Báo cáo biện pháp Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

 (a2 + b2)(x2 + y2) (bất đẳng thức Bunhiacôpski) 
 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
 1.Phương pháp dùng định nghĩa.
Phương pháp. 
Để chứng minh : A > B ta xét hiệu A - B và chứng tỏ A - B >0
	A < B ta xét hiệu A - B và chứng tỏ A - B <0
Ví dụ minh hoạ: 
 Ví dụ 1: Chứng minh rằng (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ³ -1
	Giải: 
	Xét hiệu (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6) +1
	Đặt (x2 - 5x + 5) =y biểu thức trên bằng: (y-1)(y+1) + 1 = y2 – 1 + 1= y2 ³ 0.
	Þ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) ³ 0. 
	Þ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ³ -1
Ví dụ 2: 
	Chứng minh: 2(x2 + y2) ³ (x+y)2 
	Giải: 
	Xét hiệu hai vế: 2(x2 + y2) - (x+y)2 = 2x2 + 2y2 - x2 - y2 - 2xy =
	 x2 - 2xy + y2 = (x-y) ³ 0.
	Vậy 2(x2 + y2) ³ (x+y)2 
Ví dụ 3:
 	Chứng minh rằng a và b là các số thực không âm thì 
	 ³ dấu bằng xảy ra Û a=b
	 Giải: 
	Xét hiệu - = = ³ 0 đúng với " a và b ³ 0.
Dấu bằng chỉ xảy ra khi a = b.
Bài tập tự giải. 
Chứng minh bất đẳng thức sau: 
 1. ³ 
 2. x3 + 4x +1 > 3x2 với x³ 0. 
 3. x4 - x >
Cho a+b = c+d. chứng minh rằng c2 + d2 +cd ³ 3ab
a6 + b6 + c6 ³ a5b + b5c + c5a (a, b, c ³ 0)
Với a ³ b ³ 1 thì + ³ 
2. Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức 
2.1. Phương pháp: 
- Xuất phát từ một bất đẳng thức đã biết rồi vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.
- Thường áp dụng những tính chất cơ bản của bất đẳng thức( đã nêu ở phần trên)
2.2 Ví dụ minh hoạ: 
Ví dụ 1. 
Cho a + b >1. Chứng minh rằng: a4 + b4 >
Giải.
Ta có: a+ b >1(1). bình phương hai vế ta được:
(a+b)2 >1 Þ a2 + 2ab + b2 >1(2)
Mặt khác: (a-b)2 ³ 0 Û a2 - 2ab - b2 ³ 0 (3)
Cộng từng vế của (2) và (3) ta được: 2(a2+b2) >1Þ a2+b2 > (4)
Bình phương 2 vế của (4) ta được: a4 + 2a2b2 + b4 > (5)
Mặt khác (a-b)2 ³ 0 Þ a4 - 2a2b2 + b4 > 0 (6)
Cộng từng vế của (5) và (6) ta được 2(a4 + b4) > Þ a4 + b4 > 
Ví dụ 2: 
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
Chứng minh rằng: + + ³ + + 
Giải:
Xét + với a+b-c>0, b+c-a>0
Áp dụng bất đẳng thức: + ³ 
 + ³ =
Tương tự ta có: + ³ 
	 + ³ 
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cả 2 vế cho 2 ta được: 
 + + ³ + + 
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 3: 
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n³ 2
 + + ... + < 
Giải. 
Phân tích hướng dẫn:
Gọi là vế trái của bất đẳng thức trên. Ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức dưới dạng phương pháp làm trội.
