Báo cáo biện pháp Dạy so sánh phân số ở lớp 4 theo định hướng phát triển năng lực tư duy

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Vị trí, tầm quan trọng của việc dạy so sánh phân số trong chương trình toán ở lớp 4.
Trong chương trình môn Toán cấp Tiểu học nói chung, lớp 4, 5 nói riêng, mảng kiến thức về phân số chiếm một vị trí hết sức quan trọng. Học sinh được học về phân số sau khi đã được học hoàn chỉnh về số tự nhiên, bốn phép tính số tự nhiên và các dạng toán cơ bản trên số tự nhiên. Ở mảng kiến thức này học sinh sẽ mắc phải khó khăn trong "So sánh và xếp thứ tự các phân số". Nắm chắc kiến thức so sánh phân số sẽ giúp học sinh tiếp thu tốt các kiến thức liên quan phần phân số - kiến thức trọng tâm của chương trình toán lớp 4.
II. Thực trạng việc dạy, học so sánh phân số ở trường Tiểu học. 
Trong trường Tiểu học hiện nay, việc dạy môn Toán được chú trọng nhiều hơn vì môn học này là tiền đề để học các môn học khác. Học sinh được trang bị các kiến thức bồi dưỡng về môn Toán còn giúp các em có khả năng tư duy, suy luận, độc lập, sáng tạo để tham gia các sân chơi trí tuệ mang tầm cỡ quốc tế như thi Toán Kangaroo, toán IMAS, toán SASMO..và cuộc thi toán Tìm kiếm tài năng toán học trẻ Việt Nam do Hội toán học Việt Nam tổ chức. 
Trong quá trình dạy phần so sánh phân số, tôi nhận thấy học sinh cảm thấy khó, suy luận chậm, còn nhầm lẫn, không biết bắt đầu từ đâu. Qua thực tế giảng dạy nội dung này trong nhiều năm, tôi nhận thấy học sinh gặp những vướng mắc sau:
- Một số bài toán so sánh phân số phức tạp mà việc so sánh bằng cách quy đồng mẫu số sẽ gặp khó khăn.
- Một số bài toán yêu cầu học sinh so sánh bằng nhiều cách.
- Một số bài toán cần so sánh nhiều phân số: sắp xếp các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn ( tăng dần) hoặc từ lớn đến bé( giảm dần). 
B. PHẦN NỘI DUNG
I. Tình hình nghiên cứu: Tôi tiến hành khảo sát học sinh và đạt được kết quả 
Kiến thức đạt được
Số lượng
Tỷ lệ
Nắm chắc lí thuyết về so sánh phân số, xếp thứ tự các phân số 
35
70%
Vận dụng lí thuyết làm bài tập so sánh và xếp thứ tự phân số trong chương trình 
30
60%
Vận dụng lí thuyết làm những bài tập so sánh và xếp thứ tự phân số nâng cao ở mức độ 3( thông tư 22)
22
44%
Vận dụng lí thuyết làm những bài tập so sánh và xếp thứ tự phân số nâng cao ở mức độ 4( thông tư 22)
8
16%
Từ những kết quả khảo sát trên, tôi nhận thấy: đối với học sinh phát huy triệt để tính tích cực học tập, hăng say khi giải các bài toán về so sánh phân số. Các em có nhu cầu tự tìm tòi, tự phát hiện cách giải (căn cứ vào cách phân dạng và phương pháp giáo viên cung cấp) và nhờ đó tư duy sáng tạo phát triển rõ rệt.
II. Một số phương pháp so sánh phân số
 A . Học sinh đại trà: Dạy học sinh nắm chắc các dạng so sánh sau
1. So sánh phân số bằng mẫu số:
a - So sánh hai phân số cùng mẫu số.
Ví dụ 1: So sánh hai phân số và Bài giải: Ta thấy 2 < 3 nên < 
Quy tắc: Hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại.
b- So sánh hai phân số khác mẫu số.(Dùng cho bài toán có mẫu số nhỏ).
