SKKN Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua hệ thống bài tập cực trị về khoảng cách trong hệ tọa độ không gian

inh họa. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A
điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MN
2;1;	3
3.
và B 1;
. Xét hai
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = AM 2 + 2BN 2 + AN 2 + 2BM 2
Hai điểm thay đổi cùng thuộc một mặt cầu.
Trong mặt phẳng có bài toán: Cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R và điểm A sao cho
OA = d < R . Đường thẳng thay đổi qua A cắt (C) tại hai điểm M, N thì AM .AN = R2 - d 2 .
Mở rộng vào trong không gian, thay đường tròn bằng mặt cầu ta có kết quả tương tự.
Bài 2.10. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Điểm A nằm trong mặt cầu (S), OA = d < R . Hai điểm M, N thuộc mặt cầu sao cho A, M, N thẳng hàng
Chứng minh rằng: AM .AN không đổi.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = a.AM + b.AN
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Q = a.AM 2 + b.AN 2
E
N
M
A
H
O
F
24
(với a, b là hai số thực cho trước)
Giải: a) Gọi H là trung điểm của AB, giả sử M nằm giữa A và H. Ta có
AM .AN = (MH - AH )(HA + HN )
= ( HM - HA)( HM + HA) = HM 2 - HA2
= (OM 2 - OH 2 ) - (OA2 - OH 2 ) = R2 - OA2 = R2 - d 2
Vậy AM .AN = R2 - d 2 .
Theo câu a) ta có
P = a.AM + b.AN = a.AM + b.
R2 - d 2 .
AM
Đường thẳng OA cắt mặt cầu (S) tại hai điểm E và F với A nằm giữa O và E Ta có R - d = OE £ MA £ OF = R + d . Đặt x = MA
P
= f (x) = a.x + b R2 - d 2 , khảo sát hàm số này trên đoạn [R - d; R + d ] ta có kết quả.
x
æ R2 - d 2 ö2
Q = g(x) = a.x2 + b.ç	÷ , khảo sát trên đoạn [R - d; R + d ] ta có kết quả.
è	x	ø
Nhận xét: - Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu thì AM .AN = d 2 - R2 .
- Dựa vào kết quả
AM .AN =
R2 - d 2
có thể khai thác nhiều bài toán liên quan.
Bài minh họa. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x -1)2 + ( y + 2)2 + (z - 4)2 = 16 và
điểm M(2;1;2). Đường thẳng d đi qua M cắt mặt cầu tại hai điểm A, B.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
P =	4
MA2
+	1	.
1+ 4 + 4
MB2
Giải: Mặt cầu (S) có tâm I(1; -1; 4) và bán kính
R = 4 ,
d = IM =	= 3
Ta có
MA.MB = R2 - d 2 = 16 - 9 = 7 . Đặt
MA = x Þ MB = 7 ,
x
R - d = 1 £ x £ R + d = 7
4	1	4	x2
1;7
8	2x
	14
P =	+	=	+	trên [	]. Ta có
P ' = -	+
,	P ' = 0 Û x =	.
MA2	MB2	x2	49
x3	49
P(1) = 197 ,	P(7) = 53 ,	P( 14) = 4
49	49	7
Biểu thức P có giá trị nhỏ nhất bằng 4 , lớn nhất bằng 197 .
7	49
Tiếp theo ta xét các bài toán về hai điểm thuộc mặt cầu có độ dài không đổi.
Bài 2.11. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S). Hai
AM
BN
M
E
O
N
H
P
A
F
B
điểm M, N thay đổi nằm trên mặt cầu (S) sao cho
MN = 2a < 2R . Hai điểm A, B thuộc mp(P)
sao cho
và	cùng phương với u cho trước. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
biểu thức AM + BN .
EF
Giải: Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MN và AB.
Ta có
AM + BN = 2.EF và
cùng phương với u .
OM 2 - EM 2
R2 - a2
Lại có OE =	=	không đổi
nên điểm E nằm trên mặt cầu (S’) tâm O,
R2 - a2
bán kính r =	.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên mp(P).
Đặt
h = d (O,(P)) và j = HEF ,
suy ra
cosj = cos(nP ,u )
không đổi.
AM + BN = 2EF = 2 EH 