Để chứng minh: A < B ta làm trội A thành C (A< C) rồi chứng minh rằng C³B ( C đóng vai trò làm trung gian)
Ta có với " k Î N* : < = =
Do đó: A < ++ ... += + + ... + 
Đặt C= + + ... + 
Ta lại thấy: - = nên
C = [ - + - + ... + -
 = = - < 
Vậy + + ... + < 
Ví dụ 4: Cho x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0 Chứng minh rằng 
(x+y)(y+z)(z+x) ³ 8xyz(1)
Giải
Vì hai vế của (1) đều không âm nên để chứng minh (1) ta sẽ chứng minh :
Ta có : (x+y)2(y+z)2(z+x)2 ³ 64x2y2z2
Ta có (x+y)2 ³ 4xy
(y+z)2 ³ 4yz
(z+x)2 ³ 4zx
 Hai vế của 3 bất đẳng thức trên đều không âm nên nhân từng vế của bất đẳng thức trên với nhau ta được 
(x+y)2(y+z)2(z+x)2 ³ 64x2y2z2
 Þ [(x+y)(y+z)(z+x)]2 ³ [8x2y2z2]2
 Þ (x+y)(y+z)(z+x) ³ 8xyz . ( vì xyz ³ 0; (x+y)(y+z)(z+x) ³ 0)
 Dấu bằng chỉ xảy ra Û x = y = z = 0
2.3. Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh các sai lầm sau:	
1. 	 Þ a - c > b - d
2. 	 Þ ac > bd
(Nhân vế với vế của một bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có âm hay không)
3 . Bình phương hai vế của một bất đẳng thức mà chưa biết hai vế không âm 
 a > b Þ a2 > b2
4. Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng 
 > Þ ad > cb
5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vế cùng dấu :
 a > b Þ > 
6. Khi làm một biểu thức, đôi khi phải chia biểu thức thành nhiều nhóm rồi làm trội trong từng nhóm 
Ta xét ví dụ sau: 
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ³ 2 thì 
1+++ ... + < n
Giải 
Gọi hai vế bất đẳng thức trên là A ta có 
A = 1+(+)+(+ ... +)+(+ ... +) + ... + (+ ... +)
Ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số bằng các phân số lớn nhất trong mỗi nhóm ta được 
A < 1+.2+.4+.8+ ... +. = 1 +1 + ...+1=n
2.4. Bài tập tự giải: 
Chứng minh bất đẳng thức sau 
1/ + ³ ( a>0; b>0)
2/ a2 + b2 + c2 + d2 ³ 4
3/ + + ... + < 
3. Phương pháp biến đổi tương đương 
3.1. Phương pháp: 
- Để chứng minh bất đẳng thức A ³ B ta biến đổi tương đương (dựa vào các tính chất của bất đẳng thức) 
A ³ B Û .... Û C ³ D
Và cuối cùng đạt được bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C ³ D
Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A ³ B
- Để dùng các phép biến đổi tương đương ta cần chú ý các hằng đẳng thức sau: 
( A+ B)2 = A2 + 2AB +B2
( A- B)2 = A2 - 2AB +B2
 (A+B+C)2 = A2 + B2 + C2 +2AB + 2BC + 2 CA.
3.2. Các ví dụ minh hoạ : 
Ví dụ 1:
Chứng minh: x2 - x +1 >0 " x
Giải 
Ta có : x2 - x +1 >0
Û (x2 - 2..x +) + >0
Û(x-)2 + > 0 " x (điều phải chứng minh)
Khai thác bài toán: Từ lời giải trên ta thấy: (x-)2 + 0 " x
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của x2 - x +1 là 
Hoặc bài tương tự là: x2 + x +1 >0 " x
Ví dụ 2:
	Chứng minh rằng với ba số a, b, c bất kỳ ta có: 
Giải:
Khai thác bài toán:
Xét trường hợp đặc biệt với c = 1 ta có:
Kết hợp với đẳng thức ta có:
Ví dụ 3. 
CMR với 4 số bất kì a, b, x, y ta có: (a2+b2)(x2+y2) ³ (ax+by)2 (1)
Dấu bằng xảy ra Û = 
Giải 
Ta có (1) Û a2x2+ a2y2+b2x2+b2y2.
Û a2y2 - 2abxy+ b2x2 ³ 0
Û (ay-bx)2 ³ 0 (2)
Bất đẳng thức (2) được chứng minh nên bất đẳng thức (1) đúng.