Ví dụ 2: So sánh các cặp phân số sau: a, và ; 
Bài giải: a, Ta có: = = ; = = 
Vì > nên > 
* Chốt kiến thức: Nếu hai phân số không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh tử số của chúng với nhau.
2. So sánh hai phân số bằng tử số:
2.1. So sánh 2 phân số cùng tử số.
Ví dụ 3: So sánh 2 phân số và Bài giải: 8 	
Quy tắc: Hai phân số cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại.
2.2. So sánh hai phân số khác tử số.(Dùng cho các bài toán có tử số nhỏ)
Ví dụ 4: So sánh các cặp phân số a, và ; 
Bài giải :a, = = ; = = Vì < nên < 
Chốt kiến thức: Muốn so sánh hai phân số không cùng tử số ta có thể quy đồng tử số hai phân số đó rồi so sánh mẫu số của chúng với nhau.
3. So sánh phân số với đơn vị.
Ví dụ 5: So sánh phân số sau với 1. 
	 a, ; 	 b, 	 c, 
Bài làm: a, Ta thấy < mà = 1 nên < 1
 b, Ta có: > mà = 1 nên > 1
 c, Ta có = 1 
Kết luận: - Nếu phân số có tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1.
- Nếu phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1.
- Nếu phân số có tử số bằng mẫu số thì phân số bằng 1.
4. So sánh các phân số dựa vào rút gọn các phân số đó.
Ví dụ 6: Trong các phân số sau, phân số nào lớn nhất, phân số nào nhỏ nhất: ; ; 
Bài giải: Ta thấy = = 
 = = Vậy = = 
*Nhận xét: Gặp bài toán so sánh phân số trước hết ta nên đưa các phân số đó về phân số tối giản (nếu có thể). Sau đó sẽ so sánh.
B. Học sinh năng khiếu
5. So sánh hai phân số dựa vào phân số trung gian.
*Kiến thức cần nhớ: So sánh qua phân số trung gian là ta tìm một phân số trung gian sao cho phân số trung gian lớn hơn phân số này nhưng nhỏ hơn phân số kia. Có 3 loại phân số trung gian
Loại 1: Trung gian lắp ghép 
-Cách nhận dang: Loại so sánh phân số bằng phân số trung gian này chỉ áp dụng với những bài toán so sánh hai phân số mà tử của phân số thứ nhất bé hơn tử của phân số thứ hai và mẫu của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu của phân số thứ hai hoặc ngược lại. 
Ở dạng này ta chọn phân số trung gian bằng cách lấy tử số bằng tử số của một trong hai phân số đã cho, mẫu trùng với mẫu của phân số còn lại ghép lại thành một phân số mới. 
Cách làm: Lấy tử số của phân số thứ nhất và mẫu số của phân số thứ hai ghép thành một phân số mới (Phân số trung gian). Lấy phân số này so sánh với hai phân số đã cho hoặc ghép ngược lại 
Ví dụ 7: a,So sánh cặp số sau mà không quy đồng và 
Bài giải: Ta nhận thấy 16>15, 23 <29 nên ta chọn cách sánh bằng phân số trung gian lắp ghép.
Chọn phân số làm phân số trung gian. Ta có: > > nên > 
 Loại 2: Chọn ; ;; , làm phân số trung gian. 
Cách nhận dạng: Ở loại này áp dụng với bài toán so sánh hai phân số mà trong đó có một phân số mà mẫu số gấp tử số hơn 2 lần (hoặc 3 lần, 4 lần, 5 lần), phân số còn lại có mẫu số gấp tử số chưa đến 2 lần (hoặc 3 lần, 4 lần, 5 lần).
Ví dụ 7: b,So sánh cặp số sau mà không quy đồng và 
+ Cách 1: Ta nhận thấy ở phân số thứ nhất 9 gấp hơn 3 lần 2. Ở phân số thứ hai 12 gần gấp 3 lần 5. Vì vây ta chọn phân số làm phân số trung gian.	
 = = . Vậy < < nên < 
+ Cách 2: Ta nhận thấy ở phân số thứ nhất 9 gấp hơn 4 lần 2. Ở phân số thứ hai 12 gần gấp 4 lần 5. Vì vây ta chọn phân số làm phân số trung gian.	
