SKKN Sử dụng có hiệu quả phần mềm geogebra trong dạy học phát triển năng lực học sinh môn Hình học Lớp 11

thuộc miền trong của tam giác SCD .
Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM ) .
Tìm giao tuyến của hai hai mặt phẳng (SBM ) và (SAC) .
Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC) .
Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng ( ABM ) , từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và ( ABM ) .
HĐTP 1: Thiết kế mô hình xuất hiện tương ứng từng câu để gợi ý học sinh giải quyết bài toán
Mô hình gợi ý câu a.
Mô hình gợi ý câu b,c,d
HĐTP 2: Từ các mô hình đã có giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh tìm cách
giải
Trong (SCD)
kéo dài SM cắt CD tại N . Do đó
N = CD Ç (SBM )
Ta có (SBM ) º (SBN ) . Trong ( ABCD)
gọi E = AC Ç BN .
Do đó SE = (SAC ) Ç (SBM ).
Trong (SBN )
Trong (SAC)
gọi I = BM Ç SE . Do đó gọi P = SC Ç AI . Do đó
I = BM Ç(SAC) .
P = SC Ç ( ABM ) .
Vậy (SCD) Ç ( ABM ) = PM .
Hoạt động 4: Hoạt động vận dụng
Vận dụng 1: Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác ABCD , trong đó AB và CD cắt nhau. S là điểm nằm ngoài (P) , M là điểm di động trên SB . Mặt phẳng đi qua M và cạnh AD cắt SC tại N . Giả sử AM Ç DN = I . Chứng minh rằng khi M di động trên SB thì I luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
HĐTP 1: Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình và suy nghĩ tìm cách giải? Tìm các yếu tố cố định của bài toán?
HĐTP 2: Giáo viên gợi ý cho học sinh tìm lời giải thông qua mô hình động mà giáo viên thiết kế trên phần mềm Geogebra bằng việc trả lời câu hỏi: Khi cho M di động trên SB hãy quan sát sự di chuyển của điểm I và cho biết điểm I đi qua những điểm cố định nào?
HĐTP 3:
Giả sử AB Ç CD = F thì F cố định vì AB; CD cố định. Điểm S cố định nên đường
thẳng SF cố định. Ta lại có (SAB) Ç (SCD) = SF .
Mặt khác:
I Î AM ; AM Ì (SAB) Þ I Î(SAB) và
I Î DN ; DN Ì (SDC) Þ I Î(SDC)
.Suy ra
I Î(SAB) Ç (SDC)
hay I Î SF . Vậy khi M di động trên SB thì I luôn nằm trên
đường thẳng cố định SF .
Vận dụng 2: Trong mặt phẳng (P)

cho hình thang

ABCD (BC P AD)

và điểm
S Ï(P) . Mặt phẳng (Q) di động chứa đường thẳng AB và giả sử cắt SC, SD tương ứng
tại
M , N . Mặt phẳng (R) di động chứa đường thẳng CD và giả sử cắt
SA, SB tương
ứng tại P, Q .
Chứng minh rằng MN , PQ luôn đi qua điểm cố định.
Gọi
I = AN Ç BM ; J = CQ Ç DP . Chứng minh đường thẳng nối
I , J luôn
đi qua một điểm cố định.
Gọi
K = AM Ç BN ; L = CP Ç DQ . Chứng minh các đường thẳng nối
K , L
luôn đi qua một điểm cố định.
HĐTP 1: Giáo viên thiết kế mô hình động của bài toán và cho học sinh quan sát từ đó hướng dẫn học sinh tìm phương án trả lời. Giáo viên có thể hướng dẫn qua từng bước dựng hình.
HĐTP 2: ( Hướng dẫn học sinh giải bài tập)
Giả sử AB Ç CD = E
suy ra E cố định. Ta có
M , N , E đồng thời thuộc hai
mặt phẳng ( ABMN )
và (SCD)
nên
M , N , E nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng ấy
hay
M , N , E thẳng hàng. Vậy đường thẳng nối
M , N luôn đi qua điểm E cố định.
Tương tự PQ cũng đi qua điểm E cố định.
Ta có I = AN Ç BM
nên
I Î AN ; I Î BM suy ra
I Î(SAD); I Î(SBC ) .
Do đó
I Î(SAD) Ç (SBC). Tương tự
J Î(SAD) Ç (SBC) .
Vậy I , J , S thẳng hàng. Vậy IJ luôn đi qua điểm S cố định.
Giả sử BD Ç AC = O

