SKKN Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua một số bài toán thực tiễn liên quan đến kiến thức môn Toán Lớp 10

 cáp bên phải là:
(	)
 7 1,52 + 32 + 4,52 + 62 + 7,52 + 92 +10,52 +122 +13,52 +152 + 0,8.10
375
= 24,17(m)
Tổng	chiều	dài	các	dây	cáp	ở	một	bên	của	cầu	văng	là:
0,8 + 24,17.2 = 49,14(m).
Tổng chiều dài các dây cáp của cầu văng là:
49,14.2 = 98,28(m).
Tổng	chiều	dài	các	dây	cáp	tính	thêm	5%	của	cầu	văng	là:
98,28 + 98,28.0,05 =103,194(m).
Ví dụ 2.8 (sáng tác): Một chiếc cổng như hình vẽ, trong đó CD = 6m, AD = 4m , phía trên cổng có dạng hình parabol. Người ta cần thiết kế cổng sao cho những chiến xe container chở hàng với bề ngang thùng xe là 4m , chiều cao là 5, 2m có thể đi qua được (chiều cao được tính từ mặt đường đến nóc thùng xe và thùng xe có dạng hình hộp chữ nhật). Hỏi đỉnh I của parabol (theo mép dưới của cổng) cách mặt đất tối thiểu là bao nhiêu?

Hình 11

A. 6,13m .	B. 6,14m .	C. 6,15m .	D. 6,16m .
Lời giải
Hình 12
Gọi O là trung điểm của AB , K là điểm thuộc đoạn thẳng OA sao cho
OK = 2m.
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình của đường cong parabol
có dạng
y = ax2 + c .
Theo giả thiết ta có parabol đi qua (-2;1,2),(-3;0)
ìa =- 6
nên ta có:
Û
ì4a + c = 1, 2	ï	25
í	í	.
î9a + c = 0
ïc = 54 = 2,16
îï	25
Vậy đỉnh I của parabol (theo mép dưới của cổng) cách mặt đất tối thiểu là
6,16m . Chọn đáp án D.
Ví dụ 2.9 (sáng tác): Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh
doanh xe máy điện với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán ra với giá là 31triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm là sẽ tăng thêm 200 chiếc Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất.
A. 30 triệu đồng.	B. 29 triệu đồng.
C. 30,5 triệu đồng.	D. 29,5 triệu đồng.
Lời giải
Gọi	x (triệu) đồng là số tiền mà doanh nghiệp A dự định giảm giá;
(0 £ x £ 4).
Khi đó:
Lợi nhuận thu được khi bán một chiếc xe là 31- x - 27 = 4 - x(triệu đồng). Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là 600 + 200x (chiếc).
Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là
f (x) = (4 - x)(600 + 200x) = -200x2 + 200x + 2400 .
Bảng biến thiên của hàm số
f ( x) = -200x2 + 200x + 2400
trên đoạn [0;4]:
Vậy
max f ( x) = 2450 Û x = 1 .
[0;4]	2
Vậy giá mới của chiếc xe là 30,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được là cao nhất. Chọn đáp án C.
Ví dụ 2.10 (sáng tác): Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc
v ( km / h ) phụ thuộc vào thời gian
t(h)
có đồ thị của hàm số vận tốc như hình 13.
Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần
của đường parabol có đỉnh
I (2;9)
và trục đối xứng song song với trục tung,
khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính vận tốc v của vật tại thời điểm t = 3.
v = 121 km / h .
4
v = 31 km / h .
4
v = 89 km / h .
4
v = 61 km / h .
4

Hình 13

Lời giải
Giả sử v(t ) = at2 + bt + c
Ta có:
ì

(t ³ 0)

ìa =- 5
ï	v (0) = c = 4	ì4a + 2b = 5	ï	4
ïv (2) = 4a + 2b + c = 9 Û ï 4a + b = 0 Û ï b = 5 .
î
í	í	í
ï
ï	- b = 2
î	2a
ï	c = 4
ï c = 4
ï
î
Þ v(t ) = - 5 t2 + 5t + 4 4
Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3là:

v(3) = 31(km / h) . Chọn đáp án B.
4
Ví dụ 2.11 (Đề mẫu tư duy ĐHBKHN môn Toán năm 2022): Một nhà máy sản xuất bóng đèn trang trí với chi phí sản xuất 12 USD mỗi bóng đèn. Nếu giá bán mỗi bóng đèn là 20 USD thì nhà máy dự định bán được 2000 bóng mỗi tháng. Nếu cứ tăng giá bán mỗi bóng đèn lên 1 USD thì số bóng đèn bán được mỗi tháng giảm đi 100 bóng đèn. Để nhà máy có lợi nhuận lớn nhất, giá bán mỗi bóng đèn là
A. 26 USD.	B. 27 USD.	C. 24 USD.	D. 22 USD.
Lời giải
Gọi x (USD) là số tiền mà nhà máy sản xuất dự định tăng giá bán cho mỗi bóng đèn ( x > 0).
Khi đó:
Lợi nhuận thu được khi bán mỗi chiếc bóng đèn là:
20 + x -12 = 8 + x (USD).
Số bóng đèn mà nhà máy sản xuất sẽ bán được trong một tháng là
2000 -100x(chiếc).
Lợi nhuận mà nhà máy sản xuất thu được trong một tháng là
f (x) = (8 + x)(2000 -100x).
Để tìm GTLN của
f ( x) , chúng ta có thể làm theo các cách sau:
Cách 1: Biến đổi về hằng đẳng thức.
Ta có:
f ( x) = 100(-x2 +12x +160) = 100 é-( x - 6)2 +196ù £ 19600 (USD).
ë	û
Dấu đẳng thức đạt được tại
x = 6 (USD).
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức.
Ta có:
f (x) =100(8 + x)(20 - x).
Để có lợi nhuận, điều kiện của x là: 0 < x < 20. Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
æ 8 + x + 20 - x ö2
÷
f ( x) =100(8 + x)(20 - x) £100ç
=19600 .
2
è	ø
Dấu đẳng thức đạt được khi 8 + x = 20 - x Û x = 6(USD).
Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên của hàm số bậc 2.
Ta có:
f ( x) =100(-x2 +12x +160)
Bảng biến thiên của hàm số
g ( x) = -x2 +12x +160
trên khoảng (0;+¥) :
Vậy
max g x = 196 Û x = 6.
( )
(0;+¥)
Do đó
max f	x =19600 Û x = 6
( )
(0;+¥)
Vậy để nhà máy có lợi nhuận lớn nhất, giá bán mỗi bóng đèn là 26 (USD).
Chọn đáp án A.
Cách 4: Sử dụng máy tính cầm tay, chẳng hạn đối với máy tính thông dụng hiện nay là 570vn-plus.
Ta có:
f ( x) =100(-x2 +12x +160) = -100x2 +1200x +16000 .
-100
3
5
MODE
®	®	®
®	®	®
®	®	®
=
=
=
=
=
16000
1200
=
®	®	. Khi đó ta được kết quả là
ymax =19600 Û xmax = 6.
Thực tiễn đã cho thấy, khi vận dụng MHH toán học trong dạy học chủ đề Hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai (Đại số 10) đã mang lại những hiệu quả nhất định. HS biết thiết lập các mệnh đề toán học, chuyển bài toán thực tế sang ngôn ngữ toán học, biết liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn. Thông qua hoạt động MHH, học sinh có cơ hội để phát triển các thao tác tư duy, kĩ năng giải quyết vấn đề; đặc biệt là các em thấy được mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn và các môn khoa học khác, yêu thích học tập môn Toán hơn.
Ví dụ 2.12 (Sáng tác): Cổng Vsip Vinh là một trong những công trình độc đáo, mang vẻ đẹp hiện đại. Cổng được tạo bởi hai phần đường cong parabol (hình 14).

Hình 14.

Trong một lần ghé thăm cổng Vsip đầu năm 2022, thầy giáo T đã cùng hai cháu thực hiện một số phép đo về một nửa chiếc cổng này (hình 15). Một số kết quả của phép đo được mô tả ở hình 16, trong đó OA =14m, AH =1m , HC = 675 m (các phép đo có kết
392
quả gần đúng). Hãy giúp thầy giáo T trả lời một số câu hỏi sau:

Hình 15.
Chiều cao của cổng (điểm cao nhất của cổng) so với mặt đất là bao nhiêu ?
Một chiếc xe chở hàng có thùng dạng hình hộp chữ nhật với chiều rộng là 5m, chiều cao là 6m để đi được qua nửa cộng đang xét thì mép bên phải của xe phải cách điểm A một khoảng tối thiểu là bao nhiêu ?
Lời giải