Ta có = = < và < nên < 
Loại 3: Chọn 1 làm phân số trung gian để so sánh với hai phân số đã cho.
Loại này áp dụng được khi trong hai phân số có một phân số lớn hơn 1,một phân số nhỏ hơn 1
Ví dụ 7: c,So sánh cặp số sau mà không quy đồng và 
 Ta có: 1 Vậy < 1 < hay < 
6. So sánh hai phân số dựa vào so sánh phần bù đến 1 của mỗi phân số.
 -Cách nhận dạng: Cách này thường áp dụng với những bài toán so sánh hai phân số mà mẫu số 2 phân số cùng lớn hơn tử số hai phân số một lượng như nhau.
Ví dụ 8: So sánh hai phân số: và 
Bài giải: Ta nhận thấy ở cả hai phân số này mẫu số đều lớn hơn tử số 1 đơn vị nên ta chọn cách so sánh bằng phần bù đến 1 như sau:
Ta có: 1- = ; 1- = .Mà > nên < 
* Kết luận: Trong hai phân số nếu phân số nào có phần bù đến 1 lớn hơn thì phân số đó bé hơn và ngược lại.
7. Dùng cách nhân tử số của phân số này với mẫu của phân số kia, rồi so sánh hai tích.
 Cách nhận dạng: Cách so sánh này xây dựng trên cơ sở của việc so sánh 2 phân số bằng cách quy đồng mẫu số. Cách làm này được áp dụng với những bài so sánh phân số mà việc nhân hai mẫu số gặp phức tạp nhưng tử số của hai phân số không lớn nó sẽ làm cho ta giảm đi một bước là nhân hai mẫu số với nhau.
Ví dụ 9: So sánh hai phân số: và 
Bài giải: Ta thấy: 3 x 207 = 621 ; 5 x 128 = 640. Mà 621 < 640 nên < 
Kết luận: Khi so sánh hai phân số ta lấy tử số của phân số này nhân với mẫu của phân số kia nếu tích nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại.
8. So sánh phân số bằng cách chia hai phân số cho nhau
- Nhận dạng: Cách này dựa trên cơ sở so sánh thương số với 1 để biết được số bị chia lớn hơn hay số chia lớn. Ta có hai phân số A và B
 Nếu A : B >1 thì số bị chia lớn hơn số chia hay A>B
Nếu A : B =1 thì số bị chia bằng số chia hay A=B
Nếu A : B <1 thì số bị chia nhỏ hơn số chia hay A<B
Điều này xuất phát từ cơ sở so sánh phân số với 1, nhưng A và B không phải là tử số và mẫu số mà là một phân số.
Ví dụ 10:So sánh hai phân số và 
Ta có : = x = 
Ta thấy thương của phép chia : là <1 nên số số bị chia của phép chia nhỏ hơn số chia hay < 
9. So sánh hai phân số bằng cách gấp lên cùng một số lần.
- Nhận dạng: Đây là cách so sánh rất đơn giản nhưng mang lại hiệu quả rất cao. Cách này áp dụng được khi trong hai phân số cần so sánh, một phân số có tử số kém mẫu số hơn 3 (4,5,.)lần, phân số còn lại có tử số kém mẫu số chưa đến 3 (4,5,.)lần.Đặc điểm nhận biết cách so sánh này giống như đặc điểm nhận biết cách so sánh bằng phân số trung gian ; ;; ,
Ví dụ 11: So sánh hai phân số và 
Nhận biết: ở phân số thứ nhất 5 gấp lên 3 lần bằng 15,nhỏ hơn 16. Còn ở phân số thứ hai 9 gấp lên 3 lần bằng 27. 20< 27. Vì vậy ta cùng gấp cả hai phân số lên 3 lần. 