mà h - r £ EH £ h + r

suy ra
2(h - r ) £ AM + BN £ 2(h + r )
cosj
Vậy giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức AM + BN
cosj
lần lượt là
2(h + r )
cosj
cosj
2(h - r )
và	cosj
Bài minh họa 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu(S ) : x2 + y2 + z2 - 8x - 6 y + 4z + 4 = 0 và
mặt phẳng ( P) : x + y - z = 0 . Hai điểm
M , N thuộc (S )
sao cho MN = 8. Gọi A , B lần lượt
16 + 9 + 4 - 4
là hình chiếu vuông góc của hai điểm
M , N lên ( P ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của MA + NB
HD giải: Mặt cầu (S )
có tâm
I (4;3; -2)
bán kính R =
= 5 ,
25 -16
r =	= 3 và
h = d ( I ,(P)) =
= 3	.
4 + 3 + 2
3
3
3
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA + NB là 2(h - r ) = 2(3	- 3)
Bài minh họa 2. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x + y + z -1 = 0 , đường thẳng
(d ) : x -15 = y - 22 = z - 37 1	2	2
và mặt cầu(S ) : x2 + y2 + z2 - 8x - 6 y + 4z + 4 = 0 . Hai điểm M , N
thuộc mặt cầu (S ) sao cho MN = 8. Gọi A , B là hai điểm thuộc mặt phẳng( P ) sao cho MA ,
NB cùng song song với (d ) . Giá trị lớn nhất của biểu thức MA + NB là
A. 24 +18 3 .	B. 12 + 9 3 .	C. 16 + 60 3 .	D. 8 + 30 3 .
5
Giải: Mặt cầu (S )

có tâm
I (4;3; -2)
5
4
3
bán kính R =
9	9
16 + 9 + 4 - 4
5
3 3
= 5 ,
25 -16
r =	= 3 và
h = d ( I ,(P)) =
=	, cosj = cos(n ,u
) = 1 + 2 + 2 =
4 + 3 - 2 -1
3
 	2æ 4 + 3ö
P	d	3 3
6(4 + 3 3 )	 	
2(h + r )	ç	3	÷
24 + 18 3
Giá trị lớn nhất của MA + NB là
cosj
=	è	ø =	=
 5	5	5
3
3
Chú ý: Có thể mở rộng bài toán trên cho ba điểm thay đổi mà trọng tâm thuộc một mặt cầu.
Bài minh họa. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x + y + z -1 = 0 , đường thẳng
(d ) : x -15 = y - 22 = z - 37 1	2	2
và mặt cầu(S ) : x2 + y2 + z2 - 8x - 6 y + 4z + 4 = 0 . Ba điểm
A, B,C
thuộc mặt cầu(S )
sao cho tam giác ABC đều có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Gọi A¢
, B¢,
C ' là ba điểm thuộc mặt phẳng ( P) sao cho AA¢ , BB¢ và
CC '
cùng song song với (d ) .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức AA¢ + BB¢ + CC '.
HD: Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A’B’C’.
Ta có
AA¢ + BB¢ + CC ' = 3GG '
sau đó giải tương tự như bài 2.11
Bài 2.12. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S). Hai
điểm M, N thay đổi trên mặt cầu (S) sao cho
MN = 2a < 2R . Hai điểm A, B thay đổi thuộc
mp(P) sao cho
AB = 2b > 2a
cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức AM + BN .
Giải: Gọi E là trung điểm MN, ta có
OE =
=	không đổi nên điểm E
OM 2 - OE2
R2 - a2
R2 - a2
nằm trên mặt cầu tâm O, bán kính r =	. Gọi h là khoảng cách từ O đến mp(P)
Gọi H, K, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, E lên mp(P)
MH 2 + HA2
AM + BN =
MH + NK = 2EF ³ 2(h - r )
+	³
NK 2 + BK 2
(MH + NK )2 + ( AH + BK )2
và HK £ MN = 2a
AH + BK + AB ³ HK ,
4(h - r )2 + 4(b - a)2
Þ AM + BN ³
AH + BK + HK ³ AB Þ AH + BK ³
.
AB - HK
³ 2(b - a)
Tương tự các bài về độ dài vectơ, tổng bình phương đoạn thẳng phần trước ta có bài toán:
Bài 2.13. Trong không gian cho mặt cầu S(O; R), n điểm
A1, A2 ,... An và n số thực
a1, a2,... an sao cho a1 + a2 +...+ an ¹ 0. Hai điểm M, N thay đổi thuộc S(O; R) sao cho
MAi + åai NAi
i=1
n
MN = a < 2R cho trước. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
P =

n
åai
n	n
.	b) Q = åa MA +	a NA .å
2	2
i	i	i	i
i=1
i=1
i=1
Giải: Gọi I là điểm xác định bởi hệ thức a1 IA1 + a2 IA2 + ... + an IAn = 0
Khi đó
MA + åa NA = åa (MI + IA ) + åa (NI + IA )
n
n
n
i
i	i
i
i
i
i
n
åa	= å
a (MI + NI ) = 2ån
a HI .
i
i=1

i=1

i=1

i=1

n
i=1
i	i
i=1
Suy ra

n	n
P = åai MAi + åai NAi

n
= 2 åai .HI , với H là trung điểm của MN.
Ta có
i=1
OM 2 - HM 2
R2 - a2
OH =
i=1
=
i=1

