SKKN Góp phần phát triển tư duy sáng tạo, chủ động trong giải quyết vấn đề cho học sinh khi dạy học bài “Tích vô hướng của hai vectơ”

j. Tính tích vô hướng a.b
a.b
a.b
a.b
a.b
A. r r = -30 .	B. r r = 3 .	C.
r r = 30 .	D. r r = 43.
Câu 4: (TH) Trong mặt phẳng Oxy cho
r = (	) r = (-2;1) . Tích vô hướng
của 2 vectơ a.b là:
a	1;3 , b
A. 1.	B. 2.	C. 3.	D. 4.
Câu 5: (TH) Cho tam giác ABC	có
AB.AC
A(1; 2) ,
B (-1;1) ,
C (5; -1)
.Tính
A. 7 .	B. 5 . r	r C. -7 .	D. -5 .
(	)
Câu 6: (TH) Cho các vectơ a = (1; -3), b = (2;5) . Tính tích vô hướng của
a a + 2b
A. 16 .	B. 26 .	C. 36 .	D.
r
Câu 7: (VD) Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?
-16 .
r
b
r
A. a = (2;-1) và b = (-3; 4) .	B.
a = (3;-4)
và b = (-3; 4) .
C. a = (-2; -3) và
r = (-6; 4) .	D.
a = (7;-3)
và b = (3; -7)
Câu 8: (VD) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ
a
2;3 ,
b
c	ka	mb
c
r = (-	) r = (4;1) và r =	r +	r với k, m Î R. Biết rằng vectơ
r vuông
a	b
góc với vectơ (r + r) . Khẳng định nào sau đây đúng?
2k = 2m
Ứng dụng
3k = 2m
C. 2k + 3m = 0
D. 3k + 2m = 0.
Câu 1: ( TH) Cho các vectơ
là
a = (1; -2), b = (-2; -6) . Khi đó góc giữa chúng
A. 45o .	B. 60o .	C. 30o .	D. 135o .
Câu 2: (TH) Trong mặt phẳng tọa độ
vr = (-8;6) . Khẳng định nào sau đây đúng?
Oxy,
cho hai vectơ
ur = (3; 4) và
ur
= vr .
M æ 0; - 1 ö. và vr cùng phương.
ç	2 ÷
è	ø
ur vuông góc với vr .	D. ur = -vr.
Câu 3:(TH) Trong mp Oxy cho
A(4;6) ,
B (1; 4) ,
C æ 7; 3 ö . Khảng định nào sau
ç	2 ÷
đây sai.
A.

uuur = (-3; -2) , uuur = æ 3; - 9 ö .	B.
è	ø
uuur uuur = 0 .
AB	AC	ç	2 ÷
AB.AC
uuur
C. AB =
è	ø
13
.	D.

uuur
13
BC =	.
2
-1
5
Câu 4: (VD) Cho tam giác ABC có
A(1; 2) ,
B (-1;1) , C (5; -1) .Tính cos A
5
A.	2
.	B.
.	C.	1
.	D.
-2 .
5
5
Câu 6: (VD)Trong mặt phẳng Oxy cho định nào sau đây đúng.
A(-1;-1) ,
B (3;1), C (6;0) . Khẳng
A. AB = (-4; -2), AC = (1;7) .	B.
B = 135o .
C. AB = 20 .	D.
BC = 3
Câu 7: (VD) Cho hai điểm A(2, 2) , B (5, -2) . Tìm M trên tia Ox sao cho
AMB = 90o
A. M (1,6) .	B. M (6,0) .	C. M (1,0) hay M (6,0) .	D.
M (0,1) .
Câu 8: (VDC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm
A(1; 2) ; B (-1;1) .
Điểm M thuộc trục Oy thỏa mãn tam giác MAB cân tại M . Khi đó độ dài Đoạn OM bằng
A. 5 .	B. 3 .	C. 1 .	D. 7 .
2	2	2	2
Câu 9: (VDC) Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm Tìm tọa độ điểm A sao cho tam giác ABC vuông cân tại A .
B (-1;3)
và C (3;1) .
A. A(0;0) hoặc A(2; - 4).	B.
C. A(0;0) hoặc A(-2;- 4) .	D.
A(0;0) hoặc A(2; 4) .
A(0;0) hoặc A(-2; 4) .
Câu 10 :(VDC) Cho véc tơ r (
-2) . Với giá trị nào của y	thì véc tơ
b = (3; y )
a 1;
tạo với véctơ a một góc 45o
A. y = -9 .	B.
é y = -1.	C.
ê y = 9
ë
é y = 1
ë
ê y = -9