 Ta có x 3 = 1
Ta thấy x 3 1 nên x 3 < x 3 hay < 
10. So sánh hai phân số bằng cách so sánh hai phân số đảo ngược của hai phân số đó.
Ví dụ 12: Không quy đồng,hãy so sánh hai phân số và 
Ta đảo ngược phân số thành phân số và đảo ngược thành phân số 
Ta có = = + = 3 + ; = = + = 2 + 
Vì 3>2 nên 3 + > 2 + hay > 
Ta thấy phân số ( là phân số đảo ngược của phân số ) lớn hơn phân số ( là phân số đảo ngược của phân số ) nên < 
11. So sánh hai phân số dựa vào so sánh phần hơn so với 1(phần thừa) của mỗi phân số.
 - Nhận dạng: Cách này thường áp dụng với những bài toán so sánh phân số mà tử số 2 phân số cùng lớn hơn mẫu số hai phân số một lượng như nhau. Cách này dựa vào so sánh hai phân số có cùng tử số. 
Ví dụ 13: So sánh hai phân số: và 
Cách 1:Ta thấy: - 1= ; -1 = 
mà > nên >
Cách 2:Ta thấy: = 1 + ; = 1 + 
mà 1 = 1; > nên >
* Kết luận: Trong hai phân số nếu phân số nào có phần thừa so với 1 lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại.
12. So sánh nhiều phân số rồi xếp thứ tự
Có những bài toán không chỉ so sánh 2 phân số mà yêu cầu so sánh 3; 4; 5 ...phân số rồi xếp theo một trình tự nhất định. Khi đó ta sẽ quan sát, phân tích phân số, đưa về các trường hợp sau:
Trường hợp 1: So sánh phân số có cùng tử số hoặc cùng mẫu số
 Ví dụ 14: Xếp các phân số ; ; ; theo thứ tự từ bé đến lớn
 Ví dụ 15: Xếp các phân số ; ; ; ;theo thứ tự giảm dần
Trường hợp 2: Các phân số cùng nhỏ hơn 1 hoặc cùng lớn hơn 1.
+ Nếu các phân số có tử số cùng kém mẫu số một đơn vị nhất định thì ta chọn cách so sánh bằng phần bù phân số đến 1.
 Ví dụ 16: Xếp các phân số ; ; ; ;theo thứ tự từ lớn đến bé.
Các phân số này cùng có tử số kém mẫu số 5 đơn vị nên so sánh được bằng phần bù đến 1
 Ví dụ 17: Xếp các phân số ; ; ; ;theo thứ tự tăng dần
 Các phân số này cùng có tử số hơn mẫu số 5 đơn vị nên so sánh được bằng phần thừa khi trừ đi 1
Trường hợp 3: Trong các phân số đó có phân số lớn hơn 1, phân số bằng 1, phân số bé hơn 1. Ta chia ra các nhóm:
 . Nhóm 1: những phân số bé hơn 1:. . Nhóm 2: Phân số bằng 1:.
. Nhóm 3: những phân số lớn hơn 1:.
Sau đó dựa vào các cách so sánh giới thiệu ở trên để so sánh các phân số trong cùng một nhóm.
Ví dụ 18: Xếp các phân số ; ; ; ;theo thứ tự tăng dần.
Ta làm như sau: - Những phân số bé hơn 1 là ; 
 Ta thấy = ; mà < nên < 
Phân số bằng 1 là: -Phân số lớn hơn 1: ; 
Ta thấy = Mà > nên > 
Từ cách so sánh như trên, ta xếp theo thứ tự tăng dần như sau: ; ; ; ; 
Trên đây là một số phương pháp so sánh phân số và xếp thứ tự các phân số mà tôi đã nghiên cứu đưa vào thực nghiệm giảng dạy cho học sinh lớp 4. Với mỗi bài tập cụ thể, học sinh phải biết vận dụng linh hoạt những kiến thức học được để làm bài tập một cách hợp lí. Sau đây là một số bài tập củng cố, ứng dụng lí thuyết so sánh phân số ở trên.
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Dạng 1: Giải bài toán so sánh bằng nhiều cách
Học sinh đại trà ( Mức độ 1, 2)
Bài toán 1: So sánh 2 phân số sau: và 
Bài giải: Cách 1: Quy đồng mẫu số
Ta có : = = ; = = . Mà < nên < 
 Cách 2: Quy đồng tử số:
Ta thấy = = ; = = Vì < nên < 
 Cách 3: Dùng tính chất cơ bản của phân số:
Ta có: = = mà < nên < 
 Cách 4: Dùng so sánh "phần bù" tới đơn vị.
