SKKN Phương pháp định hướng, tìm lời giải cho bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số, tìm giới hạn tổng

 *
(2.2)
Ý tưởng 1:
u2 = u1 + 2 u3 = u2 + 2.2 u4 = u3 + 2.3
.
.
.
un = un-1 + 2.(n -1)
cộng vế theo vế ta tìm được un = u1 + 2(1+ 2 +...+ n -1) Þ un = n2 - n + 2
Tuy nhiên để đưa về số hạng tổng quát đối với các bài toán khác nhau là rất khó nên dùng phương pháp sai phân tuyến tính sẽ dễ dàng hơn
Ý tưởng 2:
Phương trình đặc trưng

l -1 = 0

có nghiệm

l = 1

ta có u

= u0 + u*

n	n	n
trong đó
n	n
n
u0 = c.1n = c, u* = n(an + b)
thay u*
vào phương trình (2.2) ta được
(n + 1) éëa (n + 1) + bùû = n (an + b) + 2n
(2.3)
thay
n =1và
n = 2
vào (2.3) ta được hệ phương trình sau:
Û
ì3a + b = 2	ìa = 1
í	í
î5a + b = 4	îb = -1
n
Do đó u* = n(n -1)
Ta có
u = u0 + u* = c + n(n -1) Vì u = 2 nên
2 = c +1(1-1) Û c = 2
n	n	n	1
n	n
Vậy u = 2 + n(n -1) , hay u = n2 - n + 2
Ví dụ 4: Tìm un thỏa mãn điều kiện
ìïu1 = 2
íu	= 2u	+ 3n -1
ïî n	n-1
Ý tưởng 1:
Đặt vn = un + an + b Þ un = vn - an - b,
un-1 = vn-1 - a(n -1) - b thay vào hệ thức
truy hồi ta được: nhân thì
vn = 2vn - 2an + 2a - 2b+an+b+3n -1 để dãy trở thành cấp số
a = 3, b = 5, vn = un + 3n + 5,v1 =10,Þ vn =10.2n-1 = 5.2n Þ un = 5.2n - 3n - 5
Ý tưởng 2:
Nghiệm
l = 2, u	= c.2n + u *	mà u * = an + b Þ u
= an - a + b
vì vậy ta có
n	n	n	n-1
í
an + b = 2an - 2a + 2b + 3n -1Þ ìa + 3 = 0
b - 2a =1
ìa = -3
Þ
íb = -5
Þ un = c.2n - 3n- 5,
î	î
u1 = 2 Þ c = 5
Vậy un = 5.2n - 3n - 5
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho dãy u	xác định bởi

ìïu1 = 2

Tìm lim un
n	íu
= u + 2n	n2
ïî n+1	n
Bài 2: Tìm

u thỏa mãn điều kiện
ìïu1 =10
n	íu
= 5u
- 8n + 4
ïî n+1	n
Bài 3: Tìm

u thỏa mãn điều kiện
ìïu1 = 5
n	íu
1 = u
+ 4n - 7
ïî n+	n
Dạng 3
Tìm

un thỏa mãn điều kiện
1
u = a,
a.u

n+1
bu
= v.m ,
n Î N *
(3.1)
n	n
Trong đó
fn là đa thức theo n
Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng

a.l + b = 0

ta tìm được l ta có u

n	n	n
= u0 + u*
Trong đó u0 = c.l n , c là hằng số chưa xác định, u*
được xác định như sau:
n	n
Nếu l ¹ m
thì u* = A.mn
n
Nếu l = m
thì
u* = A.n.mn
n
u
n
n	n	n
n
Thay	* vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tình được các hệ số của
u* .
Biết u1 ,
từ hệ thức u
= u0 + u* , ta tính được c.
Ví dụ 5: Tìm un
thoả mãn điều kiện
u1 = 1;
un+1
=3.un
+ 2n ,
n Î N *
(3.2)
Ý tưởng 1:
Đặt
vn = un + a.2n Þ un = vn - a.2n,un+1 = vn+1 - a.2.2n
vn+1 = 3vn - a.2n + 2n
thay vào hệ thức truy
hồi ta được: Þ a =1,vn = un + 2n,v1 = 5,vn = 3.3n-1 = 3n
Þ un = 3n - 2n
Ý tưởng 2:
Phương trình đặc trưng
n	n
u0 = c.3n , u* = a.2n