.	D.
y = -1.
Câu 11: (VDC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,	cho tam giác ABC	có
A(-3;0), B (3;0) và C (2;6). Gọi H (a;b) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho.
Tính a + 6b.
A. a + 6b = 5 .	B.
C. a + 6b = 7 .	D.
a + 6b = 6 .
a + 6b = 8 .
Câu 12 (VD). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,	cho tam giác	ABC	có
A(4;3), B (2;7 ) và C (-3; -8). Tìm toạ độ chân đường cao
A' kẻ từ đỉnh A xuống
cạnh
BC.
A.
A'(1; - 4) .	B.
A'(-1; 4) .	C.
A'(1; 4).	D.
A'(4;1).
Câu 13:( VDC)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ OXY; cho tam giác ABC có
A(-1;1 ) B(1;3) và trọng tâm là G æ -2; 2 ö . Tìm tọa độ điểm M trên tia OY sao cho
ç	3 ÷
è	ø
tam giác MBC vuông tại M .
A. M (0; -3) .	B.
M (0;3).	C.
M (0; 4) .	D.
M (0; -4) .
Câu 14:( VD) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy	cho tam giác ABC.	Biết
A(3; -1), B (-1; 2) và I (1; -1) là trọng tâm tam giác ABC. Trực tâm H của tam
giác ABC có tọa độ (a;b). Tính a + 3b.
A. a + 3b = 2 .
3
B. a + 3b = - 4 .
3
C. a + 3b = 1.
D. a + 3b = -2.
Câu 15:(VDC) Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm
A(2; -3) ,
B (3; -4) . Tìm
tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho chu vi tam giác AMB nhỏ nhất.
A. M æ 18 ;0 ö .	B. M (4;0) .	C. M (3;0).	D. M æ 17 ;0 ö .
ç 7	÷	ç 7	÷
è	ø	è	ø
Câu 16:( VDC) Cho M (-1; - 2) , N (3; 2) , P (4; -1) . Tìm E trên Ox sao
cho
EM + EN + EP nhỏ nhất.
A. E (4;0) .	B.
E (3;0) .	C.
E (1;0) .	D.
E (2;0) .
3.3 Khai thác thêm một số ứng dụng khác của Tích vô hướng nhằm nâng cao tính sáng tạo và hứng thú ở học sinh
Ứng dụng trong vật lý
Bài toán 1: Hãy thiết kế càng xe ngựa để giảm lực kéo của ngựa được mức tổi thiểu nhất.
Giải quyết: Mô hình lực kéo
ur
F của ngựa và xe kéo
Công của lực do ngựa sinh ra khi kéo xe
Khi càng xe càng gần như song song với mặt đất, công da ngựa tác dụng vào xe sẽ lớn nhất. Khi đó, ngựa sẽ cảm thấy nhẹ nhất
Do vậy, người ta sẽ thiết kế sao cho càng xe có vị trí gần như song song với mặt đất.
Bài toán 2: Một ngọn đèn có khối lượng m = 1kg được treo dưới trần nhà bằng một sợi dây như hình 2. Hỏi lực căng của mỗi nửa sợi dây là bao nhiêu ?
Hình 1
Giải quyết: Mô hình lực tác dụng lên bóng đèn
Ngọn đèn nằm cân bằng nên
̅→ + ̅→1 + ̅→2 = ̅0→ → ̅→ =− (̅→1 + ̅→2)
Hình 2
Dẫn tới : (̅→1 + ̅→2)2 =
̅→2 = . 2 = 96.04
Mặt khác:
̅→1
= ̅→2
= 	và
̅→1, ̅→2	= 60°	nên có được 2. 2 +
2. 2. cos60° = 96,04
9,8
3
Vậy T =	N.
Bài toán 3: Treo một chiếc áo vào điểm chính giữa của sợi dây thép ( Hình 3). Khối lượng tổng cộng của mắc áo và áo là 3kg . Biết dây thép dài 4m và vị trí treo sà xuống so với vị trí ban đầu 10cm. Tính lực kéo của mỗi nửa sợi dây.
Hình 3
Giải quyết:
Mô hình treo áo
2	2
Đặt β = C⌃DB. cos2β = 2. 2β − 1 = 2.	2	− 1
 +𝑂
Tương tự bài toán 2, ta thu được T = 300.37N.
Bài toán 4: Ba sợi dây buộc cân bằng, tạo với nhau góc 60° để treo một chậu hoa có khối lượng 12kg ( Hình 4). Tính lực căng trên mỗi sợi dây.
Hình 4
Giải quyết: Gọi lực căng trên mỗi sợi dây là ̅→1, ̅→2, ̅→3; ̅→ là trọng lực tác dụng lên chậu hoa.
Ta có:
̅→1
=	 ̅→2
=	 ̅→3
= và
̅→1, ̅→2	=
̅→1, ̅→3	=
̅→3, ̅→2
Vì chậu hoa cân bằng nên ̅→
+ ̅→1 +
̅→2 +
̅→3 = ̅0→
̅→1 +
̅→2 +
̅→3 =− ̅P→ → 2 = 32 + 6. 2. cos60° = 62
Vậy F = 2 3N.
Bài toán 5: hai mặt phẳng đỡ tạo với mặt phẳng nằm ngang góc α = 45°. Trên hai mặt phẳng đó người ta đặt quả cầu đồng chất có khối lượng 2kg ( Hình 5). Bỏ qua ma sát và lấy g = 10m/2. Hỏi áp lực quả cầu tạo nên trên mỗi mặt phẳng đỡ là bao nhiêu?
Hình 5
Giải quyết:
Khi quả cầu cân bằng ta có: ̅→
+ ̅̅→1 +
̅̅→2 = ̅0→
Trong đó P = 2.10 = 20N;
̅̅→1
= ̅→1
= ; ̅→1, ̅̅→2	= 90°
̅→
+ ̅̅→1 +
̅̅→2 = ̅0→ →− ̅P→ = ̅̅→1 +
̅̅→2
Bình phương 2 vế và sử dụng tính chất của tích vô hướng hai véc tơ ta có:
2 = 2. 2 + 2. 2. 𝑐90° = 22
Vậy áp lực quả cầu tác dụng lên mỗi mặt phẳng đỡ là
N = P. 2 = 10 2N.
2
Ứng dụng trong giải Phương trình, hệ phương trình, bất phương
trình
Một số kiến thức cơ sở
Cho hai véctơ r r ¹ r , tích vô hướng của hai véc tơ được định nghĩa như
sau:
u,v	0
r r	r r	r r	r r
u.v = u v .cos(u,v) (I), với (u, v) là góc giữa hai véctơ
Chú ý rằng
r r	r r
u.v £ u v
r r	r r
u.v £ u v
-1 £
r r
cos(u,v)
(II)
(III)
£ 1 nên
̅u→
− ̅v→
≤ ̅→ + ̅→
≤ ̅→
+ ̅→

