SKKN Hình thành và phát triển tư duy kinh tế cho học sinh trong dạy học chương Tổ hợp, xác suất - Đại số và giải tích 11 ở trường THPT

anh nghiệp, điều kiện của thị trường và hoàn cảnh tự nhiên, xã hội nhưng khả năng lựa chọn cũng khá lớn. Quyết định lựa chọn của các nhà quản lý đều gắn với mục đích nhất định và đó là sự lựa chọn tối ưu theo mục tiêu đặt trước.
Đứng trước một vấn đề, một bài tập toán, giáo viên hướng dẫn học sinh tìm tòi, đưa ra cách giải quyết tối ưu, tiết kiệm được thời gian, công sức. Từ đó, bước đầu hình thành tư duy kinh tế cho học sinh, giúp các em trong tương lai, khi đứng trước một dự án, một công trình hay một quyết định, các em sẽ lựa chọn được phương án tối ưu phù hợp với điều kiện, hoàn cảnh và đem lại hiệu quả kinh tế cao nhất. Chúng ta cùng xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1:Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11m. Huấn luyện viên mỗi đỗi cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ đá luân lưu 5 quả 11m. Hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ.
A. 462	B. 55	C. 55440	D. 11!.5!.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Sử dụng quy tắc nhân. Đá quả thứ nhất: 11 cách chọn Đá quả thứ hai: 10 các h chọn
Đá quả thứ ba: 9 cách chọn Đá quả thứ tư: 8 cách chọn Đá quả cuối: 7 cách chọn
Áp dụng quy tắc nhân, có	11.10.9.8.7=55440 cách chọn .
Cách 2: Sử dụng chỉnh hợp
Việc chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ rồi sắp xếp 5 cầu thủ theo một thứ tự là một
11
tổ hợp chập 5 của 11. Số cách chọn là P5 = 55440 .
Cách giải nào trong hai cách giải trên là tối ưu? Mỗi một cách giải có cái hay của nó.
Cách 1 cho ta lời giải quen thuộc, khắc sâu lại những kiến thức và điều kiện để sử dụng quy tắc nhân cho học sinh.
Cách 2 ngắn gọn, lại giúp học sinh nhận biết được phép toán chỉnh hợp một cách rõ rang.
Ví dụ 2: Một túi 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà 4 viên bi có đủ cả hai màu.
A. 300	B. 310	C. 320	D. 330.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Phân chia trường hợp
Các viên bi lấy ra có đủ 2 màu nên ta có các trường hợp
Số bi trắng
Số bi xanh
Số cách chọn
1
3
C1 ´ C3 6	5
2
2
C2 ´C2
6	5
3
1
C3 ´ C1
6	5
Vậy có tất cả C1 ´ C3 + C2 ´C2 +C3 ´ C1 = 310 cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
6	5	6	5	6	5
Cách 2: Dùng phần bù
Số cách chọn 4 viên tùy ý từ 11 viên bi là

C
11
4 cách
C
6
Số cách chọn 4 viên bi màu trắng là:	4 cách
5
Số cách chọn 4 viên bi màu xanh là : C4 cách
11	5	6
Vậy có tất cả C4 - (C4 + C4 ) = 310 cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong hai cách giải trên bạn chọn cách nào? Cách giải thứ nhất tuy dài dòng nhưng là phương pháp cơ bản, đồng thời giúp học sinh ôn lại kiến thức đã học. Ưu điểm của cách này là giúp học sinh phân chia được các khả năng có thể xảy ra của
một công việc. Cách giải thứ hai rất gọn gàng, có thể sử dụng giải những bài toán ở mức độ phức tạp hơn nhưng học sinh cần phải được trang bị lượng kiến thức về phần bù hoặc các tình huống ngược lại.
Như vậy, tuỳ vào từng đối tượng học sinh và tuỳ vào từng lớp học, cấp học mà với một bài toán thì người giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh cách giải quyết hợp lí. Điều này được thể hiện khá rõ trong các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Một chiếc xe đua có 2 động cơ. Xác suất gặp sự cố của mỗi động cơ lần lượt là 0,4 và 0,5. Biết rằng xe vẫn chạy được khi một trong hai động cơ hoạt động bình thường. Tính xác suất để xe đua chạy hết được quãng đường.