R2 - a2
không đổi. Suy ra H nằm trên mặt cầu (S’) tâm O,
bán kính r =
. Do đó
OI - r
£ HI £ OI + r
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là:
Và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là:

n
2 åai .(OI + r )
i=1
n
2 åai . OI - r .
n
i=1
Q = å
a (MI + IA )2 +ån
a (NI + IA )2 = ån
a (MI 2 + NI 2 ) + å
a IA 2
n
i	i	i	i	i	i	i
i=1
i=1
i=1
i=1
OM 2 - EM 2
R2 - a2
Gọi E là trung điểm MN, ta có OE ^ MN ,	OE =	=
R2 - a2
(
Suy ra điểm E nằm trên mặt cầu (S’) tâm O bán kính r =	.
2	2	2
MN 2	2	2
Áp dụng công thức đường trung tuyến, ta có IM
n	n	n
IN
= 2IE
= 2 IE
2
+ a ).
i	i
Do đó Q =
2åai i=1
(IE 2 + a2 ) +
å
i=1
a IA 2
mà åa IA2
i	i
i=1
không đổi và
OI - r
£ IE £ IO + r .
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Q.
Đặc biệt hóa bài 2.13 ta có các bài 2.14 và 2.15
Bài 2.14. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Điểm A nằm ngoài mặt cầu (S). Hai điểm M,
N nằm trên mặt cầu (S) sao cho
MN = 2a < 2R .
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
P = AM 2 + AN 2 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = AM + AN .
Bài 2.15. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Hai điểm A và B nằm ngoài mặt cầu (S). Hai
điểm M, N thay đổi nằm trên mặt cầu (S) sao cho
MN = 2a < 2R .
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Q = AM 2 + BM 2 + AN 2 + BN 2 .
AM + BN
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức W =	.
2;1
2
Bài minh họa. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 4y + 6z + 2 = 0
và hai
điểm
A 2;
, B (0; 2;3). Hai điểm M, N thay đổi nằm trên (S) sao cho
MN = 2	.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
P = AM 2 + AN 2 .
AM + BN .
11 , a =	2
3
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức W =
IM 2 - EM 2
R2 - a2
Kết quả: Mặt cầu (S) có tâm I
0; 2;
, bán kính R =
Gọi E là trung điểm MN, ta có OE ^ MN ,
IE =
=	= 3
R2 - a2
Suy ra điểm E nằm trên mặt cầu (S’) tâm I bán kính r =	= 3 .
Ta có

2	2	2
MN 2

2	2	2
P = AM
AN = 2AE
= 2 AE
(
2
+ a ) = 2( AE
+ 2)
IA - r £ AE £ IA + r Û 3 £ AE £ 9 Þ 22 £ P £ 166
Vậy giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P lần lượt bằng 166 và 22
Bài 2.16. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Hai điểm A và B nằm ngoài mặt cầu (S). Hai
điểm M, N thay đổi nằm trên mặt cầu (S) sao cho MN = u , với u cho trước và u = 2a < 2R .
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
P = AM 2 + AN 2 .
Q = AM 2 + BM 2 + AN 2 + BN 2 .
AM + BN
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức W =	.
OM 2 - EM 2
R2 - a2
Giải: Gọi E là trung điểm MN, ta có OE ^ u ,	OE =	=	.
R2 - a2
Suy ra tập hợp điểm E là đường tròn (C) tâm O, bán kính r =	và nằm trong mp(P)
đi qua O và vuông góc với u . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp(P)
Ta có
2
2	2	2	MN
P = AM + AN = 2AE +
2
= 2( AH 2 + HE2 + a2 ) mà
OH - r
£ HE £ OH + r .
Do đó
2 éë AH 2 + (OH - r)2 + a2 ùû £ P £ 2 éë AH 2 + (OH + r)2 + a2 ùû .
Từ đây có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P.
b)	2	2	2	2	2	MN	2	MN
2	2
Q = AM + AN + BM + BN = 2AE +	+ 2BE +
2	2
Gọi K là trung điểm AB và I là hình chiếu của K lên mp(P).

= 2( AE2 + BE2 ) + MN 2 .
2( AE2 + BE2 ) = 4KE2 + AB2 = 4(KI