Ta có 1- = và 1- = . Mà > và > nên > > 
 Vậy < 
Học sinh năng khiếu ( Mức độ 3, 4) làm thêm các cách:
Cách 5: Phân số trung gian:
Ta có: < mà = nên < 
 = mà > và = nên > hay > 
Vậy < < nên < .
Nhận xét: Một bài toán có thể có nhiều cách giải nên yêu cầu học sinh phải nhìn bài toán với nhiều góc độ để tìm được các cách giải nhanh và hợp lí nhất.
Dạng 2: So sánh bằng cách hợp lí nhất.
Bài toán 1: Hãy so sánh các cặp phân số sau bằng phương pháp hợp lí nhất. a. và ; b. và ; c. và 
Bài giải:
a. Ta có: = = Vì < nên < 
(Dùng tính chấtcơ bản của phân số)
b. Ta thấy: 1 - = ; 1 - = mà = nhưng > > Vậy > nên < 
(Phương pháp so sánh phần bù tới đơn vị)
c. Vì < và < nên < 
(Phương pháp dùng phân số trung gian)
Bài toán 2: So sánh các phân số sau bằng nhiêù cách khác nhau.
a, và 
b, và 
c, ; ; 
d, ; ; 
Bài giải:
a, = > vậy > 
b, = mà > vậy > 
c, Ta thấy > nhưng > .Vậy > > 
 d, 1 Vậy > > 
Nhận xét: Như vậy một bài toán có thể có nhiều cách giải song ta cần phải biết quan sát, phân tích để chọn cách giải dễ dàng, hợp lí nhất.
Dạng 3: Phối hợp các phương pháp. ( mức độ 4)
Có những bài toán không chỉ sử dụng một phương pháp để giải mà cần biết phối hợp , lựa chọn các phương pháp để giải. Ví dụ:
Bài toán 1: Viết các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé.
a. ; ; ; ; 
b. ; ; ; ; 
Bài giải:
a. Nhìn bao quát ta thấy có > 1 ( lớn hơn tất cả các phân số khác vì các phân số này đều nhỏ hơn 1).
+ Ta so sánh 4 phân số còn lại. = > + = < 
+ = (quy đồng mẫu số >)
Vậy ta xếp như sau: ; ; ; ; 
b. > 1, các phân số khác đều nhỏ hơn 1, nên là lớn nhất.
Ta so sánh các phân số còn lại:
* = (Quy đồng mẫu số: > )
* > (Nhân mẫu số của phân số này với tử số của phân số kia)
Vậy ta viết như sau: ; ; ; ; 
Nhận xét: ở bài toán trên ta đã sử dụng các phương pháp: so sánh phân số với 1; so sánh bằng cách quy đồng tử số; so sánh bằng quy đồng mẫu số; so sánh bằng cách nhân mẫu số của phân số này với tử số của phân số kia...
Vậy những bài toán tổng hợp các phương pháp giải đòi hỏi học sinh không chỉ nắm kiến thức một cách đơn lẻ mà phải biết tổng hợp các kiến thức đó để lựa chọn và kết hợp các phương pháp đó vào giải toán.
* Đề bài luyện tập.
Sau khi dạy xong các phương pháp, tôi cho học sinh làm một số bài tập tương tự hoặc dựa vào các phương pháp để giải nhằm cho các em luyện tập và củng cố lại các phương pháp
Bài 1: a. Khoanh vào phân số lớn nhất ; ; ; ; 
 b. Khoanh vào phân số bé nhất ; ; ; ; 
Bài 2: Hoa ăn cái bánh. Mai ăn cái bánh đó. Hỏi ai ăn nhiều bánh hơn? Đúng ghi (Đ); sai ghi (S) vào 
 Hoa ăn nhiều bánh hơn Mai.  Mai ăn nhiều bánh hơn Hoa.
