SKKN Phát triển năng lực, phẩm chất cho học sinh THPT qua dạy học chủ đề quan hệ song song trong không gian

:
a) mp(SAC) và mp(SBD)	b) mp(SAB) và mp(SCD)
c) mp(SEF) và mp(SAD)
Nhận xét: Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm được giao tuyến. 
Với câu c) GV cần gợi ý cho HS phát hiện ra được điểm chung thứ hai.
	Lời giải:
a) Ta có S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (1) ; 
F = AC ∩ BD ⇒ F ∈ (SAC) ∩ (SBD) (2) 
Từ (1) và (2) suy ra : SF = (SAC) ∩ (SBD).
b) Ta có S ∈ (SAB) ∩ (SCD) (1) ; 
E = AB ∩ CD ⇒ E ∈ (SAB) ∩ (SCD) (2) 
Từ (1) và (2) suy ra : SE = (SAB) ∩ (SCD).
c) Trong mp(ADE) kéo dài EF cắt AD tại N.
 Xét hai mp(SAD) và (SEF) có: 
 S ∈ (SAD) ∩ (SEF); N ∈ (SAD) ∩ (SEF) 
 Vậy : SN = (SAD) ∩ (SEF). 	 
Ví dụ 2.	Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:
	a) và .
	b) và , với là một điểm bất kì thuộc cạnh .
(Trích nhóm giáo viên toán Việt Nam)
Lời giải
Nhận xét: 	Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm được giao tuyến. 
	a) Ta có: .
	, với và .
	b) Ta có: .
	, với và .
Bài toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mp(α).
Phương pháp :
* Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mp(α) ta tìm giao điểm của đường thẳng với một đường thẳng nằm trên mp(α). (hình 8) 
Tóm tắt : Nếu thì . 
* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:
- Tìm mpchứa sao cho mp cắt mp.
	- Tìm giao tuyến của hai mp và mp.(hình 9)
* Nhận xét: Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng . Nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng và chọn mp sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình vẽ.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và AD sao cho . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD).
Nhận xét : - HS dễ dàng phát hiện ra đường thẳng a chính là đường thẳng BD.
- GV cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng phải cùng nằm trên một mặt phẳng và không song song.
Lời giải:
Trong ΔABD có: và , suy ra IJ không song song BD. 
Gọi Vậy K = IJ ∩ (BCD).
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là điểm tùy ý thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp(SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM)
‎Nhận xét: Câu a) HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC. Không nhìn ra được đường thẳng nào nằm trong mp(SAC) để cắt được BM. 
GV gợi ý cho HS biết chọn mp phụ chứa BM đó là mp(SBD) và xác định giao tuyến của 2mp(SBD) và (SAC). 
Câu b) HS gặp khó khăn khi không nhìn ra được đường nào nằm trong mp(SBC) để cắt IM. 	
GV cần hướng dẫn HS chọn 1 mp phụ thích hợp chứa IM 
Câu c) Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SC và tìm giao tuyến của mp đó với mp(IJM). Có mp nào chứa SC? 
GV hướng dẫn HS chọn mp nào cho việc tìm giao tuyến với (IJM) thuận lợi.
Lời giải:
a) Ta có BM ⊂ (SBD)
Xét 2 mp(SAC) và (SBD) có S là điểm chung thứ nhất (1)
Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O là điểm chung thứ hai (2) 
Từ (1) và (2) ⇒ SO = (SAC) ∩ (SBD).
Trong mp(SBD) có BM cắt SO tại P. Vậy P = BM ∩ (SAC).
b) Ta có IM ⊂ (SAD)
Xét hai mp(SAD) và (SBC) có: S là điểm chung thứ nhất 
Gọi E = AD ∩ BC ⇒ E là điểm chung thứ hai
⇒ SE = (SAD) ∩ (SBC).
Trong mp(SAE) có IM cắt SE tại F. Vậy F = IM ∩ (SBC) 
c) Ta có SC ⊂ (SBC)
Xét 2 mp(IJM) và (SBC) ta có : JF = (IJM) ∩ (SBC)
Trong mp(SBE) có JF cắt SC tại H. Vậy H = SC ∩ (IJM).
Bài toán 3: Chứng minh quan hệ song song.
3.1. Chứng minh hai đường thẳng song song.
Để chứng minh hai đường thẳng a và b song song với nhau trong không gian GV có thể định hướng và cho học sinh rèn luyện chứng minh theo các cách sau:
Cách 1: Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng.
Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba .
Cách 3: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng( nếu có )cũng song song với hai đường thẳng đó .
Cách 4: Sử dụng định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng .
Trong 4 cách nêu trên thì cách 2 và cách 3 hay được sử dụng khi chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian. Tùy vào bài toán cụ thể mà ta nên chọn cách chứng minh cho phù hợp và hiệu quả. Trong trường hợp hai đường thẳng a và b đồng phẳng ta có thể sử dụng các kết quả đã biết trong hình học phẳng để chứng minh .
Ví dụ 1.	Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy lớn . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. song song với .	B. chéo với .
C. cắt với .	D. trùng với .
(Trích nhóm giáo viên toán Việt Nam)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Trong gọi , trong gọi .
Ta có .
Vậy .
Do .
Ta có .
Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy và . Biết . Gọi và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Mặt phẳng cắt tại .
a) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. song song với .	B. chéo với .
C. cắt với .	D. trùng với .
b) Giải sử cắt tại ; cắt tại . Chứng minh song song với và . Tính theo .
A. .	B. .	
C. .	D. 
Lời giải
a) Chọn A.
Ta có .