l - 3 = 0

có nghiệm

l = 3

Ta có u

= u0 + u*

n	n	n
trong đó
n
Thay u* = a.2n
vào phương trình (3.2), ta thu được
a.2n+1 = 3a.2n + 2n Û 2a = 3a +1 Û a = -1
n
n
Suy ra u = -2n . Do đó
u = c.3n - 2n
vì u1 = 1
nên c =1 vậy u = 3n - 2n
n
Dạng 4
Tìm

un thỏa mãn điều kiện
1
u = a,
a.u

n+1
bun =
f1n +
f2n ,
n Î N *
(4.1)
Trong đó
f1n là đa thức theo n và
f2n
= v.m n
Phương pháp giải
Ta có
u = u0 + u*
u*
trong đó u0
là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất
n	n
aun+1 + bun
1n
= 0,
2n	n
u
n
* là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
a.u

n+1
b.un =
f1n ,
là nghiệm riêng bất kì của phương trình không thuần nhất
a.un+1 + b.un =
f2n
u
2n
Ví dụ 6:	Tìm
un thỏa mãn điều kiện
u1 = 1;
un+1
= 2un
+ n2 + 3.2n ,
n Î N *
(4.2)
Đối với bài này nếu ta dùng cách giải 1 như các bài trên thì bài toán trở nên dài dòng và phức tạp nên tôi xin trình bày theo 1 cách giải như sau:
Giải
Phương trình đặc trưng l - 2 = 0
có nghiệm
l = 2
ta có u
= u0 + u* + u*
trong đó u0 = c.2n , u* = a.n2 + b.n + c , u*
= An.2n
n	n	1n	2n
n	n
n
Thay u* vào phương trình u

n+1

= 2.un
2n
+ n2 , ta được
a(n +1)2 + b(n +1) + c = 2an2 + 2bn + 2c + n2
Cho n = 1, n = 2 ta thu được hệ phương trình
ì2a - c = 1
ïa - b - c = 4
ìa = -1
Û ï
b = -2
í	í
ï2a + 2b + c = -9	ïc = -3
î	î
1n
Vậy u*
= -n2 - 2n - 3 thay u*
vào phương trình u

n+1
= 2.un
+ 3.2n , ta được
2n
A(n +1)2n+1 = 2An.2n + 3.2n Û 2A(n +1) = 2An + 3 Û A = 3
2n
2
Vậy u*
= 3 n.2n = 3n.2n-1 2
Do đó
u = c.2n + (-n2 - 2n - 3) + 3n.2n-1 . ta có
u1 = 1
nên 1 = 2c - 2 + 3 Û c = 0
n
n
vậy u = 3n.2n-1 - n2 - 2n - 3
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho dãy số

ìïu1 = 2

Tìm công thức tổng quát của dãy u .
íu	= 2u	+ 3n - n	n
ïî n	n-1
Bài 2: Cho dãy số
ìïu1 =1

Tìm công thức tổng quát của dãy u .
íu	= 3u	+ 2n	n
ïî n	n-1
Bài 3: Cho dãy số
ìïu1 = -2
í

n	n	Tìm công thức tổng quát của dãy
un .
ïîun = 5un-1 + 2.3
- 6.7
+12
Bài 4: Cho dãy số
ìïu1 =1