Bài 3: so sánh các phân số.
a, và 
b, và 
c, và 
d, và 
Bài 4: So sánh các phân số sau với 1.
 ; ; ; ; ; 
Bài 5: Viết các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn.
a. ; ; và ; b . ; ; ; 
Bài 6: Tìm 10 phân số khác nhau nằm giữa và 
Bài 7: So sánh các phân số sau bằng các cách khác nhau:
a. và 
b. và 
c. ; ; 
Bài 8: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất.
a. và 
b. và 
c. và 
d. và 
e. và 
g. và 
Sau mỗi phần học tôi đều cho học sinh khảo sát chất lượng. Đối chứng kết quả cách dạy qua một trong nhiều đề kiểm tra cụ thể sau:
Đề bài kiểm tra 15 phút.
Bài 1: Khoanh tròn vào phân số bé nhất: ; ; ; ; 
Bài 2: So sánh phân số bằng cách nhanh nhất. và 
Bài 3: So sánh phân số sau bằng nhiều cách và 
C. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
1. Kết quả: 
Qua việc nghiên cứu và vận dụng trực tiếp trong quá trình giảng dạy, tôi thấy kết quả học tập của học sinh rất khả quan. Các em có hứng thú, say mê trong học tập và cảm thấy tự tin hơn. Có em sáng tạo khi giải các bài tập khó. Cụ thể:
Kiến thức đạt được
Số lượng
Tỷ lệ
Nắm chắc lí thuyết về so sánh phân số, xếp thứ tự các phân số 
50
100%
Vận dụng lí thuyết làm những bài tập so sánh và xếp thứ tự phân số trong chương trình sách giáo khoa 
50
100%
Vận dụng lí thuyết làm những bài tập so sánh và xếp thứ tự phân số nâng cao ở mức độ 3( thông tư 22)
40 45
90%
Vận dụng lí thuyết làm những bài tập so sánh và xếp thứ tự phân số nâng cao ở mức độ 4( thông tư 22)
30
60%
Đặc biệt,trong năm học này lớp tôi có 14 em tham gia Kì thi toán quốc tế KANGAROO, 7 em tham gia kì thi Tìm kiểm tài năng toán học trẻ (MYTS) do Hội toán học Việt Nam tổ chức và 6 em đã được chọn vào thi tiếp vòng 2. Và có 4 em tham gia Kì thi Toán học quốc tế Singapore & Châu Á (SASMO).
 2. Bài học kinh nghiệm.
Quá quá trình áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi thấy để có thể đạt được kết quả cao, giáo viên cần lưu ý một số vấn đề sau:
- Dành thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, phân loại bài tập.
- Lượng bài tập phù hợp với năng lực, đối tượng học sinh ( Chia nhóm để giao bài cho phù hợp:trong các tiết dạy, những học sinh làm bài nhanh, giáo viên giao thêm 1 đến hai bài phát triển tư duy để học sinh làm rồi chữa riêng)
- Kiểm tra đánh giá thường xuyên, kịp thời tới mọi đối tượng học sinh.
- Giáo viên phải chuẩn bị kĩ lưỡng kế hoạch dạy học trước khi lên lớp, đưa ra phương án giải quyết tốt nhất cho từng bài. Đặc biệt nên khai thác vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau để củng cố và rèn khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh. Tùy theo trình độ học sinh để luyện tập và mở rộng nâng cao cho phù hợp, tránh hiện tương “quá sức” với học sinh dẫn đến việc học sinh không tiếp thu được bài. 
 D. KẾT LUẬN
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ trong quá trình giảng dạy mà tôi thấy có hiệu quả và đã mạnh dạn viết lại những việc làm của mình. Tuy nhiên đó chỉ là ý kiến của cá nhân nên còn hạn hẹp, chưa bao quát được hết tất cả các vấn đề, chưa phủ kín phạm vi rộng, chắc chắn sẽ đang còn những thiếu sót nhất định. Tôi rất mong các cấp quản lý, các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để tài liệu này thêm phong phú và được áp dụng vào giảng dạy có hiệu quả hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
MỤC LỤC