Vậy 
.
Tương tự 
Vậy 
.
Từ và suy ra .
b) Chọn D.
Ta có ;
Do đó . Mà .
Tính : Gọi 
Ta có , 
Mà .
Từ suy ra 
Tương tự . Vậy .
3.2. Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α)
* Phương pháp: 
Cách 1: Chứng minh đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung .
Cách 2:
	 Nếu thì d // (α)
Cách 3: Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng () ta đi chứng minh đường thẳng a nằm trên mặt phẳng () mà phẳng () // ().
Cách 4:	 Nếu thì d // (α)
Nhận xét: Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng có trên hình vẽ hay chưa, nó được xác định như thế nào, làm thế nào để xác định được nó. GV cần làm cho HS biết hướng giải quyết của bài toán là dựa vào giả thiết của từng bài toán mà xác định đường thẳng a như thế nào cho phù hợp. 
Ví dụ 1: (Trích Bài 1 trang 63 sgk HH 11 Cơ bản) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh rằng OO’ song song với (ADF) và (BCE).
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của ΔABD và ΔABE. Chứng minh rằng: MM // (CEF).
Lời giải:
a) Ta có : OO’ // DF (OO’ là đường trung bình ΔBDF ).
Mà DF ⊂ (ADF) ⇒ OO’ // (ADF).
Ta có : OO’ // CE (OO’ là đường trung bình ΔACE ).
Mà CE ⊂ (BCE) ⇒ OO’ // (BCE).
b) Gọi H là trung điểm của AB.
Ta có : 
⇒ MN // DE mà DE ⊂ (CEFD) ≡ (CEF)
Vậy MN // (CEF).
Ở Ví dụ 1 này giáo viên đưa ra ở mức độ đơn giản để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta đi chứng minh nó song song với 1 đường thẳng dễ nhìn thấy trong mặt phẳng. Để giúp học sinh có tư duy tốt hơn ta nâng dần khả năng tìm đường thẳng khó hơn ở Ví dụ 2, Ví dụ3, Ví dụ4.
Ví dụ 2: Cho hình thang có và . Trên lấy hai điểm sao cho . Kẻ . Chứng minh .
Lời giải
Ta có . Do nên .
Suy ra 
Do ta suy ra . 
Vậy .
Ví dụ 3. Cho hình hộp có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh . Các điểm lần lượt trên sao cho .
a) Chứng minh khi biến thiên, đường thẳng luôn song song với một mặt phẳng cố định.
b) Chứng minh khi thì .
Lời giải
a) Gọi là mặt phẳng qua và song song với . Gọi là mặt phẳng qua và song song với . Giả sử cắt tại điểm .
Theo định lí Thales ta có 	
Vì các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh nên .
Từ ta có , mà 
Mà .
Vậy luôn song song với mặt phẳng cố định .
b) Gọi . Ta có 
 suy ra là trọng tâm của tam giác .
Tương tự là trọng tâm của tam giác .
Gọi là trung điểm của ta có .
Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi I,G,P,Q lần lượt là trung điểm DC,SB,BG,BI. Chứng minh rằng PQ//(SAD)
Định hướng giải: Ở Ví dụ 4 này ta định hướng cho học sinh làm theo cách 3 chọn một mặt phẳng chứa PQ hoặc chứa đường thẳng song với PQ mà mặt phẳng đó song song với (SAD).
 Dự kiến học sinh trả lời: chọn là (IJG).học sinh dễ dàng chứng minh được (SAD)//(IJG) GI//(SAD). Theo giả thiết PQ//GI nên ta có PQ//(SAD).
3.3. Chứng minh hai mp(α) và mp(β) song song nhau.
* Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thể thực hiện một trong ba hướng sau :
Cách 1: Chứng minh trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
 	 Nếu thì (P) // (Q). 
Cách 2: Chứng minh hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba.
Cách 3 :Chứng minh hai mặt phẳng phân biệt không có điểm chung.
* Nhận xét: Tương tự như bài toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, vấn đề đặt ra là chọn hai đường thẳng như thế nào ? Nằm trên mặt phẳng hay mp? GV cần hướng dẫn, gợi mở cho HS phát hiện ra được vấn đề của bài toán.
Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm , gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh .
Lời giải
Ta có lần lượt là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh do đó .
Vậy .
Tương tự, Ta có lần lượt là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh do đó .
Vậy . Từ và ta có .
Ví dụ 2. Cho hai hình vuông và ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo và lần lượt lấy các điểm sao cho . Các đường thẳng song song với vẽ từ lần lượt cắt và tại và . Chứng minh: a) .	b) .
Lời giải
a) Ta có 
Tương tự .
Mà .
b) Vì và là các hìnhvuông nên .
Ta có 
Từ , và ta được 
.
Lại có .
Vậy .
Dạng 4: Bài toán liên quan đến thiết diện. 
Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và lần lượt là trung điểm các cạnh .
a) Chứng minh .
b) là một điểm thuộc đoạn ( khác ). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi đi qua và song song với .
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi đi qua song song với .
(Trích nhóm giáo viên toán Việt Nam)
Lời giải
a) Ta có 
Tương tự 
Từ và suy ra .
b) Ta có .
vậy .
Tương tự 
 .
Vậy thiết diện là tứ giác .
c) 
Ta có 
Tương tự .
Thiết diện là hình thang .
Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là hình thang . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và là trọng tâm tam giác . Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng là hình bình hành. Hỏi khẳng định nào sao đây đúng?
A. .	B. .	
C. .	D. 
(Trích đề thi thử trường THPT Chuyên