SKKN Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và ứng dụng

nh phát triển được năng lực toán học.
Bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số dựa vào các hệ thức cơ bản của phƣơng pháp quy nạp toán học.
Các bước thực hiện:
Bước 1: Biểu diễn lần lượt u2 ,u3 ,u4...un
qua các số hạng liền trước nó
Bước 2: Cộng các biểu thức thu được từ Bước 1 và giản ước, ta thu được một
biểu thức chứa quan hệ giữa u1 và un .
Bước 3: Dựa vào các hệ thức cơ bản của phương pháp quy nạp toán học để tính kết quả thu được.
Ví dụ 1.1. (Bài 2.5 Trang 206 sách Bài tập đại số và giải tích 11 cơ bản)
Cho dãy số (un )
xác định bởi	ì
u1 = 5
í
îun+1 = un + 3n - 2;n ³ 1
Tìm công thức số hạng tổng quát
Hƣớng dẫn giải
Theo đề bài suy ra ;
1
u = 5
u2 = u1 + 3.1- 2 u3 = u2 + 3.2 - 2 u4 = u3 + 3.3 - 2
un = un-1 + 3.(n -1) - 2
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
un = 5 + 3(1 + 2 + ... + (n -1)) - 2(n -1)
Ta luôn có 1+ 2 + ... + (n -1) = (n -1)n
2

(1) là đẳng thức đã biết
n
Þ u = 5 + (n -1)(3n - 4)
2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un
= 5 + (n -1)(3n - 4)
2
Ví dụ 1.2. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi dưới đây
ì	u1 = 3
í	3
îun+1 = un + 2n ;n ³ 1 Hƣớng dẫn giải Theo đề bài suy ra ;
1
u = 3
u = u + 2.13
2	1
3	2
u = u + 2.23
4	3
u = u + 2.33
n	n-1
u = u	+ 2.(n -1)3
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
ë	û
n
u = 3 + 2 é13 + 23 +... + (n -1)3 ù
æ n(n + 1) ö2
Với đẳng thức đã biết 13 + 23 + ... + n3 = ç	÷
(3)
è	2	ø
æ (n -1 n ö)
2
Þ 13 + 23 + ... + (n -1)3 = ç	÷
n
Þ u = 3 +

n2 (n -1)2 4
è	2	ø

n2 (n -1)2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
u = 3 +
n
4
Ví dụ 1.3. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi
dưới đây
ì
ï
u
í
ï n+1
î
u = 1
1
=	un	;n ³ 1 1 + (3n + 2)un
Hƣớng dẫn giải
Từ công thức truy hồi suy ra Từ đó ta có

1 = 1
un+1	un

+ 3n + 2;n ³ 1
1 = 1
u1
1 = 1
u2	u1
1 = 1
u3	u2
1 = 1
u4	u3
+ 3.1+ 2
+ 3.2 + 2
+ 3.3 + 2
1 = 1
un	un-1
+ 3(n -1) + 2
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
u
1 = 1+ 3éë1+ 2 +... + (n -1)ùû + 2(n -1)
n
1+ 3	+ 2(n -1 =)
Þ 1
un
=	(n -1)n	3n2 + n - 2 2	2
Þ un
=	2
3n2 + n - 2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
un =
2
3n2 + n - 2
Ví dụ 1.4. Tìm số hạn tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi
dưới đây
Hƣớng dẫn giải
ìï
í
ïîun+1 =
u = 1
1
n
u2 + n2