r	r
Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy cho biểu thức giải tích của (II) và (III) là
u = (x1; y1);v = (x2 ; y2 )
thì
x2 + y2 . x2 + y2
1	1	2	2
x y + x y £	(II1)
1 1	2 2
| x y + x y |£
(III1)
1 1	2 2
x2 + y2 . x2 + y2
1	1	2 r r2
(II) trở thành đẳng thức khi u, v cùng hướng,còn (III) khi trở thành đẳng thức
khi
r r cùng phương,tức là r =	r hay
u, v
ì x1 = kx2
u	kv
(IV )
í y = ky	1
î 1	2	r r	r r
với k ¹ 0; k > 0 khi u, v cùng hướng, k < 0 khi u, v
cùng phương khác hướng.
Ứng dụng Tích vô hướng vào giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
Ví dụ 1: Giải phương trình
x + 1
3 − x
2 + 1
x	+	= 2
Giải
Điều kiện −1 ≤ x ≤ 3
x2 + 1
Đặt ̅u→ = x; 1	; ̅v→ =	x + 1;	3 − x u →. v → = x. √(x + 1) + √(3 − x)
̅u→ .
̅v→
= 2.
Áp dụng tính chất ̅u→.̅v→ ≤
hướng
̅u→ .
̅v→
và dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi ̅u→,̅v→ cùng
x
↔ 1 =
↔ x2
x + 1
3 − x
= x + 1 (điều kiện − 1 < x < 3) 3 − x
↔ x3 − 3x2 + x + 1 = 0 ↔ x = 1; x = 1 ±	2
2
Đối chiếu điều kiện , ta có phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 1 +
Bài toán tương tự:
Bài 1: Giải phương trình
41
2 + 2 + 10 +	2 − 6 + 13 =
HD:	2 + 2 + 10 +	2 − 6 + 13 =	41
3 − 2 + 22
41
↔	 + 1 2 + 32 +	=
Đặt : ̅→ = + 1; 3 ; ̅→ = 3 − ; 2
Bài 2: Giải phương trình
29
2 − 2 + 5 +	2 + 2 + 10 =
HD:	2 − 2 + 5 +	2 + 2 + 10 =	29
41
↔	1 − 2 + 22 +	 + 1 2 + 32 =
Đặt : ̅→ = + 1; 3 ; ̅→ = 1 − ; 2
Bài 3: Giải phương trình
2022
2 − 10 + 825 +	2 + 10 + 267 =
HD:
+	=
2 − 10 + 816
2 + 10 + 267
2022
2
 + 5 2 + 11 2
2022
↔	5 − 2 + 20 2 2 +	=
2
Đặt : ̅→ =	 + 5; 11 2 ; ̅→ =	5 − ; 20
Bài 4: Giải phương trình
2 + 2 + 5
−
= 2 + 5 + 45
2 − 4 + 40
4
2 − 4 + 5 −	2 − 4 + 13 = 2
HD: ̅→ = + 1; − 2 ; ̅→ = 2 − ; 36 .
Sử dụng
̅u→
− ̅v→
≤ ̅→ + ̅→
2 + 42 + 6 + 9
 + 3; 2 ; ̅→ = 1 4; 3
Bài 5: Giải phương trình
HD: ̅→ =
̅→ + ̅→ =
Bài 6: Giải phương trình