Hình 16.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho điểm A thuộc tia Ox , điểm B thuộc tia Oy (hình 17).
Khi đó parabol biểu diễn hình dạng của cổng có dạng: y = ax2 + c (a < 0) .
Ta có tọa độ của các điểm A,C lần lượt
là A(14;0), C æ13; 675 ö .
ç	392 ÷
è	ø

Hình 17.
Do parabol đi qua các điểm A(14;0) và
điểm C æ13; 675 ö , nên ta có hệ:
ç	392 ÷
è	ø
ì0 = a.142 + c	ì196a + c = 0
ï	Û ï
í675	2	í	675
ïî392 = a.13 + c	ï169a + c = 392
î
Giải hệ phương trình, ta được

Hình 18.

a = -
25 ,c = 25 .
392	2
Do đó phương trình của parabol là: y = - 25
x2 + 25 .
Ta có đỉnh của parabol là: Bæ 0; 25 ö.
392	2
ç	2 ÷
è	ø
Do đó chiều cao của cổng (điểm cao nhất của cổng) so với mặt đất là 12,5m .
Ta xét bất phương trình:
101,92
101,92
- 25 x2 + 25 ³ 6 Û 25 x2 £ 13 Û x2 £101,92 Û -	£ x £	.
392	2	392	2
101,92
Do x > 0, nên ta có 0 < x £	.
101,92
Ta có
»10,096 .
Vậy điểm mép phải của xe phải cách điểm A một khoảng 3,904m thì xe sẽ đi qua được cổng.
Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 10 thông qua việc vận dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vào giải một số bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn
theo các bước sau:
Bước 1: Lập hệ phương trình
Chọn ẩn là những đại lượng chưa biết.
Dựa trên ý nghĩa của các đại lượng chưa biết, đặt điều kiện cho ẩn. Dựa vào dự kiện của bài toán, lập hệ phương trình với các ẩn.
Bước 2: Giải hệ phương trình.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.
Ứng dụng hệ bậc nhất ba ẩn vào giải một số bài toán có nội dung thực tiễn
Ví dụ 3.1 (sáng tác): Giá vé vào rạp xem phim gồm ba loại: 50000 đồng dành cho trẻ em (dưới 6 tuổi), 80000 đồng dành cho học sinh và 100000 đồng dành cho người lớn. Tại buổi biểu diễn, 1050 vé đã được bán ra và tổng số tiền thu được là 77500000 đồng. Người ta đã bán được bao nhiêu vé trẻ em, bao nhiêu vé học sinh và bao nhiêu vé người lớn cho buổi biểu diễn đó? Biết rằng số vé người lớn bằng một nửa số vé trẻ em và học sinh cộng lại.
Lời giải
Gọi x, y, z lần lượt là số vé trẻ em, số vé học sinh và số vé người lớn đã được
bán ra ( x, y, z Î).
Có 1050 vé được bán ra, nên ta có:

x + y + z =1050 .
Tổng số tiền thu được trong buổi biểu diễn này là 77500000 đồng, nên ta có:
50000x + 80000y +100000z = 77500000
Hay là: 5x + 8y +10z = 7750 .
Số vé người lớn bằng một nửa số vé trẻ em và học sinh cộng lại, nên ta có:
z = x + y hay
2
x + y - 2z = 0.

ìx + y + z = 1050
ï
Từ đó, ta có hệ phương trình:
í5x + 8 y + 10z = 7750 .
î
ïx + y - 2z = 0
Sử	dụng	máy	tính	cầm	tay	giải	hệ	phương	trình,	ta	được:
x = 450, y = 250, z = 350.
Vậy có 450 vé trẻ em, 250 vé học sinh và 350 vé người lớn đã được bán ra.
Ví dụ 3.2 (sưu tầm, bổ sung): Một ông chủ trang trại có 29 ha đất canh tác dự định sử dụng để trồng khoai tây, bắp cải và su hào với chi phí đầu tư cho mỗi
hecta lần lượt là 24 triệu đồng, 20 triệu đồng và 28 triệu đồng. Qua thăm dò thị trường, ông đã tính toán được diện tích đất trồng khoai tây cần gấp bốn lần diện tích đất trông bắp cải. Biết rằng ông có tổng nguồn vốn sử dụng để trồng ba loại cây trên là 704 triệu đồng. Tính diện tích cần sử dụng để trồng mỗi loại cây.
Lời giải
Gọi x, y, z lần lượt là diện tích đất cần sử dụng để trồng khoai tây, bắp cải
và su hào (đơn vị: hecta,
x ³ 0, y ³ 0,