A. 0,8	B. 0,9	C. 0,5	D. 0,6.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Tính trực tiếp
Xe vẫn chạy được nếu một trong hai động cơ gặp sự cố, hoặc cả 2 không có sự cố nào nên xác suất xe vẫn chạy hết quãng đường là:
0, 4´ 0, 5 + 0, 6 ´ 0, 5 + 0, 6 ´ 0, 5 = 0,8 .
Cách 2: Dùng biến cố đối
Xác suất để xe không thể đi hết quãng đường là cả hai động cơ đều gặp sự cố:
0, 4´ 0, 5 = 0, 2
Xác suất để xe đi hết quãng đường là: 1- 0, 2 = 0,8 .
Ví dụ 4: Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1000 thỏa mãn số đó có chứa ít nhất một chữ số 1.
A. 254	B. 252	C. 272	D. 271.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Giải trực tiếp (theo quy tắc cộng)
Phân chia ra các số tự nhiên làm 3 nhóm: có 1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số Tiếp tục xác định tập các số tự nhiên có chứa chữ số 1 nằm trong 3 nhóm trên
Gọi
A1, A2 , A3
lần lượt là tập các số tự nhiên có 1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số
thỏa mãn mỗi chữ số đều xuất hiện ít nhất một chữ số 1 Þ n( A1) = 1
Ta có
A2 = {1b}È{a1, a ¹ 0} nên (do số 11 xuất hiện 2 lần)
Tập
A3 có ba chữ số ta chia ra loại 3 loại: 3 chữ số 1, 2 chữ số 1 và 1 chữ số 1 nên
n(A3) = 1+ (9 + 9 + 8) + (9.9 + 8.9 + 8.9) = 252
Vậy có 1+18 + 252 = 271 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Giải bài toán đối (gián tiếp)
Thay vì đi lập các số có chứa chữ số 1, ta sẽ đi tìm số các số không chứ số 1. Ta sẽ lập các số nguyên dương nhỏ hơn 1000 mà không chứa chữ số 1.
Đặt
A = {0; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9}. Từ A ta sẽ lập các số nguyên dương:
-Số có 1 chữ số: có 8 số thỏa mãn
-Số có 2 chữ số: có 8.9 = 72 số thỏa mãn
-Số có 3 chữ số: có 8.9.9 = 648 số thỏa mãn
Vậy các số nguyên dương nhỏ hơn 1000 mà có chưa ít nhất 1 chữ số 1 là 999 - 8 - 72 - 648 = 271 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta thấy rõ ràng các bài toán có nhiều trường hợp nên việc giải theo quy tắc cộng phân chia từng trường hợp sẽ mất nhiều thời gian. Chưa kể nếu bài toán thay đổi từ 1000 thành 10000, 100000, thì ta không thể làm theo cách liệt kê trực tiếp, mà buộc ta làm theo cách 2.
Dấu hiệu nhận biết bài toán theo phần bù này thường là bài toán xuất hiện các cụm từ đáng lưu ý “có ít nhất”, “có tối đa một”, “có mặt”, “không có mặt”, “bắt đầu bởi”,
Sau đây là một số bài tập tương tự:
Ví dụ 5: Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó cả nam và nữ?
A. 455	B. 7	C. 456	D. 462.
Ví dụ 6: Để chào mừng ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường tổ chức cho học sinh cắm trại. Lớp 10A có 19 học sinh nam và 16 học sinh nữ. Giáo viên cần chọn 5 học sinh để trang trí trại. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ? Biết rằng học sinh nào trong lớp cũng có khả năng trang trí trại.
C5
C5
- C5
C5
- C5
C5
19	35	19	35	16	16
Ví dụ 7: Một lớp có 40 học sinh, trong đó 25 nam và 15 nữ. Giáo viên cần chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam?
A. 2625	B. 455	C. 2300	D. 3080.
Ví dụ 8: Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
A.126	B. 102	C. 98	D. 100.
Từ các ví dụ trên chúng ta thấy có một số bài tập Toán rất khó, khi giải các bài tập đó bằng các phương pháp truyền thống thì lời giải rất dài dòng và phải chia nhiều trường hợp. Tuy nhiên khi giải bằng phương pháp viết áp dụng các tình huống trái ngược, các bài tập trên không cần chia nhiều trường hợp, lời giải lại ngắn gọn, dễ hiểu.