Dấu “=” xảy ra Û ay-bx = 0 Û = 
Ví dụ 4: 
Cho các số tương đương a và b thoả mãn điều kiện a+b=1
CMR : ³ 9
Ta có ³ 9 (1)
Û ³ 9
Û ab+ a+ b+ 1 ³ 9ab
Û a+b+ 1 ³ 8ab
Û 2 ³ 8ab (vì a+b =1)
Û 1³ 4ab
Û (a+b)2 ³ 4ab
Û (a-b)2 ³0
Bất đẳng thức (2) đúng, mà phép biến đổi trên tương đương. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b
Ví dụ 5: 
Chứng minh bất đẳng thức: ³ với a>0, b>0
Giải 
 ³ (1)
Û 4(a2+ b2) ³ (a+b)2 (nhân cả hai vế với 8)
Û 4(a+b)(a2-ab+b2)³ (a+b)(a+b)2 ( chia cả 2 vế cho a+b >0)
Û 4a2 - 4ab + b2 ³ a2 + 2ab + b2
Û 3a2 - 6ab + 3b2 ³ 0
Û 3(a-b)2 ³ 0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng mà phép biến đổi trên là tương đương nên bất đẳng thức (1) đúng.
3.3. Chú ý: 
Sẽ mắc sai lầm trong lời giải trên khi thay các dấu tương đương “ Û” bằng các dấu kéo theo “Þ”
Thật vậy nếu (1) “Þ” (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì chưa thể kết luận được bất đẳng thức (1) có đúng hay không.
- Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, học sinh thường bỏ các biến đổi tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ. Vì vậy cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện.
Chẳng hạn: a2 > b2 Û a >b với a, b >0
m>n Û am > an , m, nÎZ, a>1
Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương.
3.4. Bài tập tự giải:
Bài 1: So sánh 2 số A= 3-3 và B= 2-1( không dùng máy tính)
Bài 2: Chứng minh rằng với 2 số nguyên dương x, y thoả mãn xy<1 thì :
+ £ 
Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức: 
 + ³ 
Bài 4: Chứng minh rằng x>1 ta có: ³ 2
Bài 5: Với a, b> 0. Chứng minh bất đẳng thức: - ³ - 
Bài 6: Chứng minh rằng: " a, b, c Î R ta có: 
a) ³ a3b+ab3
b) a2+ b2 + c2 ³ ab+ bc +ca
4. Phương pháp phản chứng:
Gọi luận đề cần chứng minh là luận đề: “ A Þ B” Phép toán mệnh đề cho ta: = =A Ç = A
Như vậy muốn phủ định một luận đề ta ghép tất cả các giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó
Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng như sau:
a.1 Dùng mệnh đề phản đảo Þ 
a.2 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết.
a.3 Phủ định luận đề rồi suy ra hai điều trái ngược nhau.
a.4 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái ngược với điều đúng 
a.5 Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của A Þ B
Ví dụ 1: 
Cho a2 + b2 £ 2 CMR a+b £ 2
Giải 
Giả sử a + b >2 Û (a+b)2 > 4 ( vì hai vế dương nên bình phương hai vế)
	 Û a2 + 2ab + b2 >4 (1)
	Mặt khác ta có: 2ab £ a2 + b2 Þ a2 + b2 +2ab £ 2(a2+b2)	
Mà: 2(a2+b2) £ 4 (giả thiết) do đó a2 + b2 +2ab £ 4 (2)
Ta thấy (2) mâu thuẫn với (1) vậy phải có: a +b £2
* Cách giải khác: ta có a2 + b2 £ 2(1)
Mặt khác 2ab £ a2+ b2 nên 2ab £ a2 + b2 £ 2 (2)
Cộng (1) với (2) ta được a2 +2ab +b2 £ 4 
Þ (a + b)2 £ 4 Þ -2£ a+b £ 2
Ví dụ 2: 
Cho a, b, x,y liên hệ bởi a+b= 2xy
CMR: ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: x2 >a; y2 >b
Giải
Giả sử x2<a , y2 <b Þ x2 + y2 < a+b = 2xy
Û x2 + y2 - 2xy<0
Û (x-y)2 < 0. Vô lý
Vậy ít nhất một trong hai bất đẳng thức: x2 >a; y2 >b là đúng
Ví dụ 3:
Cho 3 số thực a, b, c thoả mãn điều kiện sau: 
CMR cả ba số đều dương
Giải 
Vì abc>0 nên trong 3 số có ít nhất một số dương
Ngược lại cả ba số đều âm Þ abc <0 (vô lý)
Không mất tính tổng quát ta giả sử a> 0
Mà abc > 0 Þ bc >0
Nếu b< 0, c<0 Þ b+c<0
Từ a+b+c >0Þ b+c>-aÞ (b2+c2) < -a(b+c)
Þ b22bc+c2 < -ab-c2
Û ab+ ac< -b2-2bc-c2
Û ab+bc+ca< -b2-2bc-c2 < 0
Þ ab+bc+ca 0)
Vậy b>0, c>0. Cả ba số đều dương
4.3 Chú ý
 Với những bài toán bất đẳng thức có dạng như trên ta nên sử dụng phương pháp phản chứng. Tuy nhiên để sử dụng phương pháp này cần nắm vững 5 cách chứng minh và các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi, lập luận.
