Sáng kiến kinh nghiệm Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm

1.Tên sáng kiến: Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 11, lớp 12 và giáo viên trung học phổ thông.
3.Thời gian áp dụng sáng kiến: 
 Từ ngày 6 tháng 9 năm 2014 đến ngày 10 tháng 1 năm 2015
4.Tác giả:
	Họ và tên: Hoàng Hữu Đạt
 	Năm sinh: 1980
Nơi thường trú: Thôn Bình Thượng, xã Yên Thọ, huyện Ý Yên, tỉnh Nam Định.
Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học
Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT Mỹ Tho – Ý Yên – Nam Định.
Điện thoại: 0989 118 585.
5. Đồng tác giả: không.
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến: 
Tên đơn vị: Trường THPT Mỹ Tho.
Địa chỉ: xã Yên Chính, huyện Ý Yên, tỉnh Nam Định.
Điện thoại: 03503 825 642
 Cấu trúc của sáng kiến
	 Trang
I.Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến .4
II.Mô tả giải pháp...4
 1.Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến...4
 2.Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến....7
 2.1. Cơ sở lý thuyết....7
 2.2.Các ví dụ minh họa..............................................................................................8
 2.2.1.Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm.........................................8
 2.2.1.1.Phương trình được đưa về dạng ....................................................8
 2.2.1.2.Phương trình được đưa về dạng ..15
 2.2.1.3.Một số dạng biến đổi đặc biệt: đưa phương trình về dạng đồng bậc ba..22
 2.2.2.Giải hệ phương trình bằng phương pháp đạo hàm............................................31
 3. Thực nghiệm sư phạm .................................................................................................43
 3.1.Mục đích thực nghiệm .........43
 3.2.Đối tượng địa bàn và cách thực hiện........43
 3.3.Nội dung và thực nghiệm..........43
 3.3.1.Thực nghiệm trong nghiên cứu kiến thức mới....43
 3.3.2.Thực nghiệm trong củng cố hoàn thiện kiến thức ......45
 3.3.3.Thực nghiệm trong kiểm tra đánh giá ...45
 3.3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm ....45
III. Hiệu quả do sáng kiến đem lại......46
 1.Trước hết đối với việc dạy của giáo viên.. 46
 2. Đối với việc học của học sinh ..........46
 2.1.Về kiến thức .........46
 2.2.Về tư tưởng tình cảm ...47
 2.3.Về kỹ năng ...47
 3. Kết luận.....48
IV. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền ......48
 BÁO CÁO SÁNG KIẾN
I. Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Chúng ta đã biết rằng: Dạy học Toán là dạy cho người học có năng lực trí tuệ. Năng lực này sẽ giúp cho họ học tập và tiếp thu các kiến thức về tự nhiên, xã hội, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng. Vì vậy dạy Toán không chỉ đơn thuần dạy cho học sinh nắm được kiến thức, những định lí Toán học. Điều quan trọng là dạy cho học sinh năng lực trí tuệ. Năng lực này sẽ được hình thành và phát triển trong học tập.
	Trong quá trình dạy học môn Toán ở bậc THPT các bài toán về phương trình, hệ phương trình chiếm một vị trí rất quan trọng, xuyên suốt chương trình cả ba khối lớp, với nhiều phương pháp giải đa dạng như: Phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụTrong quá trình giảng dạy và ôn luyện thi THPT Quốc Gia, thi học sinh giỏi tỉnh cho các em học sinh tôi thấy việc giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ rất quan trọng đối với học sinh THPT vì việc giải phương trình vô tỉ giúp học sinh rèn luyện được kỹ năng giải toán, tính cẩn thận, chính xác và làm cho học sinh nắm chắc môn toán hơn. Giải tốt phương trình vô tỉ học sinh được nâng cao tư duy và vận dụng để hiểu biết các nội dung khác trong chương trình toán THPT.
	Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình, hệ phương trình trong các đề thi ĐH đặc biệt là phương trình, hệ phương trình vô tỉ lại sử dụng phương pháp hàm số để giải chỉ có số ít các em học sinh biết phương pháp này nhưng trình bày còn lúng túng, chưa gọn gàng sáng sủa. Thậm chí còn một số học sinh không có hướng giải quyết. Nguyên nhân do đâu ?
	Nguyên nhân chính là do phần phương trình vô tỉ được trình bày ở SGK đại số 10. Tuy nhiên đó là các bài toán khá đơn giản khá xa với đề thi THPT Quốc Gia. Phương trình vô tỉ chủ yếu dùng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ. Trong chương trình SGK giải tích 12 học sinh biết sử dụng tính đơn điệu của hàm số để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Lượng bài tập ứng dụng tính đơn điệu của ahàm số để giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ thì rất hạn chế mà trong đề thi THPT Quốc Gia nhiều bài toán giải bằng phương pháp hàm số. Do đó việc trang bị cho học sinh phương pháp hàm số để giải toán là rất cần thiết. Những bài toán sử dụng phương pháp hàm số để giải thường có cách giải ngắn gọn hay và độc đáo.