Tìm công thức tổng quát của dãy u .
íu	= 2u	- 3n - n	n
ïî n	n-1
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình sai phân dạng:
u = a, u = b , a.u	+ bu + c.u	= f ,
n Î N *
1	2	n+1	n	n-1	n
n
Trong đó a, b, c, a , b là các hằng số, a ¹ 0 và f
là biểu thức của n cho trước
(Nhận xét: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường hợp số thực, tức là chỉ xét nghiệm thực)
Dạng 1
Tìm

un thỏa mãn điều kiện
u = a, u = b , au	+ bu + c.u
= 0,
n Î N *
(5.1)
1	2	n+1	n	n-1
Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng a.l2 + b.l + c = 0 tìm l khi đó nếu l ,l	là
1	2
hai nghiệm thực khác nhau thì un = A.l + B.l , trong đó A và B được xác định khi
1	2
n	n
biết u1 ,u2
Nếu	l ,l	là hai nghiệm kép l = l = l thì u
= ( A + Bn).l n , trong đó A
1	2	1	2	n
và B được xác định khi biết u1 ,u2
Ví dụ 7:	Tìm
un thỏa mãn điều kiện
u0 = 1, u1
= 16,
un+2 = 8.un+1 -16.un
(5.1)
Giải
n
Phương trình đặc trưng Ta có u = ( A + B.n).4n
l 2 - 8l + 16 = 0
(5.2)
có nghiệm kép
l = 4
Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu được hệ phương trình
ìïu0 = 1 = A
Û ì A = 1
î
í
ïîu1
= (1+ B).4 = 16
íB = 3
n
Vậy u = (1+ 3n).4n
Dạng 2 Tìm
un thỏa mãn điều kiện
u = a, u = b , a.u	+ b.u + c.u	= f ,
n ³ 2,
(6.1)
1	2	n+1	n	n-1	n
Trong đó a ¹ 0, fn
là đa thức theo n cho trước
Phương pháp giải
u
Giải phương trình đặc trưng

a.l2 + b.l + c = 0

để tìm l . Khi dó ta có
n	n	n
n
u = u0 + u* ,
trong đó
0	là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
n
a.u

n+1
b.u
n + c.un-1
= 0 và u*
là một nghiệm tùy ý của phương trình
u
n
a.un+1 + b.un + c.un-1 = fn
n
Theo dạng 1 ta tìm được định như sau:
u0 , trong đó hệ số A, B chưa được xác định ,
được xác
Nếu
l ¹ 1
thì u*
là đa thức cùng bậc với fn
n
Nếu
l = 1là nghiệm đơn thì u* = n.g , g	là đa thức cùng bậc với f
n	n	n	n
Nếu l = 1 là nghiệm kép thì u* = n.2 g , g là đa thức cùng bậc với f ,
n	n	n
u
n
Thay	* vào phương trình đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của
n
n
u* . Biết
u , u	từ hệ thức u = u0 + u* tính được A, B
1	2	n	n	n
Ví dụ 8: Tìm	un thỏa mãn điều kiện
u1 = 1;
u2 = 0,
un+1 - 2un + un-1 = n +1, n ³ 2
(6.2)
n	n	n
Giải
Phương trình đặc trưng
l 2 - 2l + 1 = 0
có nghiệm kép
l = 1
ta có u
= u0 + u*
n	n
trong đó u0 = ( A + B.n).1n = A + Bn, u* = n2 (a.n + b)
n
thay u* vào phương trình (6,2), ta được
(n +1)2 éëa(n +1) + bùû - 2n2 (a.n + b) + (n -1)2 éëa (n -1) + bùû = n +1
Cho n = 1, n = 2 ta thu được hệ phương trình
ìa = 1
ìï4(2a + b) - 2(a + b) = 2
í
ïî9(3a + b) - 8(2a + b) + (a + b) = 3
ï	6
Û
í
ïb = 1
ïî	2
Vậy	u* = n2 æ n + 1 ö
n
Do đó u
ç	÷
6	2
è	ø
= u0 + u* = A + Bn + n2 æ n + 1 ö