+ 1;n ³ 1
n+1
n
Từ công thức truy hồi suy ra u2	= u2 + n2 +1;n ³ 1
Từ đó ta có
1
u2 = 1
2	1
u2 = u2 +12 +1
3	2
u2 = u2 + 22 +1
4	3
u2 = u2 + 32 +1
u = u
2	2
n	n-1
+ (n -1)2 + 1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
n
u2 = 12 + 22 + 32 + ... + (n -1)2 + n
Với đẳng thức đã biết
12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n +1) (2)
6
Þ 12 + 22 + 32 + ... + (n -1)2 = (n -1)n(2n -1)
6
Nên u2 = (n -1)n(2n -1) + n = 1 n(2n2 - 3n + 7)
n	6	6
1
6
6n(2n2 - 3n + 7)
Þ un =
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
un =
1
6
6n(2n2 - 3n + 7)
Ví dụ 1.5. Tìm số hạn tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi dưới đây
ì	u1 = 1;u2 = 2
í
îun+1 = 2un - un-1 + 1; n ³ 2
Hƣớng dẫn giải
Từ công thức truy hồi suy ra
1
u =1
u2 = 2
u3 = 2u2 - u1 +1
u4 = 2u3 - u2 +1
...	...
un = 2un-1 - un-2 +1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
u1 + un = un-1 + 2 + n -1
Þ un = un-1 + n (*)
Từ đề bài và (*) ta lại suy ra
1
u =1
u2 = u1 +1
u3 = u2 + 2
u = u + 3
4	3
un = un-1 + n -1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
un = 1 + 1 + 2 + 3 + ... + (n -1) = 1 + (1 + 2 + 3 + ... + (n -1))
= 1+ (n -1)n = 1 (n2 - n + 2) 2	2
n
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
u = 1 (n2 - n + 2) 2
Nhận xét: Ở các bài toán trên hầu như chúng ta đang xét về các dãy số có công thức truy hồi được cho dưới dạng “quan hệ 1-1 giữa un và un-1 ” nên việc
áp dụng phương pháp cộng đa thức để đưa về quan hệ giữa un và u1
là tương
đối dễ dàng. Nhưng với các bài toán tìm công thức tổng quát của dãy số, không phải lúc nào cũng có công thức truy hồi được cho dưới dạng “quan hệ 1-1 giữa un và un-1 ” đẹp như vậy. Ví dụ:
“Bài toán 1. Cho dãy số (un
) xác định bởi công thức:
ìu1 = a
í
îun = a1un-1 + b1;n ³ 2
1	1
(Trong đó a,a ,b
là các hằng số)
Tìm số hạng tổng quát của dãy số.”
Để nghiên cứu sâu hơn về việc tìm hướng giải của các bài toán như trên, phần tiếp theo của SKKN xin được đề cập tới một số lớp các bài toán được xây dựng trên kiến thức của cấp số cộng, cấp số nhân, đồng thời thực hiện các bước phân tích, suy luận, tương tự hóa, đặc biệt hóa và tổng quát hóa từ đó giúp học sinh phát triển được năng lực toán học.
Bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách quy về cấp số cộng và cấp số nhân.
Đầu tiên có thể cho học sinh làm quen với cơ bản để học sinh nắm vững về định nghĩa và tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân
Ví dụ 2.1. Cho dãy số (un
) xác định bởi công thức:
ìu1 = 9
í
îun = un-1 + 3;n ³ 2
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Hƣớng dẫn giải:
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra (un )

1
là một cấp số cộng có u = 9và công
sai
d = 3 nên số hạng tổng quát là un = u1 + (n -1)d Þ un = 9 + 3(n -1)
Vậy un = 3n + 6
Ví dụ 2.2. Cho dãy số (u

) xác định bởi công thức:

ìu = 16
1
1
ï
n
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Hƣớng dẫn giải:
í
î
ïun+1 =
2 un ;n ³ 1
1
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra (un ) là một cấp số nhân có u =16 và
công bội
q = 1 nên số hạng tổng quát là u
2	n
= 25-n .
n
Vậy u = 25-n
Nhận xét: Với ví dụ 2.2 ở trên, học sinh có thể thấy rõ sự liên hệ giữa un+1,un
là u

n+1
= 1 u
n
và dễ dàng nhìn nhận thấy đó chính là công thức truy hồi của
cấp số nhân. Ta sẽ tiến hành mở rộng bài toán trên bằng việc “giấu đi” sự liên hệ là công thức truy hồi của cấp số nhân giữa un+1,un , và sự liên hệ đó chỉ có được khi tiến hành biến đổi để đưa dãy ban đầu về thành dãy số (vn ) mới.
Ví dụ 2.3. Cho dãy số (un
) xác định bởi công thức:
ìu1 = 2
í
îun = 5un-1 + 6; n ³ 2
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Hƣớng dẫn giải:
Ta xét un + a = 5(un-1 + a ) Û un = 5un-1 + 4a
Két hợp với đề bài Þ 4a = 6 Û a = 3
2
Vậy u

= 5u

+ 6 Û u
+ 3 = 5æ u
+ 3 ö
n	n-1
n	2	ç n-1	2 ÷
è	ø
Đặt v = u + 3 Þ v
= u + 3 = 7

và v = 5v
n	n	2
1	1	2	2
n	n-1
Suy ra dãy số (v
) là cấp số nhân có v = 7 , công bội
q = 5
n	1	2
Þ v = v .qn-1 Þ v = 7 .5n-1 Þ u
= v - 3 = 7 .5n-1 - 3
n	1	n	2
n	n	2	2	2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un
= 7 .5n-1 - 3
2	2
Nhận xét: Trong bài toán trên ta đã đi tìm số a thỏa mãn un + a = 5(un-1 + a )
nhằm mục đích đưa ví dụ 2.3 về thành dạng bài toán đã biết của ví dụ 2.2, khi
đó dãy số (v ) với v = u + 3 đóng vai trò như u trong ví dụ 2.2.
n	n	n	2	n
Tổng quát hóa bài toán ví dụ 2.3 ta thu được bài toán như sau.
Bài toán 2.1. Cho dãy số (un )

