 x -2) như sau:
Hàm số nghịch biến trên (3; +¥)
Câu 18. Cho hàm số
f ( x) có đạo hàm liên tục trên	. Hàm số
y = f '(1- 2x)
có đồ thị sau đây
Hỏi hàm số
y = h ( x ) =

f (3 x - 2) + 9 x4 - 9 x 3 + 23 x2 - 5 x + 2022
4	2
đồng biến trên khoảng nào?
A. (-¥;1)
B. æ -¥; - 5 ö C. (-1;1)	D. (3; +¥)
 	 ç	3 ÷
è	ø
Lời giải:
Dựa vào đồ thị của hàm số
y = g ( x) = f '(1- 2x) ta có:

ê
éx = -1
g (-1) = g (0) = g (1) = 0
Þ f ' (3) = f ' (1) = f ' (-1) = 0 . Þ f ' ( x) = 0 Û êx = 1
êëx = 3
Þ f ' (3x - 2) = (3x -1)(x -1)(3x - 5).A(x)

trong đó
A( x) > 0"x.
Xét hàm số
y = h ( x) =
f (3x - 2) + 9 x4 - 9x3 + 23 x2 - 5x + 2022 ta có:
4	2
ê
h' ( x) = é f (3x - 2) +
ë
9 x4 - 9x3 + 23
4	2
'
ú
ù
x2 - 5x + 2022	=
û
æ 9	23	ö'
= (3x -1)( x -1)(3x - 5).A( x) + ç	x4 - 9x3 +	x2 - 5x + 2022 ÷
è 4	2	ø
= (3x -1)( x -1)(3x - 5).A( x) + 1 (3x -1)( x -1)(3x - 5) = (3x -1)( x -1)(3x - 5) é A( x) + 1 ù .
9	êë
Do A( x) > 0"x Þ A( x) + 1 > 0"x Þ h' (x) = 0 Û (3x -1)(x -1)(3x - 5) = 0
9
é x = 1
9 úû
ê	3
Do đó h' ( x) = 0 Û Û ê x = 1 . Mặt khác h' æ 2 ö < 0
3
ê	ç	÷
ê	5	è	ø
ê x =
ë	3
Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số
y = h ( x) =
f (3x - 2) + 9 x4 - 9x3 + 23 x2 - 5x + 2022 :
4	2
x
-¥
1
3
1
5
3
+¥

h' ( x)
+
0
-
0
+
0
-

Đồ thị hàm số
y = h ( x ) =
f (3 x - 2) + 9 x4 - 9 x 3 + 23 x2 - 5 x + 2022 có được bằng cách lấy
4	2
đối xứng qua trục OY phần đồ thị hàm số bên phải trục OY.
y = h ( x) =
f (3x - 2) + 9 x4 - 9x3 + 23 x2 - 5x + 2022 4	2
Do đó ta có BBT của hàm số
y = h ( x ) =
f (3 x - 2) + 9 x4 - 9 x 3 + 23 x2 - 5 x + 2022 như sau:
x
-¥

- 5
3

-1

- 1
3

0

1
3

1

5
3

+¥
éh ( x )ù'
ë	û

+
0
-
0
+
0
-
0
+
0
-
0
+
0
-

éëh ( x )ùû


4	2
Dựa vào BBT ta có: Hàm số y = h ( x ) = f (3 x - 2) + 9 x4 - 9 x 3 + 23 x2 - 5 x + 2022

đồng biến
4	2
trên khoảng æ -¥; - 5 ö .
ç	3 ÷
è	ø
Lời dẫn: Từ câu 12 tới câu 19, nếu thay biểu thức h ( x ) thành h ( x - a ) thì các bài toán đó
được phát triển thành các bài toán ở mức độ cao hơn:
Câu 19. Cho hàm số
f ( x) có đạo hàm liên tục trên	. Hàm số
y = f '(1- 2x)
có đồ thị sau đây
Hỏi hàm số
y = v ( x) = f (3 x -1 - 2)
đồng biến trên khoảng nào?
A. (-¥;2)
B. æ -¥; - 5 ö C. (-1; 2)	D. (3; +¥)
 	 ç	3 ÷
è	ø
Lời giải:
Dựa vào đồ thị của hàm số
y = g ( x) = f '(1- 2x) ta có:

éx = -1
g (-1) = g (0) = g (1) = 0
Þ f ' (3) = f ' (1) = f ' (-1) = 0 . Þ f ' ( x) = 0 Û êx = 1 .
ê
êëx = 3
Xét hàm số h( x) = f (3x - 2) ta có: h' ( x) = éë f (3x - 2)ùû' = (3x - 2)' . f ' (3x - 2) = 3. f ' (3x - 2)
é x = 1
é3x - 2 = -1	ê	3
ê
Do đó h' (x) = 0 Û f ' (3x - 2) = 0 Û ê3x - 2 = 1
êë3x - 2 = 3
Û ê x = 1
ê
ê	5
ê x =
ç 3 ÷
Mặt khác h' æ 2 ö = 3.
è	ø
ë	3
ç 2 ÷
f ' (0) = 3.g æ 1 ö < 0
è	ø
Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số h( x) = f (3x - 2):
x
-¥

1
3

1

5
3
+¥
h' ( x)
+
0
-
0
+
0
-

Đồ thị hàm số
y = h ( x ) =
f (3 x - 2) có được bằng cách lấy đối xứng qua trục OY phần đồ thị hàm
số y = h(x) = f (3x - 2) bên phải trục OY.
Do đó ta có BBT của hàm số
y = h ( x ) =
f (3 x - 2) như sau:
x
-¥

-
5
3

-1

-
1
3

0

1
3

1

5
3

+¥
éh ( x )ù'
ë	û
+
0
-
0
+
0
-
0
+
0
-
0
+
0
-

Đồ thị hàm số
y = v ( x) = f (3 x -1 - 2) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số
y = h ( x ) = f (3 x - 2) sang phải 1 đơn vị.
Do đó ta có BBT của hàm số
y = v ( x) = f (3 x -1 - 2)

như sau:
x
-¥

- 2
3

0

2
3


1


4
3


2


8
3


+¥
éëv ( x)ùû'

+
0
-
0
+

0
-

0
+

0
-

0
+

0
-


éëv ( x)ùû

Dựa vào BBT ta có: Hàm số
y = v ( x) = f (3 x -1 - 2)
đồng biến trên khoảng æ -¥; - 2 ö .
ç	3 ÷
è	ø
Câu 20. Cho hàm số
f ( x) có đạo hàm liên tục trên	. Hàm số
y = f '(1- 2x)
có đồ thị sau đây
Hỏi hàm số
y = v ( x) = f (3 x -12 - 2) đồng biến trên khoảng nào?
A. (-¥;1)
B. (-¥; -1)
C. æ 2; 15 + 3 ö
D. (3; +¥)
ç	3	÷
Lời giải:
Dựa vào đồ thị của hàm số
è	ø
y = g ( x) = f '(1- 2x) ta có:

éx = -1
g (-1) = g (0) = g (1) = 0
Þ f ' (3) = f ' (1) = f ' (-1) = 0 . Þ f ' ( x) = 0 Û êx = 1 .
ê
êëx = 3
Xét hàm số h ( x) = f (3x2 - 2)

ta có:
ë	û
h' ( x) = é f (3x2 - 2)ù' = (3x2 - 2)' . f ' (3x2 - 2) = 6x. f ' (3x2 - 2)
é3x2 - 2 = -1
'	' (	2	)	ê
ê3x2 - 2 = 1
ê3x2 - 2 = 3
Do đó h ( x) = 0 Û 6x. f	3x - 2 = 0 Û
ê
êë x = 0
é x = 0
ê
ê x = ±1
3
ê
Û ê x =± 1
ê
5
3
ê
ê x =± 
ë
Mặt khác h' (2) = 12. f ' (10) = 12.g æ - 9 ö < 0 f ' (0) = 3.g æ 1 ö < 0
ç	2 ÷	ç 2 ÷
è	ø	è	ø
Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số h ( x) = f (3x2 - 2) :
Đồ thị hàm số y = v ( x) = f (3 x -12 - 2)có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số
x
-¥
+¥

- 5
3

-1
- 1
3

0


1
3


1

5
3
éh ( x )ù'
ë	û

+
0
-
0
+	0
-
0
+
0

-
0
+
0
-

h( x ) = f (3 x 2 - 2)sang phải 1 đơn vị. Do đó ta có BBT của hàm số như sau:
y = v ( x) = f (3 x -12 - 2)
x
-¥

-
15 + 3
3
0
-
3 + 1
3

1

3 +1
3

2

15 + 3
3
+¥
éëv ( x)ùû'

+

0	-
0
+
0
-
0
+
0
-
0
+
0 -


éëv ( x)ùû

  