suy ra O cố định. Vì
K = AM Ç BN Þ ìK Î AM
íK Î BN
î
Suy ra K Î(SAC) Ç (SBD).
Tương tự L Î(SAC ) Ç (SBD) . Mà	(SAC) Ç (SBD) = SO . Vậy KL luôn đi qua các
điểm cố định S và O . ( KL là đường thẳng cố định).
MÔ HÌNH CHO BÀI ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
Hoạt động 1: Hoạt động mở đầu
Giáo viên có thể cho học sinh tìm một số hình ảnh về đường thẳng song song với mặt phẳng trong thực tế; Dùng phần mềm Geogbra trên điện thoại mô phỏng các hình ảnh đó và dùng chức năng AR trình chiếu lên Tivi.
Hoạt động 2: Hoạt động hình thành kiến thức
HĐTP 1: Giáo viên cho học sinh quan sát mô hình động về vị trí của đường thẳng và mặt phẳng rồi nhận xét về số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (a)
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Hãy cho biết vị trí tương đối
của từng đường thẳng A ' D '; BB '; AD với mặt phẳng ( ABCD) .
HĐ: Cho học sinh quan sát các mô hình và nhận xét về vị trí trương đối giữa các đường thẳng
HĐTP 2: (Tiếp cận định lí 1) Cho học sinh quan sát mô hình động và học sinh nhận xét xem d và (a) có điểm chung không? Yêu cầu học sinh giải thích?
Từ nhận xét đó giáo viên hướng dẫn cho học sinh chứng minh định lí và đưa ra phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD .Gọi
M , N , P lần lượt là trung điểm
AB, AC, AD. Gọi
G là trọng tâm DACD , trên đoạn BC lấy điểm Q sao cho QC = 2QB
Các đường thẳng không?
MN , NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD)
Chứng minh rằng QG P ( ABD) .
HĐ : Thiết kế mô hình động gợi ý cho học sinh quan sát và nhận dạng được định lí 1 để trả lời câu hỏi mà giáo viên đưa ra.
- Mô hình gợi ý cho học sinh trả lời câu hỏi:
HĐTP 3: (Tiếp cận định lí 2) Cho học sinh quan sát mô hình động và yêu cầu học sinh nhận xét về vị trí của a và b
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD . Lấy điểm M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC . Gọi (a) là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD
. Xác định thiết diện tạo bởi (a) và tứ diện ABCD . Thiết diện đó là hình gì?
HĐ: Thiết kế mô hình theo các bước để hướng dẫn học sinh biết cách dựng giao tuyến của hai mặt phẳng sử dụng kết quả định lí 2, học sinh quan sát được nhiều góc độ. Từ đó tìm thiết diện của mặt phẳng (a) và tứ diện ( ABCD) .
HĐTP 4: (Tiếp cận hệ quả 2) Giáo viên đưa ra mô hình và yêu cầu nhận xét về
vị trí của của d và d ' . Từ đó giáo viên chốt kết quả thu được
HĐTP 5: ( Tiếp cận Định lí 3) Cho học sinh quan sát các bước xác định mặt phẳng (a) thông qua thiết kế mô hình từ đó học sinh hình thành kiến thức của định lí.
Hoạt động 3: Hoạt động luyện tập
Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Gọi O , O ' lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF . Chứng
minh rằng đường thẳng OO ' song song với các mặt phẳng ( ADF ) và (BCE) .
Gọi M , N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ABE . Chứng
minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF ) .
HĐTP 1: Cho học sinh quan sát mô hình của câu a và câu b qua file Geogebra từ đó yêu cầu học sinh chứng minh bài toán.
HĐTP 2:
Do