4.4 Bài tập tự giải:
1. Cho a>b >0 và <1
CMR: không thể có a<1; b<1
2. Cho a, b, c thoả mãn 0<a, b,c <1
CMR một trong ít nhất bất đẳng thức sau là sai
a(1-b) >
b(1-c) >
c(1-a) >
5. Phương pháp quy nạp toán học: 
5.1 Phương pháp:
Nội dung của phương pháp này là tiền đề của phương pháp toán học
Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n. Nếu: 
+ mệnh đề đúng với n+1
+ Từ giả thiết đúng với n=k(kÎ N) suy ra được mệnh đề cũng đúng với n=k+1. Thế thì mệnh đề cũng đúng với mọi số nguyên dương.
Như vậy để chứng minh mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dương bằng phương pháp qui nạp toán học ta phải tiến hành 3 bước
	+ B1: Chứng minh T(1) đúng ( kiểm tra mệnh đề đúng với n=1)
	+ B2: Giả sử mệnh đề T(k) đúng 
	ta chứng minh mệnh đề T(k+1) cũng đúng 
	+ B3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương
5.2 Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:
CMR với x>-1 thì (1+x)n ³ 1+nx. Trong đó n là số nguyên dương bất kỳ.
Giải
+ Với n=1 ta có bất đẳng thức đúng 1+x³ 1+x
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k tức là (1+x)k ³ (1+kx)
ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n=k+1. Tức là phải chứng minh :
(1+x)k+1³ 1+(k+1)x
Thật vậy theo giả thiết x>-1 Þ x+1>0
Ta có (1+x)k(1+x) ³ (1+kx)(1+x)
Û (1+x)k+1³ 1+(k+1)x+kx2
Mà kx2>0 nên 1+(k+1)x+kx2³ 1+(k+1)x
Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=0
Ví dụ 2:
CMR với " a ta đều có: £ çaç+1
(trong đó vế trái có n dấu căn)
Giải 
Kí hiệu Pn = (có n dấu căn)
+ Với n=1 ta có: P1= =çaç£ çaç+1
+ Giả sử mệnh đề đúng với n=k tức là Pk £ çaç+1
Ta sẽ chứng minh điều đó cũng đúng với n=k+1
Thật vậy theo giả thiết qui nạp rồi làm trội ta có 
Pk+1= £ £ = =+1
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Ví dụ 3:
Cho a, b là 2 số dương. Chứng minh rằng: ³ "n ³ 2
Giải 
+ Với n=2 ta dễ dàng chứng minh được ³ 
+ Giả sử bài toán đúng với n=k ta có: ³ (1)
Ta phải chứng minh ³ (2)
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với ta được
 ³ 
Để có (2) ta phải chứng minh ³ (3)
Û ak+1+bk+1³ abk+akb
Thật vậy ta có: ak+1+ bk+1-abk+akb = ak(a-b)-bk(a-b) = (a-b)(ak-bk)
=(a-b)2(ak-1+ak-2b++ abk-2+bk-1) (vì a, b > 0)
