SKKN Khai thác và phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa Toán 10 để tạo hứng thú học tập, góp phần hình thành năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh

phải có điều kiện
x ³ 0. Với
x ³ 0 thì
A ³ 0
Vậy min
A = 0 Û x = 0
* Không chú ý điều kiện.
Ví dụ: Với
x ³ 2tìm GTNN của biểu thức:
S = 3x + 1
x
3x. 1
x
3
Lời giải sai:
Với
x ³ 2, áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương: S ³ 2	³ 2
Vậy GTNN của S là
Phân tích lỗi sai:
S = 2
khi x =	3
3
3
Khi kết luận GTNN của S đạt được khi x =
3 là chưa đúng do không đối
3
chiếu điểm rơi x =
3 với điều kiện của bài toán là
3
x ³ 2.
Nhận thấy x =
3 < 2 nên kết luận trên là sai.
3
Lời giải đúng:
Ta có:
S = 3x + 1 = 3x + 12 - 11
x	x	x

(1)
Vì x ³ 2 áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
3x.12
x
S ³ 2	³12
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = 2
Vì x ³ 2 Þ 11 £ 11 Þ -11 ³ -11

(2)
x	2	x	2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = 2
Từ (1) và (2) ta có:
S ³12 -11 ³ 13
2	2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = 2
Vậy GTNN của S là 13
2

khi
x = 2 .
Giải pháp khắc phục khó khăn và sai lầm khi giải toán.
Giải bài toán cụ thể, thay đổi giả thiết để tăng độ khó cho bài toán.
Nắm vững các bất đẳng thức phụ.
Chú ý các cách biến đổi tương đương, dấu của bất đẳng thức.
Chú ý các điều kiện của bài toán, vận dụng các giả thiết đã cho.
Sau khi giải thì thay giá trị của biến vào để kiểm tra lại.
Khi áp dụng các bất đẳng thức phụ thì phải chú ý điều kiện, chiều của bất đẳng thức, điểm rơi.
Phát triển bài toán từ các bài tập mức độ nhận biết, thông hiểu qua đó giúp học sinh tháo gỡ khó khăn gặp phải khi giải bài toán về bất đẳng thức
Bài toán gốc:
Chứng minh rằng: Với các số thực dương a,b,c ta có bất đẳng thức
A = a + b + c	³ 3

(1)
b + c	c + a	a + b	2
Lời giải:
Ta có:
A + 3 = (a + b + c)( 1 + 1 + 1 )
b + c	c + a	a + b
Đặt
x = b + c, y = c + a, z = a + b , ta có:
A + 3 = 1 (x + y + x)(1 + 1 + 1)
2	x	y	z
Đặt
B = (x + y + x)(1 + 1 + 1)
x	y	z
Lại có:
B = 3+ x + y + y + z + x + z y	x	z	y	z	x
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c .

B ³ 9. Suy ra

A ³ 3 .
2
Khai thác bài toán: ta thấy, khi nhân cả 2 vế của bất đẳng thức (1) với
a + b + c thì ta được một bất đẳng thức mới:
(a + b + c)( a + b + c	) ³ 3 (a + b + c)
b + c	c + a	a + b	2
Û a2
b2
c2
³ a + b + c
b + c	c + a	a + b	2
Từ đó, ta có bài toán sau:
Bài toán 1: Với các số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng:
a2	+ b2
c2
³ a + b + c

(2)
b + c	c + a	a + b	2
Ta thấy từ vế phải của (2) nếu thêm điều kiện
abc =1 thì theo bất đẳng
thức Cauchy ta có:
a + b + c ³ 33 abc = 3. Khi đó biến đổi và từ tính chất bắc cầu
của bất đẳng thức ta có bài toán 2.
Bài toán 2:	Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng:
abc =1.
a2	+ b2
+ c2	³ 3
(3)
b + c	c + a	a + b	2
Như vậy muốn chứng minh BĐT (3) ta xuất phát từ BĐT (1), sau đó thực hiện hai bước sau ta sẽ có khẳng định:
Bước 1: Nhân hai vế của (1) với a + b + c và biến đổi.
Bước 2: Chứng minh BĐT
a + b + c ³ 3 2	2
Đến đây, nếu từ (3) và từ giả thiết ta biến đổi theo các bước: Bước 1: Bình phương hai vế của (3).
Bước 2: Nhân hai vế của BĐT thu được sau bước 1 với 1 .
2
ứng
Bước 3: Thay thế các biểu thức
1 , 1 , 1
a2b2 ,b2c2 ,c2a2
bằng các biểu thức tương
c2 b2 a2
Từ ba bước biến đổi, ta có bài toán 3.
Bài toán 3: Cho minh rằng:
a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện
abc =1. Chứng
a4	+	b4
c4
+	1	+	1	+	1	³ 1
2(b + c)2	2(c + a)2
2(a + b)2
c2 (a + c)(b + c)	a2 (c + a)(b + a)	b2 (c +b)(a +b)	8
Phát triển các bài toán từ bài tập về hình học trong mặt phẳng toạ độ Oxy
Bảng tổng hợp kết quả điều tra khảo sát nhóm 3 phần hình học trong mặt phẳng toạ độ Oxy
Nội dung điều tra