Dựa vào BBT ta có: Hàm số
y = v ( x) = f (3 x -12 - 2)
đồng biến trên khoảng æ 2; 15 + 3 ö .
ç	3	÷
Đáp án C.
Câu 21. Cho hàm số

f ( x) có đạo hàm liên tục trên	. Hàm số

y = f '(1- 2x)
è	ø
có đồ thị sau đây
Hỏi hàm số
y = v ( x) =
f (3 x -1 - 2) + 9 ( x -1)4 - 9 x -13 + 23 ( x -1)2 - 5 x -1 + 2022
4	2
đồng biến trên khoảng nào?
A. (-¥;1)
B. æ -¥; - 2 ö
C. (-1;1)
D. (3; +¥)
 	 ç	3 ÷
è	ø
Lời giải:
Dựa vào đồ thị của hàm số
y = g ( x) = f '(1- 2x) ta có:

éx = -1
g (-1) = g (0) = g (1) = 0
Þ f ' (3) = f ' (1) = f ' (-1) = 0 . Þ f ' ( x) = 0 Û êx = 1
ê
êëx = 3
Þ f ' (3x - 2) = (3x -1)(x -1)(3x - 5).A(x)

trong đó
A( x) > 0"x.
Xét hàm số
y = h ( x) =
f (3x - 2) + 9 x4 - 9x3 + 23 x2 - 5x + 2022 ta có:
4	2
ê
h' ( x) = é f (3x - 2) +
ë
9 x4 - 9x3 + 23
4	2
'
ú
ù
x2 - 5x + 2022	=
û
æ 9	23	ö'
= (3x -1)( x -1)(3x - 5).A( x) + ç	x4 - 9x3 +	x2 - 5x + 2022 ÷
è 4	2	ø
= (3x -1)( x -1)(3x - 5).A( x) + 1 (3x -1)( x -1)(3x - 5) = (3x -1)( x -1)(3x - 5) é A( x) + 1 ù .
9	êë
Do A( x) > 0"x Þ A( x) + 1 > 0"x Þ h' (x) = 0 Û (3x -1)(x -1)(3x - 5) = 0
9
é x = 1
9 úû
ê	3
Do đó h' ( x) = 0 Û Û ê x = 1 . Mặt khác h' æ 2 ö < 0
3
ê	ç	÷
ê	5	è	ø
ê x =
ë	3
Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số
y = h ( x) =
f (3x - 2) + 9 x4 - 9x3 + 23 x2 - 5x + 2022 :
4	2
x
-¥

1
3

1

5
3

+¥
h' ( x)
+
0
-
0
+
0
-

Đồ thị hàm số
y = h ( x ) =
f (3 x - 2) + 9 x4 - 9 x 3 + 23 x2 - 5 x + 2022 có được bằng cách lấy
4	2
đối xứng qua trục OY phần đồ thị hàm số bên phải trục OY.
y = h ( x) =
f (3x - 2) + 9 x4 - 9x3 + 23 x2 - 5x + 2022 4	2
Do đó ta có BBT của hàm số
y = h ( x ) =
f (3 x - 2) + 9 x4 - 9 x 3 + 23 x2 - 5 x + 2022 như sau:
x
-¥
+¥

- 5
3

-1

- 1
3

0

1
3

1

5
3

éh ( x )ù'
ë	û

+
0
-
0
+
0
-
0
+
0
-
0
+
0
-

4	2
Đồ thị hàm số

y = v ( x) =

f (3 x -1 - 2) + 9 ( x -1)4 - 9 x -13 + 23 ( x -1)2 - 5 x -1 + 2022 có
được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số
4
y = h ( x ) =
2
f (3 x - 2) + 9 x4 - 9 x 3 + 23 x2 - 5 x + 2022
4	2
sang phải 1 đơn vị. Do đó ta có BBT của hàm số
y = v ( x) =
f (3 x -1 - 2) + 9 ( x -1)4 - 9 x -13 + 23 ( x -1)2 - 5 x -1 + 2022 như sau:
4	2
x
-¥
+¥

- 2
3

0

2
3


1


4
3


2


8
3


éëv ( x)ùû'

+
0
-
0
+

0
-

0
+

0
-

0
+

0
-

Dựa vào BBT ta có: Hàm số
y = v ( x) = f (3 x -1 - 2) + 9 ( x -1)4 - 9 x -13 + 23 ( x -1)2 - 5 x -1 + 2022 đồng biến trên
4	2
khoảng æ -¥; - 2 ö .
ç	3 ÷
è	ø
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Cho hàm số
f ( x) có đạo hàm liên tục trên	. Hàm số
y = f '(3 - x) có đồ thị sau đây
Hỏi hàm số
y = v ( x) =
f (3ex-1 - 2) đồng biến trên khoảng nào?
Câu 2. Cho hàm số đây
f ( x) có đạo hàm liên tục trên	. Hàm số
y = g ( x) = f