Bất đẳng thức (3) đúng, mà ³ 
Þ ³ . Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
5.4 Bài tập tự giải 
1/ CMR: " n³ 3 ta có: 2n > 2n+1
2/ CMR: 2n > n3 " 	,n ³ 10
6. Phương pháp đổi biến: 
6.1. Phương pháp. 
B1. Đặt biến mới dựa theo biến cũ
B2. Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất đẳng thức với biến mới
B3. Kết luận và trả về biến cũ
6.2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: 
Chứng minh bất đẳng thức sau: abc ³ (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
Với a, b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
Giải
Đặt: b+c-a = x, a+c-b=y, a+b-c=z
Þ a= ; b= ; c= 
 Ta phải chứng minh ..³ xyz
Û (y+z)2(x+z)2(x+y)2 ³ 64 x2y2z2 ( vì hai vế không âm)
Ta có: 	(x+y)2³ 4xy
	(y+z)2³ 4yz
	(z+x)2³ 4zx
Vì hai vế của bất đẳng thức trên không âm nên ta nhân từng vế các bất đẳng thức trên ta được: (y+z)2(x+z)2(x+y)2 ³ 64 x2y2z2
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=zÛ a=b=c
Ví dụ 2:
Cho a+b+c=1; chứng minh rằng: a2+b2+ c2 ³ 1
Giải 
Đặt a= +x, b=+y, c=+z
Do a+b+c =1 nên x+y+z = 0
Ta có: a2+b2+ c2 = (+x)2+(+y)2(+z)2
= ++ = +(x+y+z)+x2+y2+z2
=+ x2+y2+z2 ³ 
Xảy ra đẳng thức Û x=y=z Û a=b=c=
6.3. Chú ý 
Khi dùng phương pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức cần chú ý:
+ Đặt biến mới theo hệ điều kiện của biến cũ, kèm theo điều kiện của biến mới.
+ Nắm được các phép biến đổi, các bất đẳng thức cơ bản, quen thuộc dễ áp dụng.
+ Đổi về biến cũ.
6.4. Bài tập tự giải: 
1/ Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác 
CMR: ++ ³ 3
2/ Cho x,y ³ 0 thoả mãn: x2 + y2 = x + y 
CMR: x+y £ 1+
3/ Cho a, b, c ³ 0
CMR: ++ ³ 
7. Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết: 
7.1. Phương pháp:
Trong nhiều bài toán để chứng minh một bất đẳng thức được gọn, ta có thể sử dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh, nhất là các bất đẳng thức kinh điển như bất đẳng thức: Côsi, Bunhia Côpski...
7.2. Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: 
CMR: + ³ 2 với ab>0
Giải:
Vì , đều là dương nên áp dụng bất đẳng thức côsi ta được:
 ³ . =1 Þ ³ 1 hay + ³ 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = hay a=b
(Tích không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau)
Ví dụ 2:
Chứng minh bất đẳng thức Becnuli đối với a Î R+ ; 11+qa
Giải 
Do qÎ Q và q>1 nên q=, trong đó m>n, m,nÎ N
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho m số:
 n số hạng mn số hạng
 ³ 
(không xảy ra dấu bằng vì (1+qa)>1)
Hay n(1+qa) + (m-n).1 ³ n
Û n+ nqa + m – n > n
Û qa+1 > 
Nhưng = vậy ta có: .qa +1 > 
Û a +1 >
Û > 1+qa
Ví dụ 3:
Cho biểu thức: 
Rút gọn P.	Đáp án:	
Tìm các giá trị của x sao cho P = -2 	(Học sinh tự làm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của .
có nghĩa khi 
	(bất đẳng thức cosi)
7.3. Bài tập tự giải:
1/ CMR nếu các số dương a, b, c có tổng a+b+c =1 thì 
2/ Cho , CMR: 
3/ Cho x,y Î ; x,y ³ 0 và x2+y2=1
CMR: 
 4/ CMR: ³64 với a,b,c >0 và a+b+c=1
5/ Cho a³1, b³1; CMR: 
8. Phương pháp dùng tam thức bậc hai: 
8.1. Phương pháp 
Ta có thể dùng định lý về dấu của tam thức bậc 2, dấu của nghiệm của tam thức bậc 2 ... để chứng minh bất đẳng thức.