Không bao giờ

Thỉnh Thoảng
Thường xuyên
Số lượng
Số lượng
Số lượng
A1,A2
C3,C4
A1,A2
C3,C4
A1,A2
C3,C4
1. Khi giải toán em có khó khăn trong việc tìm lời giải cho một bài toán không?

3/80

0/80

40/80

10/80

37/80

70/80
2. Em có đọc trước bài mới ở nhà không
2/80
35/80
28/80
35/80
50/80
10/80
3. Em có phân tích đề bài để giải quyết vấn đề của bài toán không?

2/80

60/80

50/80

17/80

28/80

3/80
4. Khi gặp bài toán chưa biết cách giải em có xét các trường hợp đặc biệt hay dự đoán kết quả để tìm lời giải không?

50/80

78/80

15/80

2/80

15/80

0/80
5. Em tự làm được bài tập trong SGK.
20/80
50/80
20/80
20/80
40/80
10/80
6. Em tự làm được bài tập trong SBT.
30/80
70/80
30/80
5/80
20/80
5/80
7. Em có làm bài tập trong sách tham khảo không?
50/80
80/80
25/80
0/80
5/80
0/80
8. Em có học tập trên các diễn đàn Toán học, trên các nhóm Toán họckhông ?

25/80

65/80

45/80

13/80

40/80

2/80
9. Em có yêu thích học về phương trình đường thẳng.
0/80
50/80
50/80
20/80
30/80
10/80
10. Em có định hướng về công việc của bản thân trong tương lai không?

5/80

30/80

25/80

40/80

50/80

10/80

Những khó khăn học sinh gặp phải khi giải bài toán phương trình đường thẳng
Qua kết quả điều tra khảo sát ở hai nhóm lớp, nhóm chúng tôi rút ra được những khó khăn thường gặp của học sinh như sau:
Đối với học sinh yếu, kém
Khó khăn đầu tiên là các em chưa xác định được đúng mục đích của việc học tập dẫn đến học tập hời hợt qua loa. Thiếu sự nỗ lực, yêu thích và say mê học toán.
Chưa nắm vững các khái niệm, các công thức, các tính chất, ví dụ như chưa biết đâu là vecto pháp tuyến, đâu là vecto chỉ phương, đâu là phương trình tổng quát, đâu là phương trình tham số,
Chưa xác định được dạng toán và hướng giải.
Lười, về nhà không học lại bài cũ, không luyện thêm đề và bài tập, không học thuộc công thức cũng như trước khi đi học không xem trước.
Trong giờ học bị mất tập trung .
Phương pháp dạy của thầy cô ở THPT khác các thầy cô ở THCS nên có thể mới lên lớp 10 nên chưa thích nghi được.
Quá tự ti về bản thân, nghĩ mình không làm được nên không thử làm.
Đối với học sinh khá, giỏi
Có nhiều bạn năng lực học tập rất tốt nhưng chưa có sự yêu thích, đam mê học toán dẫn đến các em chỉ làm bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập cho xong nhiệm vụ nên chưa phát huy hết được năng lực của bản thân.
Khó khăn trong việc tìm đề để làm, do nguồn thông tin hiện nay nhiều và lộn xộn.
Khó khăn trong việc trình bày và lung túng khi gặp nghiệm không đẹp.
Đôi khi làm phức tạp hóa vấn đề, suy nghĩ quá nhiều khiến bài toán trở nên rắc rối hơn.
Có nhiều bài toán khó chưa liên kết được các kiến thức để tìm ra lời giải.
Thông qua những khó khăn học sinh gặp phải đưa ra giải pháp khắc phục
Thông qua những khó khăn mà học sinh tổng hợp từ kết quả điều tra, chúng tôi đưa ra giải pháp dành cho hai nhóm học sinh.
Giải pháp đối với học sinh yếu, kém
Nên tập trung nghe giảng, đọc và nắm lại toàn bộ những kiến thức cơ bản, công thức hình học.
Nên chăm chỉ luyện đề hơn, học bài cũ và nghiên cứu trước bài mới.
được.
Cần tự tin hơn, đừng ngại thử, nếu lần này ko làm đc thì lần sau sẽ làm
Nên tìm một người bạn đồng hành và cả hai cùng nhau học và phát triển.
Giải pháp đối với học sinh khá, giỏi
Liên hệ thầy cô, các anh chị khóa trước để xin đề, lấy đề làm.
Vẫn nên tìm một hay một nhóm bạn cùng chí hướng cùng nhau học tập.
Nên chắc chắn từng bước giải, làm đến đâu chắc đến đó để khi ra
nghiệm không như mong muốn đỡ bối rối.
- Khi luyện đề nên chú ý đến trình bày để khi cần trình bày thì biết cách trình bày.
Phát triển bài toán từ các bài tập mức độ nhận biết, thông hiểu qua đó giúp học sinh tháo gỡ khó khăn gặp phải khi giải bài toán về hình học trong mặt phẳng toạ độ Oxy
Bài toán 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua
M (1;2) và có vecto pháp tuyến là
Lời giải:
n(2;-3)
Ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:
a(x - x0 ) + b( y - y0 ) = 0
Û 2(x -1) - 3( y - 2) = 0
Û 2x - 3y + 4 = 0
Để tăng mức độ bạn có thể thay dữ kiện “ có vecto pháp tuyến là thành vecto chỉ phương u(3;2) . Ta có bài toán 2.