	Để góp phần vào việc giải quyết các đề khó khăn trên, tôi mạnh dạn sưu tầm, tập hợp, bổ xung và sắp xếp các bài toán dạng này theo cấu trúc rõ ràng và đa dạng viết thành đề tài: “ Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm”. Hy vọng rằng với đề tài này sẽ giúp học sinh nhận biết, xử lý bài toán giải phương trình, hệ phương trình nhanh và thành thạo hơn.
II.Mô tả giải pháp:
 1.Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến.Thực trạng của việc dạy học phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm trong trường THPT hiện nay.
	Toán học là một trong những môn học khoa học, cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lý thuyết và trong khoa học ứng dụng. Toán học là môn khoa học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học THPT. Tuy nhiên nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình nội dung của SGK, nắm vững các phương pháp dạy học là một việc không thể thiếu. Để từ đó tìm ra các biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức toán học cho học sinh, công việc đó cần phải làm thường xuyên trong quá trình giảng dạy.
	 Chủ đề phương trình và hệ phương trình được đề cập trong SGK đại số 10 với số tiết là 14 tiết, với thời lượng đó học sinh nắm vững được các kiến thức cơ bản về căn thức, phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại số. Học sinh đã biết được một số phương pháp giải phương trình, hệ phương trình, biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp. Trong SGK Giải tích lớp 12 có giới thiệu chủ đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với số tiết tương đối nhiều, học sinh nắm được khái niệm đồng biến nghịch biến của hàm số trên một khoảng từ đó học sinh có thể chỉ ra được các khoảng đồng biến và nghịch biến của một hàm số nào đó.Học sinh biết khảo sát sự biến thiên và vẽ được đồ thị hàm số dựa vào tính đồng biến nghịch biến của hàm số. Ngoài ứng dụng khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, đạo hàm là công cụ sắc bén để giải quyết nhiều dạng toán khác nhau như giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức...
	Tuy nhiên trong các đề thi THPT Quốc Gia hiện nay câu phương trình và hệ phương trình là một câu tương đối khó đối với học sinh và chủ yếu dùng phương pháp hàm số để giải.Thông thường bài tập trong SGK đưa ra đơn giản, lượng bài tập đưa ra sau mỗi bài học cũng rất hạn chế chủ yếu dùng phương pháp biến đổi tương đương và đặt ẩn phụ, còn lượng bài tập sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải chưa có nhiều. SGK chỉ giới thiệu các bài tập này, do đó phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và hệ phương trình là không phổ biến và bắt buộc. Chính lẽ đó mà học sinh sử dụng phương pháp này một các máy móc hoặc chưa biết cách sử dụng.
	Ví dụ 1: Giải phương trình: 
	Đối với phương trình này học sinh sẽ giải theo cách bình phương hai vế hoặc đặt ẩn phụ sau đó bình phương hai vế hoặc nhân liên hợp đưa về hệ phương trình.Tuy nhiên nếu sử dụng phương pháp đạo hàm ta thấy vế trái là một hàm đồng biến và x = 6 là một nghiệm của phương trình thì lời giải của bài toán rất ngắn ngọn.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
Đứng trước phương trình này học sinh lúng túng không biết dùng phương pháp nào để giải nhưng nếu tinh ý một chút thì chuyển sang bên vế trái, khi đó vế trái là một hàm đồng biến ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình. Do đó khi sử dụng phương pháp đạo hàm thì bài toán này trở nên đơn giản.
	Ví dụ 3: Giải phương trình : 
Nhận xét: Có thể giải bài toán này theo hướng sau:
 Vấn đề đặt ra là giải phương trình (*) sẽ rất phức tạp. Vì vậy ta sẽ giải phương trình bằng phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.
 Ta có : 
 Xét hàm số trên .
 Ta có . Suy ra đồng biến trên .
 Do đó: (*)
Vậy phương trình có nghiệm là .
* Qua các ví dụ trên ta thấy nếu giải quyết bài toán bằng phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số thì bài toán trở nên đơn giản và lời giải ngắn gọn hơn.
 Ví dụ 4: Giải phương trình : 
Giải: 
 Cách 1: ( Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất)
Viết lại phương trình dưới dạng 
Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm thoả mãn : 
Nhận thấy nếu thì hai vế của phương trình bằng nhau. Do đó là nghiệm của phương trình. Hơn nữa ta thấy nghiệm 
Ta chứng minh là nghiệm duy nhất .
+ Với nên ta có :
 suy ra phương trình vô nghiệm trên khoảng . 
+ Với  : làm tương tự như trên ta thấy phương trình vô nghiệm trên .
 Vậy nghiệm của phương trình là .
Cách 2: ( Dùng phương pháp hàm số) Viết lại phương trình dưới dạng: 
 (1)
Xét hàm số trên . Ta có . 
Suy ra hàm số đồng biến trên .
Do đó : (1). 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là .
* Từ hai cách trình bày của ví dụ 4, ta thấy trình bày theo cách 2 vẫn ngắn gọn hơn và độc đáo hơn.
Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một vấn đề cần thiết, giúp các em có kỹ năng, kỹ sảo trong việc giải bài tập bằng phương pháp hàm số. Đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia.
	Đứng trước thực tế học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp 12 cần nắm chắc các kiến thức về đạo hàm biết vận dụng và tìm ra các phương pháp giải khi gặp các bài toán