Cho tam thức bậc 2: F(x) = ax2+bx+c
D=b2-4ac
+ Nếu D 0 với "xÎR
+ Nếu D =0 thì a. F(x) >0 với " x 
Þ F(x) cùng dấu với a
+ Nếu D >0 thì Þ $ x1, x2; x2>x1
x nằm ngoài khoảng hai nghiệm: xx2 Û a.F(x)<0
x nằm trong khoảng hai nghiệm (x1<x<x2) Û a.F(x) <0
8.2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:
Cho -1£ a£2; -1£ b£2 và a+b+c=0
CMR: a2+b2+c2£ 6
Giải:
Theo tính chất về dấu của tam thức bậc hai :
-1£ a£2 Û (a-2)(a-1) £ 0 (1)
Tương tự ta có: (b-2)(b-1) £ 0 (1)
	 (c-2)(c-1) £ 0	 (1)
Cộng từng vế của (1)(2)(3) ta được: a2-a-2+b+b2-b-2+c2-c-2£ 0
Û a2+b2+c2 –(a+b+c)£6
vì a+b+c=0 Þ a2+b2+c2 £ 6
Ví dụ 2:
Chứng minh bất đẳng thức Côsi- Bunhi Côpski
Cho n cặp số thực bất kì; a1, b1; I =1,...,n thế thì:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $ số k ÎR sao cho
Giải:
Với mọi xÎR ta có: 
	 ...........
Từ đó suy ra :
	 ...................
Cộng từng vế của bất đẳng thức trên ta được: 
Vế trái là một tam thức bậc hai: f(x)= Ax2-2Bx+C Với A 0
Mà f(x) ³ 0 với " x Î R nên ta có D £ 0, tức là:
D’=B2-AC= 
Û 
( Nếu A=0 thì a1=a2=...=an=0, do đó bất đẳng thức cần chứng minh là tầm thường)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
D = 0 Û a1x-b1=...=anx-bn=0
Û b1=ka1; ... ; bn=kan. với kÎR
Ví dụ 3:
Cho các số a, b, c, d thoả mãn a+d=c+b
CMR: Nếu lấy số m sao cho : 2m> thì với mọi xÎR ta luôn có :
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m2 ³ 0 (1)
Giải:
Dựa vào giả thiết a+d=c+b nên ta có:
(1) Û 
Vì a+c=b+d nên ta đặt y= x2-(a+d)x= x2+(b+c)x
Bất đẳng thức tương đương với: (y+ad)(y+bc)+m2³ 0
Û y2+(ad+bc)y+abcd+m2³ 0
Đặt F(y)= y2+(ad+bc)y+abcd+m2
Dy=(ac+bd)2-4abcd-4m2=(ac-bd)2-4m2
Vì 2m ³ nên 4m2³ (ad+bc)2 Û 
Û F(y) ³ 0 hay (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m2 ³ 0 Þ điều phải chứng minh.
Ví dụ 4:
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, các số x, y, z thay đổi sao cho :
ax+by+cz =0(1)
CMR: ayz+bxz+cxy£0 (2)
Giải
Từ đẳng thức (1) Þ z=-(c>0)
Thay vào (2) ta có: -ay.- bx +cxy£ 0
Û -(ax+by)(ay+bx)+c2xy£ 0
Û abx2+y(a2x+b2x-c2x) +aby2 ³ 0
Û abx2+y(a2+b2-c2)x +aby2 ³ 0
Đặt F(x) = abx2+y(a2+b2-c2)x +aby2
Ta chứng minh F(x) ³0 với mọi yÎR
Dx=y2(a2+b2-c2)-4a2b2
 =y2(a-b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a+b-c)	
và a b c là 3 cạnh của một tam giác và y2>0 nên Þ Þ F(x) ³ 0 với "xÎR
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh (dấu “=” xảy ra Û x=y=z=0)
8.3. Chú ý:
Khi sử dụng phương pháp tam thức bậc hai cần lưu ý:
+ Nắm chắc định lý về dấu tam thức bậc hai
+ Thường dùng phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng hoặc 
Trong đó F(x), F(y) là tam thức bậc hai đối với biến số x,y
8.4. Bài tập tự giải:
 1/ Chứng minh rằng với mọi aÎR ta đều có :
2/ Cho a b c thoả mãn hệ thức: a2+b2+c2=2 và ab+bc+ca=1
CMR: 
3/ Cho các số thoả mãn các điều kiện: 
y1.y2>0(1); y1.x1>z12; (2); y2x2>z22
CMR: (y1+y2)(x1+x2)³ (z1+z2)2
4/ Cho b>c>d. CRM: với mọi aÎR ta luôn có: 
(a+b+c+d)2 > 8(ac+bd)