n(2;-3)
Bài toán 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua
M (1;2) và có vecto chỉ phương u(3;2) .
Từ vecto chỉ phương ta theo công thức suy ra được vecto pháp tuyến là
n(2;-3)
rồi làm tiếp như trên
Tiếp theo thay vecto chỉ phương u(3;2) thành 1 điểm N(2;5) ta có bài toán 3.
Bài toán 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua
M (1;2) và N(2;5).
Lúc này, ta có: u = MN(1;3)
Ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:
Û1(x -1) + 3( y - 2) = 0
Û x + 3y - 7 = 0
Sau đó, ta thay điểm N(2;5) đó thành dữ kiện” đường thẳng d song song
với d’: 2x-5y+6=0 ta được bài toán 4.
Bài toán 4: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M (1;2)
và song song với đường thẳng
Giải:
d ': 2x -5y + 6 = 0 .
Do d song song với d’ nên
nd = nd ' (2;-5)
Ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:
Û 2(x -1) - 5( y - 2) = 0
Û 2x - 5y + 8 = 0
Ngoài ra, cũng có thể thay quan hệ song song thành quan hệ vuông góc, khi đó ta có bài toán 5
Bài toán 5: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua
M (1;2) và vuông góc với đường thẳng
Giải:
d ': 2x -5y + 6 = 0 .
Do d song song với d’ nên
ud = ud ' (2;-5) Þ nd (5;2)
Ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:
Û 5(x -1) + 2( y - 2) = 0
Û 5x + 2 y - 9 = 0
Và nếu ta thay dữ kiện vuông góc thành giao điểm của hai đường thẳng ta được bài toán 6.
Bài toán 6: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M (1;2)
và đi qua giao điểm của hai đường thẳng D: 2x + y -1= 0;D':3x + 2y -5 = 0 .
Giải :
Tọa độ I của D: 2x + y -1= 0;D':3x + 2y -5 = 0 là nghiệm của hệ
ìï 2x + y -1= 0 Û ìïx = -3
í	í
ïî3x + 2 y - 5 = 0	ïî y = 7
Ta có đường thẳng d đi qua hai điểm
M (1;2) và
I (-3;7) )
Tương tự bài toán 3 ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:
-8x + 5y -59 = 0
Khi các em đã làm thành thạo 6 bài toán về phương trình đường thẳng trên. Giáo viên nâng cao lên là các bài toán gắn với các hình học đặc biệt như là tam giác, hình thang vuông, hình vuông,
Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(2;2) , hai đường cao có phương trình là
D: 2x + y -1= 0;D':3x + 2y -5 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác .
Giải:
- Ta quy về những bài toán nhỏ:
+) Lập phương trình đường thẳng AB biết AB vuông góc với quả điểm A
D' và đi
+) Lập phương t