+	2 + 42 − 2 − 12 + 10 = 5
− ; 3 − 2 .
1 2 + 2
2
1 2 − 16 + 32
2
5
5
= 4 + 2 2
1 2 − 4 + 10
2
1 2 − 4 + 8
2
5
5
+	+	+
22 − 10 + 13 2
3
9
4 − 4 + 13 2
9
Bài 7: Giải phương trình
22 − 6 + 9
13
+	+	=
Bài 8: Giải phương trình
a) 3 − x	 − 1 +	5 − 2 =	40 − 34 + 102 − 3
3 + 2
4 − 
2. 2 + 1 . + 3
b) x	+	=
Bài 9: Giải phương trình
2
x + 1
 + 9
2	+	=
2 + 1
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
x + 1
x
Điều kiện −1 ≤ x ≤ 3
+	≥ 2
3 − x
Giải:
(1)
3 − x
Đặt ̅u→ = x; 1	; ̅v→ =	x + 1;
̅u→.̅v→ = x.	x + 1 +	3 − x
̅u→ .
̅v→
= 2.	x2 + 1
Áp dụng tính chất ̅u→.̅v→ ≤
x + 1
Do đó (1) xẩy ra khi x
̅u→ .
̅v→
+
nên x x + 1 +	3 − x ≤ 2
2 + 1
3 − x
= 2 2 + 1
2
Tương tự , ví dụ 1 ta tìm được x = 1 và x = 1 +
Ví dụ 3: Giải bất phương trình
ĐK: rx ³ 1
Đặt u = (
+ x - 3 ³
x -1
2(x - 3)2 + 2x - 2
3),e
x -1; x -	r = (1;1)

Giải
(3)
=
u
Ta có: r
r
x -1+ (x - 3)2
và e =	2.
x -1
2(x - 3)2 + 2x - 2
Theo (II’) ta được:	+ x - 3 £	,
Suy ra bất phương trình (3) chỉ có thể lấy dấu đẳng thức và nhờ (IV) ta được
x -1
= x - 3 Û x = 5
Ví dụ 4: Giải bất phương trình
x + 1
+
ĐK: 3 £ x £ 50
r2	3
+	£ 12
2x - 3
50 - 3x
Giải
r
(4)
Đặt u = (	x +1;	2x - 3;	50 - 3x ),v = (1;1;1)
u
Ta có: r
r
48
=	=
4 3và v