O; O ' lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF nên
OO ' là đường trung bình của tam giác
OO ' P ( ADF ) .
DDBF
Þ OO ' P DF . Mà
DF Ì ( ADF )
nên
Tương tự ta có
OO ' P CE;CE Ì (BCE)
nên OO ' P (BCE) .
Gọi G là trung điểm của đoạn AB , ta có
GM = GN
= 1 Þ MN P DE . Mà
GD	GE	3
DE Ì (CEF ) Þ MN P (CEF ).
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O = AC Ç BD
. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (a) đi qua O , song song với
AB và SC . Thiết diện đó là hình gì?
HĐTP 1: Qua mô hình động giúp học sinh nắm tuần tự các bước xác định các
đoạn giao tuyến của mặt phẳng (a)
với các mặt của hình chóp
S.ABCD từ đó tìm
được thiết diện của hình chóp cắt bởi (a) và phát hiện hình dạng của thiết diện.
HĐTP 2: Vì (a) P AB, AB Ì ( ABCD) và O Î(a) Ç ( ABCD) Þ (a) Ç ( ABCD) = EF đi
qua O và song song với AB . Tương tự các giao tuyến khác EG P SC , GH P AB . Vậy thiết diện là hình thang EFHG .
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD và
AD = 2BC . Gọi O = AC Ç BD và G là trọng tâm tam giác SCD .
Chứng minh rằng OG P (SBC) .
Gọi M là trung điểm của SD . Chứng minh rằng CM P (SAB) .
I là điểm nằm trong đoạn SC sao cho
SA P (BID) .
SC = 3 SI . Chứng minh rằng
2
HĐTP 1: Từ mô hình được tạo ra theo thứ tự các câu trong bài toán giáo viên hướng dẫn học sinh trả lời các câu hỏi để rèn luyện kỹ năng chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Mô hình gợi ý cho câu a
Mô hình gợi ý câu b:
Mô hình gợi ý câu c:
HĐTP 2: ( Giải quyết bài toán)
Gọi H là trung điểm của SC . Do G là trọng tâm của
DSCD
nên ta có
:	DG = 2
(1).	Mặt	khác	do	BC P AD
nên	theo	định	lí	Ta-lét,	ta	có:
DH	3
OD = OA = AD = 2 Þ OD = 2 (2). Từ (1),(2) ta có	DG = OD .
OB	OC	BC	BD	3	DH	BD
Suy ra OG P BH . Mà BH Ì (SBC) nên OG P (SBC) .
Gọi N là trung điểm của SA , suy ra MN P AD
và MN = AD .	Lại có
2
BC P AD
và BC = AD
2
nên suy ra
ìBC P MN
î
íBC = MN
. Do đó BCMN là hình bình hành nên
CM P BN ; BN Ì (SAB) . Vậy CM P (SBC ) .
OC = 1
OC = 1
SC = 2 SI
CI = 1
Ta có OA
OC = CI
suy ra CA
. Do
3	suy ra CS
3 . Từ đó ta có
CA	CS
suy ra OI P SA . Lại có OI Ì (BID)
nên
SA P (BID) .
Hoạt động 4: Hoạt động vận dụng
Vận dụng 1: Cho tứ diện ABCD . Qua M nằm trên AC ta dựng một mặt phẳng
(a)
tại
song song với AB và CD . Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh
N , P và Q .
Tứ giác MNPQ là hình gì?
BC, BD và AD
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác MNPQ . Tìm tập hợp các điểm O khi M di động trên đoạn AC .
HĐTP 1: Giáo viên cho học sinh nêu cách xác định giao tuyến của phẳng (a) và tứ diện. Giáo viên có thể gợi ý hoặc nếu từng bước cách dựng thiết diện tùy vào đối tượng học sinh thông qua mô hình đã được thiết kế trong Geogebra có sẵn. Sau đó yêu cầu học sinh quan sát hình dạng thiết diện khi cho điểm M chuyển động trên AC và đưa ra kết luận hình dạng của MNPQ .
HĐTP 2: Giáo viên cho điểm M chuyển động yêu cầu học sinh cho biết khi đó điểm O chuyển động thế nào, sau đó giáo viên gợi ý tạo vết cho điểm O để khi M chuyển động trên đoạn AC thì học sinh thấy được quỹ tích điểm O . Từ kết quả đó học sinh định hướng cách giải quyết bài toán.
HĐTP 3:
Ta có	(a) P AB; AB Ì ( ABC) Þ (a) Ç ( ABC) = MN

và	MN P AB . Lại có
N Î(BCD)
và (a) P CD; CD Ì (BCD) Þ (a) Ç(BCD) = NP
và NP P CD .
Tương tự (a) Ç ( ACD) = MQ và MQ P CD ; (a) Ç ( ABD) = PQ và PQ P AB .
Do đó MN P PQ và NP P MQ . Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Ta có MP Ç NQ = O . Gọi I là trung điểm của CD .
Trong Trong
DACD
DBCD
có MQ P CD Þ AI Ç MQ = E
có NP P CD Þ BI Ç NP =F
( E là trung điểm MQ ). ( F là trung điểm NP ).
Vì MNPQ là hình bình hành nên EF P MN và O là trung điểm EF .
Ta lại có EF P MN Þ EF P AB
nên trong
DABI thì IO Ç AB = J ( J là trung điểm
AB ). Þ I , O, J
thẳng hàng