xác định bởi công thức:
ìu1 = a
í
îun = a1un-1 + b1;n ³ 2
1	1
(Trong đó a,a ,b
là các hằng số)
Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Định hướng tìm lời giải:
Nếu
Nếu
q = 1 ta được bài toán rất đơn giản như đã trình bày trong bài tập 1.
1
q ¹ 1 ta phải tìm một số c sao cho phương trình
un+1 = a1un + b1 Û un+1 + c1 = q[un + c1 ]
Đặt vn = un + c1
Khi đó việc tìm un sẽ trở thành tìm
v trong đó dãy số (vn )
là một cấp số
n
nhân
Ta sẽ tiếp tục mở rộng bài toán theo hướng thay thế b1 thành một đa thức
f (n) của n trong ví dụ tiếp theo.
Ví dụ 2.4. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số (un )
cho bới công thức truy
hồi
ìu1 = 1
í
îun+1 = 3un + 4n - 2;n ³ 1
Hƣớng dẫn giải:
Xét đa thức
g (n) = an + b sao cho un+1 + g (n +1) = 3éëun + g (n)ùû
Þ un+1 + a (n + 1) + b = 3[un + an + b]
Þ un+1 = 3un + 2an + 2b - a
Mà un+1 = 3un + 4n - 2
nên ta phải có
2an + 2b - a = 4n - 2 Þ ì2a = 4
Û ìa = 2
í2b - a = -2	í = 0
î	îb
Do đó un+1 + 2(n + 1) = 3[un + 2n]
Đặt
vn = un + 2n Þ v1 = u1 + 2 = 3 và vn+1 = 3vn
Suy ra (vn )
là cấp số nhân có v = 3, công bội
q = 3
1
Þ v = v .qn-1 Þ v = 3.3n-1 = 3n mà v = u + 2n Þ u
= 3n - 2n
n	1	n	n	n	n
n
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là u = 3n - 2n
Ví dụ 2.5. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số (un )
ìu1 = 5
cho bới công thức
2
í
îun+1 = 9un + 8n
+ 14n + 1;n ³ 1
Hƣớng dẫn giải:
Xét đa thức
g (n) = an2 + bn + c
sao cho u

n+1
+ g (n +1) = 9 éëun
+ g (n)ùû
Þ u	+ a(n +1)2 + b(n +1) + c = 9éu
an2 + bn + cù
n+1
ë n	û
Þ un+1 = 9un + 8an2 + (8b - 2a )n + 8c - b - a Mà un+1 = 9un + 8n2 +14n +1 nên ta phải có 8an2 + (8b - 2a)n + 8c - b - a = 8n2 + 14n + 1
ì8a = 8
í8b
î
8an2 + (8b - 2a)n + 8c - b - a = 8n2 + 14n + 1 Þ ï	- 2a = 14
Û a = 1;b = 2;c = 1
2

suy ra

g (n) = n2 + 2n + 1
2
ï8c - b - a = 1
Do đó Þ u
+ (n +1)2 + 2(n +1) + 1 = 9 éu
+ n2 + 2n + 1 ù
n+1
2	êë n
2 úû
Đặt v = u + n2 + 2n + 1 Þ v
= u + 7 = 17
và v	= 9v
n	n	2
1	1	2	2
n+1	n
Suy ra (v
) là cấp số nhân có v = 17 , công bội
q = 9
n	1	2
Þ v = v .qn-1 Þ v = 17 .9n-1 = 17 .32 n-2 mà
n	1	n	2	2
v = u
+ n2 + 2n + 1 Þ u
= v - æ n2 + 2n + 1 ö = 17 .32n-2 - n2 - 2n - 1
n	n	2
n	n	ç
2 ÷	2	2
è	ø
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un
= 17 .32 n-2 - n2 - 2n - 1
2	2
Nhận xét: Điểm mấu chốt của cả hai bài toán trên đều là đi tìm đa thức
n
g (n) thỏa mãn un + g (n) = a éëun-1 + g (n -1)ùû
nhằm mục đích đưa dãy số un
về thành dãy số
vn = un + g (n) , khi đó dãy số v là một cấp số nhân có công
bội a và cách xử lý các bài toán trên lúc đó sẽ tương tự như Bài toán 2.1.
Câu hỏi đặt ra: Đa thức
g (n)
xác định như thế nào?
Chú ý rằng: vn = avn-1 + ag(n -1) - g(n) + f (n). Vì vậy để vn
trở thành một
cấp số nhân thì
ag(n -1) - g(n) +
f (n) = 0
Khi đó ta chỉ cần chọn
g (n) sao cho
ag(n -1) - g(n) +
f (n) = 0,"n ³ 2
Hay
f (n) = g(n) - ag(n -1),"n ³ 2
Từ hai ví dụ trên ta có bài toán tổng quát như sau.
Bài toán 2.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un )
ìïu1 = a
í

cho bới:
ïîun = aun-1 + f (n);n ³ 2
Trong đó a,a
là các hằng số đã cho,
f (n) là đa thức theo biến số n
Định hướng tìm lời giải:
Nếu
a = 1 ta được bài toán như đã trình bày trong phần I
Nếu
a ¹ 1 ta phải tìm một đa thức
g (n)
c