6	2
n	n	n
Mặt khác
ì A + B + 1 + 1 = 1
ç	÷
è	ø
ì A = 4
ï	6	2
í	æ 1	1 ö
ï
Û
íB = -11
ï A + 2B + 4ç	+
÷ = 0	ïî	3
ïî
Vậy
è 3	2 ø
u = 4 - 11 n + n2 æ n + 1 ö

6	2
n	ç	÷
3	è	ø
Dạng 3
Tìm

un thỏa mãn điều kiện
u = a, u = b , au	+ bu + c.u
= d.m n ,
n ³ 2
(7.1)
1	2	n+1	n	n-1
Phương pháp giải
u
Giải phương trình đặc trưng
a.l2 + b.l + c = 0
để tìm l	Khi đó ta có
n	n	n
u = u0 + u* ,
trong đó
0 được xác định như dạng 2 và hệ số A, B chưa được xác
n
n
định, u* được xác định như sau
Nếu l ¹ m
Nếu l = m
Nếu l = m
thì u* = k.m n
n
n
là nghiệm đơn thì u* = k.nmn
n
là nghiệm kép thì u* = k.n.2 m n
u
n
Thay	* vào phương trình, dùng phương pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính
được hệ số k. Biết
u , u từ hệ thức u = u0 + u*
tính được A, B.
1	2	n	n	n
Ví dụ 9:	Tìm
un thỏa mãn điều kiện
u = 0; u = 0, u	- 2u + u
= 3.2n ,
n ³ 2
1	2	n+1	n	n-1
Giải
Phương trình đặc trưng	l 2 - 2l + 1 = 0	có nghiệm kép

l = 1

ta có
u = u0 + u* trong đó u0 = ( A + B.n).1n = A + Bn, u* = k.2n
n	n	1n	n	n
n
Thay u* vào phương trình ta được
k.2n+1 - 2k.2n + k.2n-1 = 3.2n Û k = 6
Vậy u* = 6.2n = 3.2n+1 .Do đó u
= u0 + u* = A + bn + 3.2n+1 (1) thay u = 1, u
= 0 vào
n
phương trình ta thu được hệ
n	n	n	1	2
ì1 = A + B + 12
í0 = A + 2B + 24
ì A = 2
Û
íB = -13
î	î
n
Vậy u = 2 -13n + 3.2n+1
Dạng 4
Tìm un
thỏa mãn điều kiện
u = a, u = b , au	+ bu + c.u	= f	+ g ,
n ³ 2
(8.1)
1	2	n+1	n	n-1	n	n
Trong đó a ¹ 0, fn
là đa thức theo n và
g = v.m n
n
Phương pháp giải
Ta có u
= u0 + u* + u*	trong đó u0
là nghiệm tổng quát của phương trình
n	n	1n	2n	n
u
1n
thuần nhất
aun+1
bu
n + c.un-1
= 0 ,
là nghiệm riêng tùy ý của phương trình
2n
không thuần nhất
aun+1
bu
n + c.un-1 =
fn ,
là nghiệm riêng tùy ý của phương
u
trình không thuần nhất
Ví dụ 10:
aun+1 + bun + c.un-1 = gn
Tìm un
thỏa mãn điều kiện
u = 0; u = 0, u
2u
3u
= n + 2n , n ³ 2
(8.2)
1	2	n+1
n	n-1

Giải
Phương trình đặc trưng l 2 - 2l - 3 = 0 có nghiệm l
= -1,l
= 3 ta có
1	2
u = u0 + u* + u* trong đó u0 = A(-1)n + B.3n , u* = a + bn, u*

= k.2n
n	n	1n	2n	n	1n	2 n
1n
Thay u* vào phương trình
un+1
2u
n - 3un-1
= n , ta được
a (n + 1) + b - 2(an + b) - 3éëa (n -1) + bùû = n Û (4a + 1)n - 4(a - b) = 0
Vậy
a = b = - 1
4
Do đó u* = -1(n +1)
n
Thay u*
4
vào phương trình u

2u

3u

= 2n , ta được