5/ Cho 6 số a, b ,c, d, m,n thoả mãn: a2+b2+c2+d2< m2+n2
CMR: (m2-a2-b2)(n2-c2-d2)£ (mn-ac-bd)2 
III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
A. Một số định lý, bất đẳng thức cần dùng
1. Mệnh đề 1
Nếu tổng các số thực dương x1, x2, ... xn bằng một số cho trước, thì tích của chúng sẽ lớn nhất khi x1= x2= ... =xn
* Định lý 1: 
Nếu có n số thực dương x1, x2, ... xn có tổng bằng s không đổi thì tích 
P= có giá trị lớn nhất khi 
Trong đó mi là các số hữu tỷ dương 
2. Mệnh đề 2: đối ngẫu
Nếu tích của các số dương x1, x2, .... xn bằng một số cho trước thì tổng của chúng sẽ bé nhất khi x1= x2= .... =x
* Định lý 2:
Nếu n số thực dương x1, x2, .... xn có tích P= không đổi thì tổng của chúng S= x1+ x2 +.... +xn có giá trị bé nhất khi 
Trong đó mi là các số hữu tỷ cho trước
3. Cho a1, a2.... anÎ R. Ta có:
(1)
Dấu “=” xảy ra Û ai cùng dấu(a1, a2.... an>0)
Đặc biệt: 
B. Áp dụng:
1. Tìm cực trị của hàm số, biểu thức đại số:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
Giải 
Dễ dàng thấy hàm số xác định với mọi x
Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức 
Dấu bằng xảy ra khi (x-1993)(1994-x)³ 0
Û 1993£ x£ 1994
Do đó ymin=1
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Giải
Điều kiện để hàm số xác định là: x ³ 1
Lúc đó: =
Þ =2
Dấu bằng xảy ra Û 
Do đó ymin =2
Bài 3:
Cho các số x1, x2,..., x1993 thoả mãn điều kiện:
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M=
Giải
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: 
Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta được:
Vậy Mmin=1.
Bài 4:
Cho x, y liên hệ bởi phương trình: x2+2xy+7(x+y) +y2+40=0(1)
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức
Giải 
Phương trình(1) Û x2+2xy+y2+1+2x+2y+5x+5y+5+4=-y2
Û (x+y+1)2+5(x+y+1) +4=y2
Ta có có Û S2+5S +4Þ F(S) có hai nghiệm S1=-1, S2=-4
Dựa vào tam thức bậc hai mà 
Þ -4 £ S £ -1
Vậy giá trị nhỏ nhất của S=x+y+1 là -4 Û 
Giá trị lớn nhất của S=x+y+1 là -1 Û 
2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình , hệ phương trình tam thức bậc hai thoả mãn điều kiện nào đó.
Bài 1: Cho phương trình: 
Tìm giá trị của tham số a để phương trình có đúng hai nghiệm trên tập hợp số nguyên.
Giải;
Ta có: = +2a2 =A
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được: 
A³ 
Dấu bằng xảy ra Û a2x2-2a2; 1-a2x2; 2a2 cùng dấu. Do đó:
Nếu a=0 thì công thức vô hạn số nguyên thoả mãn: x2 ³ 2
Nếu a 0 thì 
Để phương trình có đúng hai nghiệm nguyên thì x2 chỉ có thể nhận một giá trị duy nhất là số chính phương 4 trong đoạn 
Vậy Û 
Bài 2. Cho tam thức bậc 2: F(a) = ax2+bx +c thoả mãn: £ 1; £ 1
CMR: 
Giải:
Ta có: Þ 
Thay vào F(x) ta được: 
F(x) = 
 = 
 = 
Áp dụng bất đẳng thức (1) và giả thiết ta được: 
Ta xét các trường hợp sau:
+ Với 0£x£1: thì : =1+x+x2(*)
+ Với -1£x£0: thì =1-x+x2(**)
Từ (*) và (**) với £1 ta có:
Vậy Điều phải chứng minh.
3. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
Ta thấy: =
	 = 
Dấu bằng xảy ra: 
Vậy nghiệm của phương tr