Lựa chọn cách giải quyết tối ưu cho một bài toán hay một vấn đề Toán học không những giúp các em học sinh tiết kiệm được thời gian, công sức mà còn giúp các em hình thành được tư duy kinh tế, giúp các em hiểu rằng đứng trước một dự án nào đó, đôi lúc chúng ta không theo những “lối mòn” mà phải có những suy nghĩ, cách làm mang tính đột phá, thậm chí phải xây dựng riêng cho mình những hướng đi mới dựa trên những nền tảng đã có sẵn (ví dụ kết luận 3.2.1 và 3.2.2) từ đó chọn được phương án tối ưu để tiết kiệm thời gian, nhân lực, phương tiện kỹ thuật và mang hiệu quả kinh tế cao nhất.
Trong quá trình dạy học, việc định hướng giúp học sinh giải quyết các vấn đề Toán học theo nhiều cách, từ đó lựa chọn được phương án tối ưu có thể hình thành và phát triển tư duy kinh tế cho học sinh.
Định hướng vấn đề Toán học
Phát triển tư duy kinh tế
Vấn đề Toán học này có nhiều cách giải quyết không?
Dự án này có nhiều phương án để thực hiện hay không?
Cách giải quyết nào là tối ưu và tiết kiệm được thời gian và công sức.
Phương án nào tối ưu và đem lại hiệu quả cao nhất.
Phân chia các trường hợp xảy ra.
Dự kiến được các tình huống có thể xảy ra.
Trong quá trình giải quyết các vấn đề Toán học này có thể phải xây dựng rút ra các kết luận, hệ quả mới để áp dụng vào các vấn đề tương tự.
Trong quá trình giải quyết các dự án kinh tế thường xuyên phải đổi mới, đưa ra các phương án giải quyết mới, đúc rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào các dự án tiếp theo.
Xem xét các kiến thức toán học dưới góc độ thực tiễn
Thay thế các bài tập lí thuyết hàn lâm bằng các bài tập thực tế
Ở chương Tổ hợp - Xác suất, có những dạng bài tập (ví dụ bài tập mức độ nhận biết) có thể thay thế những câu hỏi lí thuyết bằng trừu tượng những bài tập mang tính ứng dụng thự tế cao. Điều này không những khắc sâu kiến thức cho học sinh, mà còn phát huy khả năng tìm tòi sáng tạo của học sinh, giúp học sinh nhận ra sự liên hệ giữa lí thuyết và thực tiễn. Vì vậy, trong đời sống sản xuất không nên bê y nguyên lí thuyết vào thưc tế mà phải vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo.
Chẳng hạn từ những bài toán đếm phần tử của Tổ hợp - Xác suất ta xây dựng cho chúng một mô hình thực tiễn tạo thành bài toán thực tiễn, mà để giải bài toán
đó ta phải đưa về việc sử dụng các quy tắc đếm của Tổ hợp - Xác suất nêu trên.
Ví dụ 1: Cho tập
A = {0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9} . Liệt kê 15 số tự nhiên có 4 chữ số
khác nhau được lập từ A
Ta sẽ thay thế bằng bài toán như sau:
Bạn Nam muốn lập mật khẩu để bảo vệ quyền riêng tư ở điện thoại của mình. Nam đã chọn loại mật khẩu gồm 4 kí tự, mỗi kí tự ở 4 vị trí là một chữ số thuộc tập A = {0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9} . Hỏi có bao nhiêu cách lập mật khẩu cho điện thoại của Nam?
Ví dụ 2: (Bài toán tìm số tự nhiên có thể chuyển dạng như sau)
Bác Bình muốn gọi điện cho bạn nhưng mảnh giấy có ghi số diện thoại bị mờ mất 2 số cuối, bác chỉ nhớ rằng hai số đó không giống nhau. Để gọi điện cho bạn mình thì bác Bình cần quay tối đa bao nhiêu lần?
Thay thế bởi các bài tập mang tính thực tế giúp học sinh tiếp cận các tình huống thực tiễn nhanh chóng và tạo hứng thú đối với môn học. Chính sự thu hút của tính thực tiễn góp phần hình thành tư duy kinh tế c